基于滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的捕獲區(qū)分析

李萬禮, 李 炯, 雷虎民, 駱長鑫, 李世杰

(1.空軍工程大學防空反導(dǎo)學院, 陜西 西安 710051; 2.空軍工程大學研究生院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

臨近空間高超聲速武器作為軍事領(lǐng)域的新型戰(zhàn)略力量,具有飛行速度快、打擊范圍廣等特點,能突防目前幾乎所有的防御體系,對空天安全構(gòu)成極大威脅[1-3]。攔截高超聲速目標不同于傳統(tǒng)目標,攔截彈將失去速度優(yōu)勢,為了實現(xiàn)對目標的有效攔截,需確保攔截彈順利完成中末制導(dǎo)交接班,并使得攔截彈處于有利的攔截陣位,即末制導(dǎo)律的捕獲區(qū)[4]。捕獲區(qū)不僅提供了中制導(dǎo)彈道終端約束條件,而且還決定了攔截彈能否在末制導(dǎo)起始時刻具有較好的攔截姿態(tài)[5-6]。

目前,國內(nèi)外學者對捕獲區(qū)的研究主要集中在比例導(dǎo)引及其各種改進形式上。文獻[7-10]對幾種常見的比例導(dǎo)引律進行了研究,成功推導(dǎo)出了比例制導(dǎo)律的捕獲區(qū)并進行了驗證,但其推導(dǎo)過程極其復(fù)雜。文獻[11-12]利用微分幾何理論,得到了描述真比例導(dǎo)引的捕獲區(qū)相平面圖,但該圖比較抽象,與實際飛行參數(shù)很難對應(yīng)起來,難以進行理論分析。文獻[13]對純比例導(dǎo)引制導(dǎo)律及反比例導(dǎo)引制導(dǎo)律的捕獲區(qū)分別進行了較為系統(tǒng)的分析,然而在非慣性坐標系下的研究結(jié)論并沒有普遍的適用性。文獻[14]在順軌和逆軌的零控攔截條件基礎(chǔ)上,推導(dǎo)得到了比例和反比例導(dǎo)引律的捕獲區(qū)以及各自導(dǎo)航比設(shè)置范圍,但是對零控攔截條件的分析過于簡單。文獻[15-16]提出一種攔截末端攻擊區(qū)的建模方法,并在此基礎(chǔ)上利用空間幾何關(guān)系推導(dǎo)得出了攔截彈的捕獲區(qū),但該推導(dǎo)過程未針對某一特定的末制導(dǎo)律,難以設(shè)計出一種適用于該情形的末制導(dǎo)律。文獻[17]針對中末制導(dǎo)交接班時刻攔截彈狀態(tài)約束設(shè)置的問題,分析得到了真比例導(dǎo)引靜態(tài)以及動態(tài)捕獲區(qū),然而缺乏對目標速度前置角約束范圍的嚴密推導(dǎo)。文獻[18-19]分別在不考慮和考慮攔截彈飽和過載限制情況下,對現(xiàn)實真比例導(dǎo)引律的捕獲區(qū)域進行分析,但是推導(dǎo)過程復(fù)雜,難于在工程上應(yīng)用。

由以上文獻可知,現(xiàn)有捕獲區(qū)的研究主要圍繞經(jīng)典制導(dǎo)律展開,缺乏針對現(xiàn)代制導(dǎo)律捕獲區(qū)的研究。然而,很多基于現(xiàn)代控制理論的末制導(dǎo)律已經(jīng)逐漸開始應(yīng)用到武器的研發(fā)設(shè)計中,例如微分幾何制導(dǎo)律[20-21]、最優(yōu)控制制導(dǎo)律[22-23]、滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[24-26]等?，F(xiàn)代制導(dǎo)律的制導(dǎo)性能優(yōu)良,若應(yīng)用到反高超聲速武器作戰(zhàn)中,會極大提高攔截概率,研究現(xiàn)代制導(dǎo)律的捕獲區(qū)將為攔截彈中制導(dǎo)彈道設(shè)計提供強約束條件,具有重要意義。

針對現(xiàn)有捕獲區(qū)研究的不足,本文基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論,設(shè)計了一種能夠保證攔截末端過載收斂且性能優(yōu)良的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律作為末制導(dǎo)律,結(jié)合末制導(dǎo)彈目相對運動關(guān)系求解出了零控攔截條件,并得出了目標速度前置角的約束范圍,給出了滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的捕獲區(qū)定義,并推導(dǎo)得到了捕獲區(qū)的邊界條件,將捕獲區(qū)的研究拓展到現(xiàn)代制導(dǎo)律,為中末制導(dǎo)交接班狀態(tài)約束設(shè)計提供了理論支撐。

1 彈目相對運動模型建立

1.1 基本假設(shè)條件

臨近空間高超聲速目標的飛行速度一般在5馬赫以上,而攔截彈通常以迎面攔截的方式對其防御,故彈目相對速度會很大,使得末制導(dǎo)時間很短,則可忽略彈目受到的重力和空氣動力的影響[27-29]。從臨近空間高超聲速目標的整體軌跡來看,其滑翔段機動過載相對較小,在末制導(dǎo)有限的距離和時間內(nèi),可忽略目標機動的影響[30]。

結(jié)合以上分析,作出假設(shè)如下:

假設(shè) 1將攔截彈與目標視為質(zhì)點,忽略重力以及空氣動力對攔截彈與目標的影響;

假設(shè) 2導(dǎo)引頭的最大作用距離記為Rmax,當攔截彈接近目標至導(dǎo)引頭的最大作用距離時,則認為目標被導(dǎo)引頭成功探測并捕獲;

假設(shè) 3末制導(dǎo)階段時間較短,忽略目標機動和重力的影響,過載指令不影響攔截彈的速度大小,只改變速度方向;

假設(shè) 4攔截彈的速度始終小于目標的速度,即目標與攔截彈的速度比ρ=‖VT‖/‖VM‖>1。

1.2 彈目相對運動分析

結(jié)合基本假設(shè)條件,攔截彈與目標在垂直平面內(nèi)的相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關(guān)系

建立地面慣性坐標系XOY,M表示攔截彈,T表示目標,MT表示彈目視線(line of sight, LOS),R表示彈目相對距離,q表示視線角,VM和VT分別表示彈目的速度矢量,aM和aT分別表示彈目的加速度矢量,θM和θT分別表示彈目的彈道傾角,γ和η分別表示彈目的速度前置角。

通過分析圖1中的幾何關(guān)系,得出攔截彈與目標的運動方程以及相對運動方程:

(1)

(2)

(3)

γ=q-θM

(4)

(5)

(6)

(7)

η=q-θT

(8)

(9)

(10)

其中,(XM,YM)和(XT,YT)分別表示攔截彈和目標在地面慣性坐標系下的位置。

2 滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 制導(dǎo)律設(shè)計

根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制相關(guān)理論,設(shè)計一種高性能且能保證末端過載收斂的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,過程如下:

(11)

式中：u=|aM|為控制量。

為了確保攔截彈能夠準確命中目標并使得攔截彈需用過載盡可能小,借鑒平行接近法的原理,可以通過設(shè)計制導(dǎo)律使得視線角速率趨近于0。故選取切換面如下:

(12)

為確?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的魯棒性,構(gòu)造對時變參數(shù)具有自適應(yīng)能力的變結(jié)構(gòu)趨近律:

(13)

將式(12)代入式(13)得

(14)

再結(jié)合式(11)可得

(15)

2.2 穩(wěn)定性分析

選取如下Lyapunov函數(shù):

(16)

對式(16)求時間的一階導(dǎo)數(shù):

(17)

將式(11)和式(15)代入式(17)得

(18)

(19)

式中:δ>0為待設(shè)計參數(shù),代表著高增益連續(xù)函數(shù)接近sgn(S)的程度,一般取值較小。

3 滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律捕獲區(qū)研究

3.1 零控攔截條件分析

定義 1在末制導(dǎo)中,當攔截彈狀態(tài)達到零控攔截條件時,攔截彈可以在有限時間內(nèi)僅經(jīng)過一段無控滑翔之后成功攔截目標。

定理 1在忽略目標機動的影響,且彈目速度比ρ=‖VT‖/‖VM‖>1保持不變的情況下,末制導(dǎo)存在零控攔截條件:

γ=

(20)

證明(1)當η∈[0,π/2]時,攔截彈和目標形成碰撞三角形如圖2所示。

圖2 碰撞三角形(情形1)

此時,根據(jù)幾何關(guān)系可知攔截彈速度前置角γ需滿足條件:

(21)

由圖2可知γ<η,即sinγ1,所以sinγ<ρsinη, 式(21)不成立,攔截彈無法實現(xiàn)零控攔截。

圖3 碰撞三角形(情形2)

此時, 根據(jù)幾何關(guān)系可知,γ需滿足sinγ=ρsinη,η需滿足0<ρsinη≤1,即η≥π-arcsin(1/ρ)。攔截彈有兩種形式攔截目標,即γ=γA∈[0,π/2]或γ=γB∈[π/2,π]。

(22)

結(jié)合式(9)和式(22),得

(23)

綜上分析可得,當π-arcsin(1/ρ)≤η≤π時,若γ=arc sin(ρsinη)或γ=π-arcsin(ρsinη),則攔截彈可實現(xiàn)零控攔截。

(3)當η∈[π,3π/2]時,證明過程同情形2,可以得出當π≤η≤π+arcsin(1/ρ)時,若γ=arcsin(ρsinη)或γ=-π-arcsin(ρsinη),則攔截彈可實現(xiàn)零控攔截。

(4)當η∈[3π/2,2π]時,證明過程同情形1,可得出,此情況下攔截彈無法實現(xiàn)零控攔截。

因此,若攔截彈狀態(tài)滿足式(20),則可在末制導(dǎo)中實現(xiàn)零控攔截,即定理1成立。

證畢

3.2 捕獲區(qū)分析

定義 2滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的捕獲區(qū)定義在以攔截彈的速度前置角γ為橫坐標軸,以目標的速度前置角η為縱坐標軸的(γ,η)平面內(nèi)。當攔截彈對目標進行攔截時,在中末制導(dǎo)交接班終端時刻即末制導(dǎo)初始時刻,只要攔截彈速度前置角的初始值γ0和目標速度前置角的初始值η0組成的點(γ0,η0)處在捕獲區(qū)內(nèi),攔截彈即可以滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律為末制導(dǎo)律對目標進行有效攔截。

將式(19)代入式(3)得

(24)

再將式(9)代入式(23)得

(25)

根據(jù)假設(shè)3,結(jié)合式(3)、式(4)和式(7)、式(8)，得出以下關(guān)系:

(26)

將式(26)代入式(25)可以得出γ與η的對應(yīng)關(guān)系:

(27)

定理 2在忽略目標機動的影響,且彈目速度比ρ=‖VT‖/‖VM‖>1保持不變的情況下,攔截彈末制導(dǎo)采取滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律時的捕獲區(qū)在(γ,η)平面內(nèi)可以表示為

CR=A∪B

(28)

式中：

A={(γ,η)|γ1≤γ≤γ+,T1(γ,η)≥0且f(γ,η)≤0}

(29)

B={(γ,η)|γ-≤γ≤γ2,f(γ,η)≥0且T2(γ,η)≤0}

(30)

T1(γ,η)=η-J(γ,η)+J(γ+,η)+η+

(31)

T2(γ,η)=η-J(γ,η)+J(γ-,η)+η-

(32)

(33)

其中γ+>0和γ-<0可利用以下方程組求解：

(34)

(35)

(36)

T1=(γ1,η1)=0，γ1=-π

(37)

T2=(γ2,η2)=0，γ2=π

(38)

(39)

設(shè)初值γ(0)=γ0,η(0)=η0,式(39)兩邊對γ積分:

(40)

結(jié)合式(33),式(40)可簡寫為

η=J(γ,η)-J(γ0,η)+η0

(41)

η*=J(γ*,η*)-J(γ0,η*)+η0

(42)

(43)

式(42)和式(43)相減得

(44)

圖4 捕獲區(qū)分析示意圖

對于圖2中的S1區(qū)域,其取值范圍為

ρsinη>sinγ

(45)

對于零控攔截條件式(20),兩邊對γ求導(dǎo):

(46)

結(jié)合式(20),得

(47)

由式(33)和式(39)可知:

(48)

所以,γ+和γ-可利用方程組式(34)求解,進而η+和η-由式(35)和式(36)求解,得出交點(γ+,η+)和(γ-,η-)。

因此,滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的捕獲區(qū)為零控攔截曲線和兩條與之相切，形如式(41)的曲線所構(gòu)成的區(qū)域,如圖4中的A∪B。

4 捕獲區(qū)仿真分析

為驗證本文對滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律捕獲區(qū)分析的合理性,設(shè)計以下4種情形的仿真實驗。這里選取制導(dǎo)律參數(shù)為k=20,ε=1,δ=0.01,導(dǎo)引頭最大作用距離取Rmax=100 km,彈目初始條件如表1所示。

表1 彈目初始條件

根據(jù)定理2仿真出攔截彈最大可用過載分別為30和40的捕獲區(qū)(A∪B)。

由圖5可知,不同過載限制情況下,末制導(dǎo)的捕獲區(qū)約束范圍不同,且攔截彈最大可用過載越小,捕獲區(qū)的范圍也越小。另外,仿真所得捕獲區(qū)的區(qū)域符合上文分析,為驗證其正確性,以最大可用過載nmax=30為例,分別選取位于捕獲區(qū)內(nèi)的N點(100°,175°)和位于捕獲區(qū)之外的M點(150°,190°)作為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態(tài)進行仿真。

圖5 捕獲區(qū)范圍

情形 1末制導(dǎo)采用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,點N(100°,175°)為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態(tài),仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6 彈目軌跡(情形1)

圖7 攔截彈過載變化(情形1)

圖8 視線角變化(情形1)

圖9 捕獲區(qū)曲線(情形1)

由圖6可以看出,情形1中的攔截彈能夠利用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律成功攔截目標,且彈道末端平滑。由圖7和圖8可知,情形1中的攔截彈過載在末端收斂到零,視線角變化趨于穩(wěn)定值,說明當攔截彈末制導(dǎo)初始狀態(tài)處于捕獲區(qū)內(nèi)時,能夠?qū)δ繕诵纬捎欣麛r截態(tài)勢,從而成功攔截目標。由圖9可知,攔截彈和目標的速度前置角關(guān)系在滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的導(dǎo)引下,逐漸趨近于零控攔截曲線,證明了零控攔截條件的合理性。

情形 2末制導(dǎo)采用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,點M(150°,190°)為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態(tài),仿真結(jié)果如圖10～圖13所示。

圖10 彈目軌跡(情形2)

圖11 攔截彈過載變化(情形2)

圖12 視線角變化(情形2)

圖13 捕獲區(qū)曲線(情形2)

由圖10可以看出,情形2中的攔截彈未能成功攔截目標。攔截彈的過載和視線角都在末端處于發(fā)散狀態(tài),如圖11～圖12所示。由圖13可知,此時的攔截彈和目標的速度前置角關(guān)系未能在滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的導(dǎo)引下接近零控攔截曲線。因為在之前的定理2中已推出了滑模變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律的捕獲區(qū)范圍,即攔截彈和目標的速度前置角初始值(γ0,η0)位于捕獲區(qū)之內(nèi),在滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的導(dǎo)引下,總能使得攔截彈和目標的速度前置角關(guān)系趨近于零控攔截曲線,攔截彈實現(xiàn)零控攔截。而在情形2中,攔截彈和目標的速度前置角初始狀態(tài)不滿足捕獲區(qū)約束,攔截彈無法在末制導(dǎo)中通過滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的導(dǎo)引命中目標,所以致使圖10中彈目軌跡發(fā)散,對應(yīng)的攔截彈過載和視線角變化呈現(xiàn)發(fā)散趨勢。

情形 3末制導(dǎo)采用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,點N(100°,175°)為攔截彈與目標的速度前置角初始狀態(tài)。此時假設(shè)目標做正弦機動，仿真結(jié)果如圖14～圖17所示。

圖14 彈目軌跡(情形3)

圖15 攔截彈與目標過載變化(情形3)

圖16 視線角變化(情形3)

圖17 捕獲區(qū)曲線(情形3)

由圖14～圖17可知,攔截彈仍能成功攔截目標,攔截彈過載與視線角都在末端處于收斂狀態(tài),攔截彈和目標的速度前置角關(guān)系逐漸趨近于零控攔截曲線。結(jié)合情形1分析得出,當末制導(dǎo)攔截彈與目標的初始狀態(tài)處于捕獲區(qū)內(nèi)時,目標機動對結(jié)果造成的影響相對較小,可以忽略,從而證明了本文方法的有效性。

情形 4末制導(dǎo)采用滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律,選取目標的速度前置角為η=180°,以5°為間隔,對攔截彈的速度前置角γ進行從-180°到180°的蒙特卡羅仿真實驗,結(jié)果如圖18～圖20所示。

圖18 彈目軌跡(情形4)

圖19 攔截彈過載變化(情形4)

圖20 捕獲區(qū)曲線(情形4)

在情形4中,通過對蒙特卡羅仿真統(tǒng)計,可發(fā)現(xiàn)攔截成功時對應(yīng)的攔截彈和目標速度前置角初始值(γ0,η0)均位于捕獲區(qū)之內(nèi),且過載變化都趨于0。因此,結(jié)合結(jié)論可以得出,在攔截彈中制導(dǎo)修正階段時,一定要確保其末端狀態(tài)處于捕獲區(qū)內(nèi),即捕獲區(qū)是中制導(dǎo)終端狀態(tài)的重要約束條件。

5 結(jié) 論

本文首先基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論完成了滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的設(shè)計,保證了攔截末端的過載收斂,并對其穩(wěn)定性進行了證明,將捕獲區(qū)的研究拓展到了現(xiàn)代制導(dǎo)律的領(lǐng)域。其次,分析了零控攔截條件,得出零控攔截狀態(tài)下攔截彈與目標速度前置角的關(guān)系。然后,結(jié)合末制導(dǎo)彈目運動關(guān)系對滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的捕獲區(qū)進行了理論推導(dǎo)和分析。最后,通過4種情形下的仿真實驗,驗證了結(jié)論的正確性,為中末制導(dǎo)交接班的條件約束設(shè)定提供了理論支撐。

另外,本文研究針對的是目標不機動情況下的靜態(tài)捕獲區(qū),下一步將研究結(jié)合目標機動影響的動態(tài)捕獲區(qū)。