具有逆斷面的正則半群上與格林關(guān)系有關(guān)的同余

馮瑩瑩, 商 宇

(1. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 佛山 528000; 2. 普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 普洱 665000)

具有逆斷面的正則半群[1]因具有相對集中的逆子半群的結(jié)構(gòu)而備受關(guān)注,斷面的概念也在不斷拓展[2-4]. 1989 年，SAITO[5]給出了具有逆斷面的正則半群的結(jié)構(gòu)定理:具有逆斷面的正則半群S由3個(gè)構(gòu)件(I、S°和Λ)組成,其中S°是S的逆子半群. 1997年,TANG[6]指出,對于一般的具有逆斷面的正則半群來說,I、Λ都是S的子半群,而且I、Λ分別為左正則帶、右正則帶. 此后,I、Λ、S°以及包含I和S°的左逆子半群L、包含Λ和S°的右逆子半群R成為了學(xué)者們比較關(guān)注的正則半群S的重要的子半群[6-7].

格林關(guān)系在半群的結(jié)構(gòu)中起著重要的作用,在正則半群中更是如此, 如BLYTH和ALMEIDA SANTOS[8]利用格林關(guān)系對具有逆斷面的正則半群進(jìn)行分類. 同余在一般半群或正則半群上也有類似的作用,如：HOWIE和LALLEMENT[9]證明了由格林關(guān)系生成的同余*和由格林關(guān)系生成的同余*是相等的,且*=*是正則半群S上的最小半格同余;PASTIJN和PETRICH[10]確定了格林關(guān)系、、所生成的同余*、*、*和格林關(guān)系、、在冪等元集E上的限制所生成的同余 (|E)*、(|E)*、(|E)*所對應(yīng)的半群類, 從而刻畫了由它們所生成的同余子格.

在一般的正則半群上,PASTIJN和PETRICH[10]給出了由格林關(guān)系所生成的同余和由格林關(guān)系在冪等元集E上的限制所生成的同余的一般描述;在特殊的正則半群上,馮瑩瑩和汪立民[11]更精細(xì)地刻畫了由格林關(guān)系所生成的同余和由格林關(guān)系在冪等元集E上的限制所生成的同余. 冪等元集E是正則半群的重要子集,而I、Λ、S°、L、R是具有逆斷面的正則半群的重要子半群. 本文研究在具有逆斷面的正則半群上,由格林關(guān)系所生成的同余和由格林關(guān)系在子半群I、S°、Λ、L、R上的限制所生成的同余,確定它們所對應(yīng)的半群類,從而刻畫由它們所生成的同余子格.

1 預(yù)備知識

設(shè)S是半群,記S的冪等元集為E(S),或簡記為E.S上的恒等關(guān)系記為ε.S上的等價(jià)關(guān)系格和同余格分別記為(S)和(S). 設(shè){,,},ρ(S),A是S的子集,記Aρ={aρ|aA},E(A)={eA|e2=e},分別記由和|A生成的同余為*和(|A)*.S和S/ρ上的格林關(guān)系分別記為和S/ρ. 若A是S的子半群,則記A上的-關(guān)系為A. 設(shè)aS,記V(a)={xS|axa=a,xax=x}為a的逆元集.

設(shè)S是正則半群,S°是S的逆子半群,如果對S中的任一個(gè)元x,x在S°中有且僅有一個(gè)逆元,即|V(x)∩S°|=1,則稱S°是S的逆斷面. 如果S°還是S的擬理想,即S°SS°?S°,則稱S°為S的Q-逆斷面.x在S°中的唯一的逆元記為x°. 記(x°)°為x°°. 于是,x°°°=x°. 若X是S的子集,記X°={x°S°|xX}. 本文中,如無特別聲明,S均指具有逆斷面S°的正則半群.

下面給出具有逆斷面的正則半群的運(yùn)算和子半群方面已有的結(jié)論.

結(jié)論1[7]設(shè)S是具有逆斷面的正則半群,則對任意x,yS,有

(1)(xy)°=y°(xyy°)°=(x°xy)°x°=y°(x°xyy°)°x°;

(2) (xy°)°=y°°x°.

結(jié)論2[12]設(shè)S是具有逆斷面的正則半群,則S是純正的當(dāng)且僅當(dāng)對任意x,yS,(xy)°=y°x°.

結(jié)論3[6-7]設(shè)S是具有逆斷面的正則半群,則

(1)I={xS|x=xx°}={xx°|xS}是左正則帶,Λ={xS|x=x°x}={x°x|xS}是右正則帶;I、Λ具有公共逆斷面E(S°),且I∩Λ=E(S°);

(2)L={xS|x=xx°x°°}={xx°x°°|xS}是左逆半群,R={xS|x=x°°x°x}={x°°x°x|xS}是右逆半群;E(L)=I,E(R)=Λ;L、R具有公共逆斷面S°,且L∩R=S°,I∩R=L∩Λ=E(S°).

具有逆斷面的正則半群S的這幾個(gè)子半群之間的關(guān)系可用圖 1 表示.

圖1 幾個(gè)子半群之間的關(guān)系

結(jié)論4[13]設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,ρ是S上的同余,則S°/ρ°?S°ρ是S/ρ的逆斷面,其中ρ°=ρ|S°.

我們知道,把握正則半群主要是在格林關(guān)系的框架下,利用冪等元和逆元來確定元素及其乘積的位置. 利用格林關(guān)系,可以定義如下幾種半群類:

(1)左正則帶[14]. 如果帶S上=,則稱S為左正則帶. 左正則帶還有2種等價(jià)的定義方式:一種是帶S上=ε;另一種是對任意a,xS,axa=ax.

(2)右正則帶[14]. 如果帶S上=,則稱S為右正則帶. 等價(jià)地,設(shè)S是帶,如果對任意a,xS,axa=xa,那么稱S是右正則帶.

(3)正則帶[14]. 如果帶S是一個(gè)左正則帶和一個(gè)右正則帶的次直積,則稱S是正則帶. 等價(jià)地,設(shè)S是帶,如果對任意a,x,yS,axya=axaya,那么稱S是正則帶.

(4)左逆半群[10]. 如果S是純正半群,且冪等元集E(S)是左正則帶,則稱S是左逆半群. 這類半群有時(shí)也稱作R-unipotent的,因?yàn)樗拿總€(gè)-類有且只有一個(gè)冪等元.

(5)右逆半群[10]. 如果S是純正半群,且冪等元集E(S)是右正則帶,則稱S是右逆半群. 這類半群有時(shí)也稱為L-unipotent的,因?yàn)樗拿總€(gè)-類有且只有一個(gè)冪等元.

(6)擬逆半群[10]. 冪等元集是正則帶的純正半群稱為擬逆半群. 半群S是擬逆半群當(dāng)且僅當(dāng)S是正則半群,且是一個(gè)左逆半群和一個(gè)右逆半群的次直積.

一般地，常用LRB表示左正則帶，用RRB表示右正則帶，用RB表示正則帶，用LI表示左逆半群，用RI表示右逆半群，用QI表示擬逆半群，用S表示半格，用I表示逆半群. 值得注意的是，上面所列舉的半群均保持同態(tài)像[14]，即若A為上述所列舉的其中一種半群類，ρ是A-半群S上的同余，則S/ρ仍為A-半群. 設(shè)A是某半群類，ρ是半群S上的同余，如果ρ是使S/ρA的最小同余,那么稱ρ是最小A-同余.

PASTIJN和 PETRICH[10]確定了由格林關(guān)系和格林關(guān)系在冪等元集E上的限制所生成的同余所對應(yīng)的半群類.

結(jié)論5[10]設(shè)S是正則半群,則

2 主要結(jié)果

首先,給出具有逆斷面的正則半群的一些性質(zhì);然后,考慮與格林關(guān)系有關(guān)的同余所對應(yīng)的商半群所屬的類型.

命題1設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,x,yS,則xyxx°=yy°,xyx°x=y°y.

證明設(shè)xy,則xx°xyyy°. 由于xx°,yy°I,I是左正則帶,左正則帶上=ε,故xx°=yy°. 反之,若xx°=yy°,則xxx°=yy°y,從而xy. 類似可證xyx°x=y°y. 證畢.

下面考慮商半群S/ρ的幾個(gè)特殊子半群中元素的提升性. 為免符號混淆,記S/ρ的子半群I、L分別為I(S/ρ)、L(S/ρ),而S的子半群I、L仍記為I、L.

命題2設(shè)ρ是具有逆斷面的正則半群S上的同余,aS，有如下結(jié)論：

(1) 若aρI(S/ρ),則存在eI,使得aρ=eρ;

(2) 若aρ(S/ρ)°,則存在x°S°,使得aρ=x°ρ;

(3) 若aρE((S/ρ)°),則存在e°E(S°),使得aρ=e°ρ;

(4) 若aρL(S/ρ),則存在xL,使得aρ=xρ.

證明對任意aS,(aρ)°=a°ρ，可得

(1)若aρI(S/ρ),則

aρ=(aρ)(aρ)°=(aρ)(a°ρ)=(aa°)ρ.

于是，aa°I,且aρ=(aa°)ρ.

(2)若aρ(S/ρ)°,則aρ=(aρ)°°=(a°°)ρ. 故a°°S°,且aρ=a°°ρ.

(3)若aρE((S/ρ)°)?I(S/ρ),由(1)的證明過程知aρ=(aa°)ρ. 又,aρE((S/ρ)°),所以aρ=(aρ)°=((aa°)ρ)°=(a°°a°)ρ. 故a°°a°E(S°)且aρ=(a°°a°)ρ.

(4)若aρL(S/ρ),則aρ=(aρ)(aρ)°(aρ)°°=(aρ)(a°ρ)(a°ρ)°=(aρ)(a°ρ)(a°°ρ)=(aa°a°°)ρ. 于是aa°a°°L,且aρ=(aa°a°°)ρ. 證畢.

下面考慮S的同態(tài)像中格林關(guān)系和°-關(guān)系的提升性.

命題3設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,ρ是S上的同余,A,BS/ρ且A=B°,則存在aA,bB,使得a=b°.

證明設(shè)B=bρ,令a=b°,則aρ=b°ρ=(bρ)°=B°=A,故aA,bB且a=b°. 證畢.

命題4設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,ρ(S),有如下結(jié)論:

(1)若A1,A2I(S/ρ)且A1A2,則存在u1A1∩I,u2A2∩I,使得u1u2;

(2)若A1,A2(S/ρ)°且A1A2,則存在u1A1∩S°,u2A2∩S°,使得u1u2.

證明(1)因?yàn)锳1,A2I(S/ρ),由命題2(1),存在x1,x2I,使得x1ρ=A1,x2ρ=A2. 令則從而u1u2.

因?yàn)锳1A2,由命題而A1,A2I(S/ρ),故于是u1u2因?yàn)閤1,x2I,所以從而IE(S°)?I. 綜上可知,u1A1∩I,u2A2∩I,且u1u2.

(2)因?yàn)锳1,A2(S/ρ)°,由命題2(2),存在x1,x2S°,使得x1ρ=A1,x2ρ=A2. 令則從而u1u2.

因?yàn)锳1A2,所以于是

因?yàn)閤1,x2S°,所以u1,u2S°. 綜上,u1A1∩S°,u2A2∩S°,且u1u2. 證畢.

對具有逆斷面的正則半群,右逆半群與右正則帶有更簡潔的刻畫方式.

引理1設(shè)S是具有逆斷面的正則半群,則下列各條件等價(jià):

(1)S是右逆半群;

(2)I=E(S°);

證明(1)、(2)等價(jià)在文獻(xiàn)[8]中已證. 下證 (2)?(3).

(2)?(3). 因?yàn)镮=E(S°)是半格,所以,|I=|E(S°)=εE(S°)=εI.

(3)?(2). 對任意eI,ee°e=e°;又,eI,e°E(S°)?I,|I=εI,所以e=e°E(S°),I?E(S°),從而I=E(S°). 證畢.

引理2設(shè)S是具有逆斷面的正則半群,則S是右正則帶當(dāng)且僅當(dāng)L=E(S°).

證明若S是右正則帶,則對任意xx°x°°L,(xx°)x°°=(x°xx°)x°°=x°x°°E(S°),于是L?E(S°),從而L=E(S°). 若L=E(S°),則對任意sS,s=(ss°s°°)(s°s)LΛ=E(S°)Λ?Λ,于是S?Λ,從而S=Λ是右正則帶. 證畢.

設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,如果S°是半格,則稱S是具有半格斷面的. 記這類半群為ST.下面考慮具有半格斷面的正則半群與逆半群、右逆半群和擬逆半群類之間的關(guān)系.

引理3在具有逆斷面的正則半群類中,

(1)I∩ST=S;

(2)RI∩ST=RRB;

(3)QI∩ST=RB.

證明(1) 設(shè)S既是逆半群,又是具有半格斷面的正則半群. 因?yàn)镾是逆半群,所以S=S°;又,S具有半格斷面,由文獻(xiàn)[15]的引理2.3可知S°=E(S°). 于是,S=E(S°)是半格. 反之,易證半格既是逆半群,又是具有半格斷面的正則半群.

(2)若S既是右逆半群,又是具有半格斷面的正則半群,則由引理1及文獻(xiàn)[15]的引理2.3,有I=E(S°)=S°. 因此,對任意sS,s=(ss°)s°°(s°s)IS°Λ=E(S°)E(S°)Λ?ΛΛΛ=Λ,從而S?Λ,進(jìn)而S=Λ是右正則帶. 反之,易證具有逆斷面的右正則帶既是右逆半群,又是具有半格斷面的正則半群.

(3)設(shè)S是具有半格斷面的擬逆半群,則S°=E(S°). 于是,對任意xS,有

x=xx°x=(xx°)x°x=(xx°)(x°x)x°(xx°)x=

(xx°)(x°x)(xx°)x°(xx°)x=xx,

所以S是帶. 又,S是擬逆半群,E(S)是正則帶,于是S=E(S)是正則帶. 反之,若S是具有逆斷面的正則帶,則S是擬逆半群,且S°是帶. 又,S°是逆半群,冪等元是交換的,所以S°是半格,從而S是具有半格斷面的擬逆半群. 證畢.

引理4設(shè)T是半群S的子半群,則(ε|T)*=ε.

證明顯然,ε|T?ε,從而(ε|T)*?ε,于是,(ε|T)*=ε. 證畢.

下面給出本文的主要結(jié)論.

定理1設(shè)S是具有逆斷面S°的正則半群,則

(1)設(shè)x(|I)*,y(|I)*S/(|I)*,且(x(|I)*)|I)*). 由命題4,存在a,bI,使得a(|I)*x,b(|I)*y,且a|Ib. 則x(|I)*a|Ib(|I)*y,從而x(|I)*=y(|I)*. 由引理1,(|I)*是右逆同余. 設(shè)ρ是一右逆同余,e,fI且e|If,則(eρ)|I(S/ρ)(fρ). 由引理1,eρ=fρ,從而|I?ρ,進(jìn)而(|I)*?ρ. 于是,(|I)*是最小右逆同余. 再由命題1后的論述及文獻(xiàn)[10]的定理1(iii)知,(|I)*=(|I)*=(|E)*是最小右逆同余.

(2)對任意a(|S°)*°,由命題2,不妨設(shè)aS°,則a,a°aS°,從而a|S°a°a,進(jìn)而a(|S°)*=(a°a)(|S°)*E(°),于是°?E(°),所以°=E(°). 由文獻(xiàn)[15]的引理2.3知,具有半格斷面,從而(|S°)*是ST-同余.因?yàn)閨S°?|S°,所以(|S°)*?(|S°)*.由文獻(xiàn)[15]的命題2.4知,(|S°)*也是ST-同余. 設(shè)ρ是一個(gè)ST-同余,a|S°b,則(aρ)|(S/ρ)°(bρ). 由文獻(xiàn)[16]的命題1.1.8知,(aρ)(S/ρ)°(bρ). 又,aρ,bρ(S/ρ)°=E((S/ρ)°),所以aρ=bρ. 于是|S°?ρ,從而(|S°)*?ρ. 故(|S°)*是最小ST-同余. 又,(|S°)*?(|S°)*,且(|S°)*是ST-同余,所以(|S°)*=(|S°)*是最小ST-同余.