高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角探析

張曉飛 王書敏 李永杰

摘 要：高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革是高校數(shù)學(xué)教師關(guān)注的重要問題之一。本研究從數(shù)學(xué)文化與課程思政在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的意義出發(fā)，探析新時(shí)代提升數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)、課程思政建設(shè)的意識(shí)和能力的迫切性與必要性。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)文化;課程思政

高等數(shù)學(xué)又稱微積分，是高校理工類專業(yè)學(xué)生的專業(yè)必修課程，又是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)基礎(chǔ)課程的前期必備課程。高等數(shù)學(xué)的高度抽象性使得很多學(xué)生一進(jìn)入高校的大門便失去了對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，從而造成高等數(shù)學(xué)成績(jī)較差，進(jìn)而影響到一些相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。因此，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革長(zhǎng)期以來都是各個(gè)高校的數(shù)學(xué)教師思考的問題。以往的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革，更多關(guān)注的是完善知識(shí)體系、教學(xué)方式方法，以及教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度問題，忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思想道德的培養(yǎng)。筆者結(jié)合2018年習(xí)近平總書記在北京大學(xué)師生座談會(huì)上的重要講話精神、教育部召開的新時(shí)代全國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議精神，以及2020年教育部印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，從數(shù)學(xué)文化和課程思政的視角，分享教學(xué)過程中的一些感悟。

一、從數(shù)學(xué)文化視角看高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革

何謂數(shù)學(xué)文化？歷史上，人們雖然很重視數(shù)學(xué)的發(fā)展，但沒有將數(shù)學(xué)作為一種文化形態(tài)進(jìn)行深入研究。20世紀(jì)中后期，美國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)家M.克萊因首次對(duì)數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了比較系統(tǒng)而深刻的論述。之后，有關(guān)數(shù)學(xué)文化的研究如同雨后春筍般地涌現(xiàn)，取得了豐碩的研究成果。但是到目前為止，還沒有一個(gè)權(quán)威的、公認(rèn)的關(guān)于數(shù)學(xué)文化的定義?；谘芯磕康?，筆者從課程論的視角來給出數(shù)學(xué)文化一個(gè)定義，即它是指人類在數(shù)學(xué)行為活動(dòng)的過程中所創(chuàng)造的客觀知識(shí)和精神產(chǎn)品?？陀^知識(shí)是指數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)語言等知識(shí)成分;而精神產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)美等觀念成分。從這一角度來看，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)不僅要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)命題等，還需要教師引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟這些客觀知識(shí)中所蘊(yùn)含的更高層次的數(shù)學(xué)精神，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美感，從而達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

數(shù)學(xué)文化自然融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程的意義如下：

第一，堅(jiān)定文化自信，獲得文化熏陶。在數(shù)學(xué)發(fā)展的悠悠歷史長(zhǎng)河中，有許多優(yōu)美的數(shù)學(xué)成果都能在中華文明中找到雛形。比如，與高等數(shù)學(xué)極限理論相關(guān)的有：戰(zhàn)國(guó)時(shí)期《莊子·天下》記載的中國(guó)最早的“二分法”，“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”;中國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》（成書于西漢或更早時(shí)期）中就有“徑一而周三”的記載;公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之得到精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的圓周率，同時(shí)給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值，密率和約率。這些都體現(xiàn)了極限的思想，這些成果要比西方早近一千年。另外，高等數(shù)學(xué)中利用積分求幾何體的面積、體積等問題的本質(zhì)是微元法：先分割，再求和。這與我國(guó)思想家、哲學(xué)家老子的話“合抱之木，生于毫末;九層之臺(tái)，起于壘土;千里之行，始于足下”是相同的道理。

第二，恰當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)文化可以充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。高等數(shù)學(xué)的第一章是數(shù)列極限，它是整個(gè)微積分理論的基石，這部分的知識(shí)如果掌握不牢固將會(huì)嚴(yán)重影響后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。如果教師一開始上課就講一些抽象的概念，學(xué)生不僅不能理解為什么要講這些知識(shí)，也會(huì)因?yàn)檫@些枯燥的概念而失去對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。反之，如果教師能以講故事的方式，將“芝諾悖論”等道理簡(jiǎn)單卻讓人困惑的數(shù)學(xué)問題，呈現(xiàn)在學(xué)生面前，自然能激起他們強(qiáng)烈的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣。

第三，培養(yǎng)學(xué)生不懼挫折、永攀科學(xué)高峰的探索精神。每個(gè)人在成長(zhǎng)的過程中都會(huì)遇到不同的挫折，這既是機(jī)遇也是挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展完善不是一帆風(fēng)順的，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系形成的過程中也經(jīng)歷了三次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)于大約公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，即以的發(fā)現(xiàn)為標(biāo)志。直到公元前370年，以無理數(shù)的定義出現(xiàn)為結(jié)束標(biāo)志。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)于17世紀(jì)晚期，當(dāng)時(shí)已經(jīng)形成了無窮小演算——微積分這門學(xué)科，但是在微積分大范圍應(yīng)用的同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。這些問題引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。到19世紀(jì)70年代初，魏爾斯特拉斯（Weierstrass）、柯西（Cauchy）、康托（Cantor）等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上，基本上解決了矛盾。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于19世紀(jì)末在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論而觸發(fā)，最終數(shù)學(xué)家們通過將集合的構(gòu)造公理化解決了這次危機(jī)。三次數(shù)學(xué)危機(jī)經(jīng)歷的時(shí)間或長(zhǎng)或短，但是在眾多數(shù)學(xué)家的不懈努力下成功化解了危機(jī)，并取得了豐碩的研究成果。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決擴(kuò)充了數(shù)域，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促進(jìn)了19世紀(jì)的分析嚴(yán)格化、代數(shù)抽象化和幾何非歐化的進(jìn)程，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)建立了公理化集合系統(tǒng)，推動(dòng)了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。

二、從課程思政角度看高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革

何謂課程思政？課程思政指的并不是某一門具體的課程，而是一種教育思想和教學(xué)理念，將對(duì)學(xué)生的價(jià)值引領(lǐng)融入知識(shí)傳授和能力培養(yǎng)。2020年教育部印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》指出，全面推進(jìn)課程思政建設(shè)是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措。在理工類高校中，高等數(shù)學(xué)課程的覆蓋范圍廣、占用時(shí)間長(zhǎng)是其顯著特點(diǎn)，它自然就成為各高校落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于教育的重要論述和全國(guó)教育大會(huì)精神、全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)、提高高校人才培養(yǎng)質(zhì)量的前沿陣地。高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的目標(biāo)之一應(yīng)是讓學(xué)生全面了解數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、意義和價(jià)值，尤其是它的應(yīng)用性和方法性價(jià)值，建立正確的數(shù)學(xué)觀念，并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)理性思維，重視推理證明的同時(shí)重視探索發(fā)現(xiàn)的過程。另外在《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》中對(duì)課程思政建設(shè)的內(nèi)容和目標(biāo)都有明確的要求，為結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)揮高等數(shù)學(xué)課程的育人功能指明了方向。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，有效融入課程思政的意義如下：

第一，通過中西數(shù)學(xué)成就對(duì)比，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)情懷。中國(guó)是四大文明古國(guó)之一，有著豐厚的文化底蘊(yùn)，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要充分挖掘課程思政元素，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)情懷。函數(shù)的微分與積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式被稱為是微積分學(xué)基本定理，它是聯(lián)系函數(shù)微分與積分的重要橋梁。在眾多的數(shù)學(xué)史中都強(qiáng)調(diào)的這個(gè)公式是由英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓從流體力學(xué)的角度和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨從幾何學(xué)的角度獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理。但是翻閱中國(guó)數(shù)學(xué)史會(huì)發(fā)現(xiàn)我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》一書中記錄的割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又制，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”，便體現(xiàn)了現(xiàn)代微積分的思想，這比西方要早一千多年。再比如十進(jìn)制記數(shù)法是中國(guó)人民的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上有重要意義。英國(guó)著名的科學(xué)史學(xué)家李約瑟教授曾對(duì)中國(guó)商代記數(shù)法予以很高的評(píng)價(jià)?！叭绻麤]有這種十進(jìn)制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了”，李約瑟說，“總的來說，商代的數(shù)字系統(tǒng)比同一時(shí)代的古巴比倫和古埃及更為先進(jìn)科學(xué)?！庇袀€(gè)成語叫“屈指可數(shù)”，說明古代人數(shù)數(shù)確實(shí)是離不開手指的，而一般人的手指恰好有十個(gè)。因此十進(jìn)制的使用也是極其自然的事。

第二，通過公式、法則的教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的法治意識(shí)。數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)就是嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)，在數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程中只有每一個(gè)步驟都有理有據(jù)，才能得到正確的結(jié)果。因此，教師在講課的過程中可以引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中遵守校紀(jì)校規(guī)，更要遵守各項(xiàng)法律制度，做遵紀(jì)守法的好公民。在這個(gè)過程中教師既可以正面教育，也可以反面教育。比如講利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限時(shí)，可以通過典型錯(cuò)題告訴學(xué)生，在學(xué)習(xí)中不按照洛必達(dá)法則的要求計(jì)算，就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。同樣，如果不遵守學(xué)校的考試紀(jì)律，就會(huì)受到處分;如果不遵守學(xué)校的作息紀(jì)律，就會(huì)因遲到、曠課受到處分;如果在生活中不遵守交通規(guī)則，就容易造成事故;如果不遵守憲法法律，就會(huì)走向人生的歧途;等等。這樣舉例，既活躍了課堂氣氛，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的法律意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生做良好公民。

第三，通過定理、命題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神。所謂科學(xué)精神就是實(shí)事求是、求真務(wù)實(shí)、開拓創(chuàng)新的理性精神。強(qiáng)調(diào)理性與實(shí)證性是科學(xué)精神的核心，探索與創(chuàng)新是科學(xué)精神的活力源泉。數(shù)學(xué)中的每個(gè)定理都蘊(yùn)含著理性、創(chuàng)新、探索等科學(xué)精神的內(nèi)涵。諸如柯西收斂準(zhǔn)則、魏爾施特拉斯定理、拉格朗日中值定理和高斯定理等成果，都是這些數(shù)學(xué)家勇于探索未知的最好證明。進(jìn)一步地，教師可通過這些定理的論證，提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題的能力。

三、新時(shí)代下高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革

2018年時(shí)任教育部部長(zhǎng)陳寶生在新時(shí)代全國(guó)高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，堅(jiān)持“以本為本”，推進(jìn)“四個(gè)回歸”，加快建設(shè)高水平本科教育、全面提高人才培養(yǎng)能力，造就堪當(dāng)民族復(fù)興大任的時(shí)代新人。因此，學(xué)生通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅要獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且要受到良好的思想政治教育。筆者認(rèn)為新時(shí)代下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革應(yīng)該做好以下兩件事情：

第一，提升數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。南開大學(xué)是我國(guó)較早開展數(shù)學(xué)文化教育研究的高等學(xué)校之一，數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院顧沛教授在《數(shù)學(xué)文化課的理念與實(shí)踐》一文中說過：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是與生俱來的，是在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中培養(yǎng)出來的。我們的教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)的知識(shí)，更要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，了解‘?dāng)?shù)學(xué)方式的理性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。無論必修課還是選修課，所有的數(shù)學(xué)課都應(yīng)該如此;在目前大多數(shù)數(shù)學(xué)課尚未達(dá)到這一要求的情況下，以教授數(shù)學(xué)思想、精神為中心的數(shù)學(xué)文化課程就更加重要?！痹谌珖?guó)高等教育“以本為本”“以學(xué)生為中心”的大時(shí)代下，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要重點(diǎn)突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神，應(yīng)以有數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)的案例來引導(dǎo)學(xué)生，以潤(rùn)物細(xì)無聲的方式提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題的能力。

第二，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教師課程思政建設(shè)的意識(shí)和能力。課程思政既不是要新開設(shè)一門課程，也不是要改變?cè)瓉淼恼n程，而是要把思政這把“鹽”融入課程這碗“湯”里，把思政元素自然而然地與原有的課堂教學(xué)進(jìn)行融合。這就要求教師熟練掌握馬克思主義立場(chǎng)、觀點(diǎn)、方法，系統(tǒng)進(jìn)行新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義精神和中國(guó)夢(mèng)教育、社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育、法治教育、勞動(dòng)教育、心理健康教育、中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育，最終通過學(xué)科滲透的方式達(dá)到思想政治教育的目的。

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革既不可能一蹴而就，也不可能一勞永逸。我們要緊跟時(shí)代步伐，與時(shí)俱進(jìn)，以問題為導(dǎo)向，以時(shí)代需求為抓手，培養(yǎng)出滿足經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需求的德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。

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責(zé)編：文 竹