基于灰色預(yù)測(cè)模型的板形PID控制器優(yōu)化仿真與應(yīng)用

王海霞，尤鳳翔，張 兵

(1.蘇州大學(xué)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215325；2 江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212011)

1 引言

目前科技及經(jīng)濟(jì)的發(fā)展使有色金屬的應(yīng)用領(lǐng)域不斷拓寬，尤其是對(duì)高質(zhì)量的鋁板帶材箔需求增大，市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量提出了更高要求，而板形作為板帶材最主要的質(zhì)量指標(biāo)之一，影響著板帶材最終成品質(zhì)量，隨著板帶材生產(chǎn)技術(shù)水平的提高，帶材的寬厚比越來(lái)越大，造成生產(chǎn)設(shè)備復(fù)雜龐大，使板形控制技術(shù)變的困難和復(fù)雜。尤其當(dāng)前金屬加工處于由量向質(zhì)的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，高精度板形控制成為軋制設(shè)備、工藝和控制領(lǐng)域研究者必須面對(duì)的課題和目標(biāo)。

鋁板帶材軋制過(guò)程中板形控制系統(tǒng)受張力、板厚、板凸度、軋制力、彎輥力、輥溫度等諸多因素影響，具有較大的非線性特性，受軋制工藝和條件的限制，板形檢測(cè)裝置(板形儀)必須安裝在軋機(jī)出口側(cè)，距離軋輥中心有一定的距離，造成檢測(cè)和控制之間存在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的滯后；板形缺陷調(diào)整裝置具有慣性特點(diǎn)，這兩點(diǎn)造成了板形控制參數(shù)時(shí)變和大滯后的特點(diǎn)，所以常規(guī)控制手段很難獲得滿意的控制效果。

目前常用的控制方法是通過(guò)軋制理論，利用數(shù)學(xué)工具建立起非線性板形被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行控制量求解。這種方法很難做到既準(zhǔn)確表達(dá)各參量之間的靜態(tài)關(guān)系，又準(zhǔn)確描述其動(dòng)態(tài)關(guān)系的表達(dá)式，對(duì)板形控制的滯后特性和穩(wěn)定控制很難做到兩全其美[1]。文獻(xiàn)[2]采用模糊PID控制器進(jìn)行板形控制,文獻(xiàn)[3]采用動(dòng)態(tài)設(shè)定型板形板厚自動(dòng)控制系統(tǒng)方法對(duì)板形進(jìn)行參數(shù)預(yù)設(shè)定,文獻(xiàn)[4]采用基于多元線性回歸的板形平直度預(yù)測(cè)控制研究進(jìn)行預(yù)測(cè)控制。這些控制方法并不能從根本上解決板形控制的滯后特性和穩(wěn)定控制。

本文在深入研究灰色預(yù)測(cè)理論[6]的基礎(chǔ)上，對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型控制器進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，該優(yōu)化策略利用灰色預(yù)測(cè)模型較強(qiáng)的自適應(yīng)性，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單實(shí)時(shí)性好的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)采用滾動(dòng)優(yōu)化[12]策略避免灰色預(yù)控模型對(duì)建模維數(shù)及步長(zhǎng)數(shù)的特殊要求，同時(shí)在軋制進(jìn)入穩(wěn)態(tài)狀態(tài)后切入Smith預(yù)估方法代替灰色預(yù)估。通過(guò)這種改進(jìn)策略進(jìn)行板形測(cè)量值的預(yù)測(cè)和板形控制。這既能利用灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)功能，又能克服因模型維數(shù)太大造成的跟蹤性變差，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的濾波作用，并且在穩(wěn)態(tài)軋制時(shí)用Smith預(yù)估代替灰色預(yù)估避免預(yù)測(cè)值的失準(zhǔn)。通過(guò)仿真驗(yàn)證，這種方法降低了計(jì)算量增加了板形預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，進(jìn)一步在某1400鋁板帶材冷軋機(jī)上進(jìn)行的試驗(yàn)，表明該策略相對(duì)于傳統(tǒng)方法準(zhǔn)確有效，具有較快的響應(yīng)速度、較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力，減小了動(dòng)態(tài)超調(diào)量，板形控制系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能和精度都得到了顯著提高。

2 板形控制系統(tǒng)

板帶材加工中的板形指的是帶材的翹曲程度。軋制過(guò)程實(shí)質(zhì)是金屬坯料在軋輥?zhàn)饔孟碌乃苄宰冃芜^(guò)程，金屬坯料經(jīng)過(guò)軋制會(huì)發(fā)生明顯的縱向延伸和橫向流動(dòng)，當(dāng)沿橫向板寬壓下量分布不均時(shí)，帶材橫向分布的各個(gè)窄條會(huì)相應(yīng)地發(fā)生延伸不均，產(chǎn)生相互作用的內(nèi)應(yīng)力，內(nèi)應(yīng)力足夠大就會(huì)引起帶材翹曲，常規(guī)意義板形就是帶材內(nèi)部殘余應(yīng)力的分布。殘余應(yīng)力分布不均會(huì)帶來(lái)板形缺陷，即通常所說(shuō)的“波浪”，延伸大的帶材受到壓應(yīng)力作用，而延伸小的帶材受拉應(yīng)力作用。當(dāng)壓拉應(yīng)力達(dá)到一定值時(shí)，帶材產(chǎn)生各種形式的波浪，包括單邊浪、雙邊浪、中間浪、復(fù)合浪等，在縱切帶材時(shí)帶材不能保持平直達(dá)不到使用要求。帶材板形通常采用翹曲度和延伸率來(lái)進(jìn)行描述如圖1。

圖1 板形翹曲示意圖

(1)

理想板帶材產(chǎn)品應(yīng)該是平坦的，為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，除了從軋制工藝和軋機(jī)設(shè)備上進(jìn)行板形調(diào)整外，最重要的調(diào)控手段是板形控制系統(tǒng)對(duì)板形缺陷的修正，它包含:一次項(xiàng)的傾斜控制，二次項(xiàng)的彎輥控制和高次項(xiàng)的冷卻噴淋等控制手段。通常系統(tǒng)組成有：目標(biāo)板形設(shè)定、板形測(cè)量、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理、板形缺陷模式識(shí)別及PID控制器等環(huán)節(jié)組成?？刂葡到y(tǒng)原理框圖如圖2。

圖2 板形控制系統(tǒng)原理框圖

板形控制屬于閉環(huán)控制，如圖2所示軋制出口側(cè)板形儀檢測(cè)到一組實(shí)際的板形測(cè)量值σi后，通過(guò)Profibus總線通訊給板形核心控制器，經(jīng)板形缺陷模式識(shí)別，得到板形各個(gè)項(xiàng)次的缺陷曲線參數(shù)，與軋制工藝要求的板帶材目標(biāo)曲線相比形成不同調(diào)整機(jī)構(gòu)的誤差分量，送入相應(yīng)的調(diào)整控制器，經(jīng)PI調(diào)節(jié)器輸出控制量給軋機(jī)控制執(zhí)行器，由不同調(diào)整機(jī)構(gòu)動(dòng)作，最終實(shí)現(xiàn)板帶材出口板形的控制。

在板形閉環(huán)控制系統(tǒng)中，板形檢測(cè)裝置一般安裝在機(jī)架出口側(cè)距軋輥2～2.25 m處，軋制過(guò)渡過(guò)程中板形檢測(cè)信號(hào)和板形控制系統(tǒng)之間的滯后時(shí)間大概在5～8個(gè)采樣周期，明顯滯后，導(dǎo)致帶材頭尾及低速動(dòng)態(tài)軋制時(shí)板形控制精度較差[13]。

3 灰色預(yù)測(cè)模型

在灰色控制理論中模型表示為GM(M,N),M是微分方程的階數(shù),N是變量個(gè)數(shù),常用的灰色預(yù)測(cè)模型是GM(1,1),含一個(gè)輸入變量的一階灰色模型，使用灰色模型預(yù)測(cè)板形檢測(cè)張應(yīng)力數(shù)據(jù)，需要的原始信息少,計(jì)算量小,適用于復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過(guò)程,能夠滿足對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制[10,14]。

板形灰色預(yù)測(cè)模型控制原理圖如圖3所示,灰色預(yù)測(cè)模型的作用是把系統(tǒng)輸出σ(k)讀入(記做σ(0)(k)),根據(jù)灰色預(yù)測(cè)算法計(jì)算,預(yù)測(cè)一定時(shí)間后的輸出值σ(0)(k+n),將其代替此刻的σ(0)(k),并與設(shè)定值r(k)比較,產(chǎn)生的偏差e(k)作為控制器的輸入,控制器的輸出u(k)是被控對(duì)象的輸入。

圖3 灰色預(yù)測(cè)控制器控制原理示意圖

灰度建模機(jī)理和過(guò)程如下：

1)選擇建模維數(shù)n

已知實(shí)際測(cè)量值為一非負(fù)數(shù)列σ(k)={σ(0)(1),σ(0)(2),σ(0)(3),…，σ(0)(n)},數(shù)列中n為板形實(shí)測(cè)值組數(shù)，用來(lái)預(yù)測(cè)下一組板形張應(yīng)力值，文獻(xiàn)[5]中指出灰色預(yù)測(cè)模型精度和建模維數(shù)有關(guān)。工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程波動(dòng)較大，維數(shù)大容易使大量的舊數(shù)據(jù)掩蓋新數(shù)據(jù)，這樣預(yù)測(cè)對(duì)系統(tǒng)的波動(dòng)反映遲緩跟蹤性變差，對(duì)控制精度有影響；n過(guò)小則預(yù)測(cè)值的濾波作用變小。因此維數(shù)n大部分都選擇在5以內(nèi)。

2)生成累加序列σ(1)

σ(1)={σ(1)(1),σ(1)(2),σ(1)(3),…，σ(1)(n)},其中

(2)

數(shù)據(jù)序列做累加后測(cè)量值中的隨機(jī)噪聲將被濾掉，累加后的數(shù)據(jù)序列呈指數(shù)形式規(guī)律。

3)擬合灰色微分方程

σ(0)(k)+az(1)(k)=b,(k=2,3,…,n)

(3)

式(3)中:a為趨勢(shì)系數(shù)，b為灰度模型參數(shù)，z(1)(i)=0.5(σ(1)(i)-σ(1)(i-1))，得到GM(1,1)的白化方程：

(4)

令

σ=[σ(0)(2)σ(0)(3)…σ(0)(n)]T

(5)

(6)

則σ=XY，最后用最小二乘法[15]求出y=(XTX)-1XTσ。

4)求解預(yù)測(cè)值

通過(guò)白化方程式(4)可得K+1時(shí)刻板形測(cè)量值的累加值：

(7)

通過(guò)對(duì)去除第一點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行Mea(k)=Nea(k+1)的擬合，得到原始數(shù)據(jù)對(duì)K+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值為

(1-e-a)[σ(0)(1)-b/a]e-ak

(8)

σ(0)(k+n)=(1-e-a)[σ(0)(k)-b/a]e-ak

(9)

其中(k=1,3,…,n)。

4 灰色預(yù)測(cè)優(yōu)化模型PID控制

灰色預(yù)測(cè)模型從系統(tǒng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中尋找數(shù)據(jù)發(fā)展規(guī)律，著眼于系統(tǒng)未來(lái)的行為可進(jìn)行超前控制，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)呈指數(shù)形式或具有慣性環(huán)節(jié)及大滯后特點(diǎn)的系統(tǒng)，能夠克服傳統(tǒng)PID控制的局限性和不足之處[7-9]。但在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，灰色預(yù)控確定建模維數(shù)N和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)數(shù)M比較困難，需要通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)不斷的實(shí)驗(yàn)和調(diào)整，尤其步長(zhǎng)M對(duì)控制性能影響比較大，M過(guò)大響應(yīng)速度慢，過(guò)小則輸出變化劇烈引起超調(diào)增大，比較難精確確定[11]。

為解決這個(gè)問(wèn)題，本文在灰色預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上引入預(yù)測(cè)滾動(dòng)優(yōu)化模型，并和Smith預(yù)估相結(jié)合在板形穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)中也能夠進(jìn)行板形實(shí)測(cè)值預(yù)估，其控制原理如圖4所示。取n=4的建模維數(shù)，M=2的預(yù)測(cè)步長(zhǎng)，在軋制測(cè)量的滯后時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行預(yù)測(cè)參數(shù)滾動(dòng)優(yōu)化，即在每一個(gè)采樣時(shí)刻，性能優(yōu)化參數(shù)只涉及從測(cè)量點(diǎn)到軋輥輥縫間的板形控制參數(shù)，下一個(gè)采樣時(shí)刻，優(yōu)化時(shí)段同時(shí)向前推移。以滾動(dòng)形式反復(fù)在線進(jìn)行，同時(shí)根據(jù)滯后時(shí)間，將采集到的同時(shí)刻板形測(cè)量值和預(yù)測(cè)模型值進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)反饋校正對(duì)下一次預(yù)測(cè)行為加以補(bǔ)償，利用檢測(cè)信息構(gòu)成預(yù)測(cè)閉環(huán)優(yōu)化，本設(shè)計(jì)優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下：

圖4 灰色預(yù)測(cè)優(yōu)化控制器控制原理示意圖

(10)

式(10)中：N為預(yù)測(cè)時(shí)域，M為控制時(shí)域，E為系統(tǒng)輸出的期望值，σ(0)為板形預(yù)測(cè)值，σr為板形設(shè)定值，wj為板形板寬和軋制力的加權(quán)系數(shù)，ri為誤差加權(quán)系數(shù)。當(dāng)j>M時(shí)，u(t+i-1)=u(t+M-1)。在優(yōu)化后，控制并不是輸出直接跟蹤目標(biāo)值，而是跟蹤參考軌跡，參考軌跡由板形效應(yīng)函數(shù)模型離散成101個(gè)離散點(diǎn)組成，根據(jù)不同的控制函數(shù)組成相應(yīng)的板形目標(biāo)評(píng)估曲線。

F1=P1(X)=ax-bx7

(11)

F2=-P1(X)=-ax+bx7

(12)

F3=P4(x)=0.125(35x4-c*cos(π(1+x)))

(13)

F4=-P4(x)=-0.125(35x4-c*cos(π(1+x)))

(14)

F5=P8(x)=de(-2(1-fabs(x)))cos(2πx)

(15)

F6=-P8(x)=-de(-2(1-fabs(x)))cos(2πx)

(16)

J(θ)=(F-P(X))T(F-P(X))

(17)

(18)

將分解后的板形控制分量代入式(12)中進(jìn)行參考軌跡的跟蹤：

σr(k+j)=ajσr(k)+(1-aj)σ(0)(k)

(19)

一次板形分量對(duì)應(yīng)PI控制模型為

Y(T)ftilt(t)=(Ctilt+kt(Tdelay+(LRr+LCm)/V))*

(20)

式中：當(dāng)Ts

ISUM(t)=(Ctilt+kt(Tdelay+(LRr+LCm)/V))*

(21)

當(dāng)Ts≥Tn時(shí)，

(22)

二次板形分量對(duì)應(yīng)PI控制模型為：

Y(T)fwrb(t)=(Cwrb+kt(Tdelay+(LRr+LCm)/V))*

(23)

式中：當(dāng)Ts

ISUM(t)=(Cwrb+kt(Tdelay+(LRr+LCm)/V))*

(24)

當(dāng)Ts≥Tn時(shí)，

(25)

5 控制系統(tǒng)仿真分析及應(yīng)用

本文在某1 400 mm鋁冷軋機(jī)上進(jìn)行驗(yàn)證，采集板形儀實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真測(cè)試，軋機(jī)所生產(chǎn)的鋁帶材卷合金牌號(hào)為3003，來(lái)料寬度有2種1 395 mm和1 100 mm，最大軋制力500 t，最高軋制速度600 m/min，板形輥測(cè)量分區(qū)為48個(gè)，中間14個(gè)區(qū)每區(qū)寬度為52 mm，兩邊各17個(gè)區(qū)每區(qū)寬度26 mm。板形儀距軋輥中心線2.25 m，板形數(shù)據(jù)測(cè)量采樣周期20 ms，數(shù)據(jù)傳輸周期25 ms，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)滯后時(shí)間為

27 ms,300 m/min}

為準(zhǔn)確驗(yàn)證灰色預(yù)測(cè)和滾動(dòng)優(yōu)化的預(yù)測(cè)結(jié)果，分別采集了2種1 395 mm和1 100 mm寬度在高中低不同速度下進(jìn)行預(yù)測(cè)結(jié)果仿真比對(duì)，其中一組檢測(cè)值如表1中T時(shí)刻板形實(shí)測(cè)值所示。

使用灰度預(yù)測(cè)模型對(duì)板形預(yù)測(cè)值和經(jīng)滾動(dòng)優(yōu)化后的預(yù)測(cè)值進(jìn)行仿真，結(jié)果見(jiàn)表1中灰度預(yù)測(cè)值和灰度預(yù)測(cè)優(yōu)化值。

表1 板形實(shí)際測(cè)量值、灰色預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)優(yōu)化值數(shù)據(jù)

仿真結(jié)果(圖5)分析：在軋機(jī)低速50 m/min帶頭帶尾軋制時(shí)，板形實(shí)測(cè)M時(shí)刻值和灰色預(yù)測(cè)M時(shí)刻值、滾動(dòng)優(yōu)化后預(yù)測(cè)值之間的誤差分別在17.2%和12.8%左右，中速300 m/min即升速階段時(shí)，誤差在21.3%和16.2%左右，當(dāng)軋機(jī)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)軋制時(shí)，兩者誤差都大于了50%，因此灰色預(yù)測(cè)當(dāng)預(yù)測(cè)步長(zhǎng)N=2時(shí)在低速軋制過(guò)程中的預(yù)測(cè)能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于穩(wěn)態(tài)軋制時(shí)的預(yù)測(cè)能力，且通過(guò)滾動(dòng)優(yōu)化，大大提升了灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，但在穩(wěn)態(tài)軋制中，無(wú)論是灰色預(yù)測(cè)還是滾動(dòng)優(yōu)化都給預(yù)測(cè)控制帶來(lái)了反作用。本文通過(guò)判斷速度在T時(shí)刻內(nèi)不發(fā)生變化后切入Smith預(yù)估來(lái)彌補(bǔ)這一缺陷，經(jīng)數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證(圖6)，切換Smith預(yù)估后，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)跟隨性良好，預(yù)測(cè)誤差控制在20%以內(nèi)。

圖5 高中低速實(shí)際測(cè)量值、灰色預(yù)測(cè)值、優(yōu)化預(yù)測(cè)值曲線

圖6 穩(wěn)態(tài)軋制時(shí)經(jīng)Smith預(yù)估后的測(cè)量值曲線

選用上述1400軋機(jī)板形控制傾斜數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)模型PID控制器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，滯后時(shí)間在高中低速時(shí)分別是:

6 ms,600 m/min}

仿真閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(26)

其中β=0.6；ωn=44.5，板形一次設(shè)定模型：F(x)=1.4x-0.7x7; PID控制器調(diào)節(jié)參數(shù)kp=1.8；ki=0.2當(dāng)給定階躍信號(hào)時(shí)，控制策略仿真對(duì)比結(jié)果如圖7所示。

圖7 2種控制策略的階躍響應(yīng)曲線

在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)，加入一個(gè)20%的隨機(jī)擾動(dòng)，輸出變量的響應(yīng)曲線仿真對(duì)比結(jié)果如圖8所示。

圖8 傾斜干擾后的響應(yīng)曲線

從圖8可以看出：灰色預(yù)測(cè)優(yōu)化控制器仿真結(jié)果其超調(diào)量?jī)H為5.2%，上升時(shí)間和調(diào)節(jié)過(guò)程大大縮短，加入隨機(jī)擾動(dòng)后，結(jié)果表明灰色預(yù)測(cè)優(yōu)化控制器抗干擾能力強(qiáng)。

將灰色預(yù)測(cè)優(yōu)化PID控制器應(yīng)用于某1400鋁板帶冷軋機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)軋制，合金牌號(hào)3003，軋制帶寬1 080,來(lái)料厚度0.3 mm,板形控制效果如圖9、圖10所示。

圖9 1 050 mm常規(guī)PI控制傾斜量板形控制效果曲線

圖10 1 050 mm灰色優(yōu)化預(yù)測(cè)PI控制傾斜量板形控制效果曲線

從仿真結(jié)果及實(shí)際軋制上可以看出，本文設(shè)計(jì)的灰色預(yù)測(cè)優(yōu)化PID控制的結(jié)果比常規(guī)PID控制結(jié)果，在相同條件下，超調(diào)量減少，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，提高了系統(tǒng)板形控制成品的控制精度。

6 結(jié)論

將灰色預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和Smith預(yù)估模型和常規(guī)的PID控制器融合，提出了一種基于灰色預(yù)測(cè)模型的板形預(yù)測(cè)優(yōu)化PID控制算法，通過(guò)滾動(dòng)優(yōu)化策略來(lái)彌補(bǔ)灰色預(yù)測(cè)建模維數(shù)和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)大小的影響。通過(guò)某廠板形實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的仿真實(shí)驗(yàn)，能夠降低維數(shù)和步長(zhǎng)選擇對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)帶來(lái)的振蕩影響，提高了預(yù)測(cè)精度；穩(wěn)態(tài)軋制時(shí)切入Smith預(yù)估代替灰色預(yù)測(cè)克服板形控制機(jī)構(gòu)的慣性和滯后特性，符合實(shí)際生產(chǎn)工藝要求，同時(shí)運(yùn)算簡(jiǎn)單、直觀且計(jì)算時(shí)間短，通過(guò)1400鋁板帶實(shí)際生產(chǎn)驗(yàn)證，能夠有效提高板形控制精度，非常適用于各種軋機(jī)類型的板形實(shí)時(shí)控制。