基于Legendre多項(xiàng)式的板形模式識別優(yōu)化仿真及應(yīng)用

王海霞，王慶華

（1.蘇州大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215325；2.華東交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，南昌 330013；3.洛陽有色金屬加工研究院，河南 洛陽 471003）

銅板帶產(chǎn)品因性能良好被廣泛應(yīng)用于電纜、電子芯片和家電等多種領(lǐng)域，對國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著舉足輕重的影響.近年來，隨著銅材料超強(qiáng)超導(dǎo)化和產(chǎn)品極端化等新趨勢的出現(xiàn)，對銅板帶產(chǎn)品的幾何精度要求也越來越高，其中板形控制精度是產(chǎn)品幾何精度中重要的衡量指標(biāo)，通常要求板形精度誤差在1%以內(nèi).在板形精度實(shí)現(xiàn)過程中，板形缺陷模式的識別是板形控制系統(tǒng)最主要的組成部分，影響著系統(tǒng)的控制性能，起著至關(guān)重要的作用［1］.目前使用的板形識別模式算法多種多樣，最常用的是最小二乘法，但因其算法局限，應(yīng)用效果和范圍受一定的限制，無法滿足市場對銅板帶產(chǎn)品質(zhì)量日趨嚴(yán)格的要求.

1 板形模式識別算法的現(xiàn)狀

板形模式識別是根據(jù)檢測到的板寬方向上殘余應(yīng)力分布信號（定義為σ（i），i為板形測量儀分區(qū)個(gè)數(shù)）計(jì)算板形的特征參數(shù)值，利用特定的識別算法提取反映當(dāng)前板形形態(tài)的模式類型［2］，判斷帶材的板形缺陷類型.通常這些缺陷形態(tài)較為復(fù)雜，不適合用作控制參數(shù).因此，根據(jù)工藝和板形精度要求，定義相應(yīng)的板形缺陷類型作為基本參考識別模式.在進(jìn)行板形控制時(shí)，利用實(shí)測殘余應(yīng)力信號識別到的板形缺陷，通過一種或幾種基本模式組合進(jìn)行表達(dá)，并用特征參數(shù)來標(biāo)定.這種方式便于數(shù)學(xué)描述，可直接作用于控制環(huán)節(jié)進(jìn)行不同要求的板形控制.

板形控制系統(tǒng)是大滯后非線性系統(tǒng).在板形實(shí)測應(yīng)力識別過程中，誤差或計(jì)算量過大都會嚴(yán)重影響控制效果，為此先后出現(xiàn)了最小二乘法、正交多項(xiàng)式分解法、模糊識別法及基于小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等多種識別方法來完善和修正板形缺陷識別［3］.最小二乘法板形模式識別是在最小二乘原理上將板形調(diào)節(jié)偏差采用多項(xiàng)式來表達(dá)的一種回歸分解方法，假設(shè)殘余應(yīng)力信號是非線性關(guān)系，通過一個(gè)多項(xiàng)式擬合模型來進(jìn)行擬合，如式（1）所示：

式中：x為沿板寬方向的位置坐標(biāo)值；σ（x）為板形調(diào)節(jié)偏差；σ0，a1，a2，a3，a4為板形識別后的調(diào)節(jié)系數(shù)；a1x為線性板形缺陷部分，通過調(diào)節(jié)軋輥傾斜機(jī)構(gòu)來消除；a2x2為板形缺陷中二次曲線分量，通過調(diào)整軋機(jī)工作輥彎輥機(jī)構(gòu)或CVC輥位置來消除；a3x3＋a4x4為高次板形缺陷分量，通過軋機(jī)的分段冷卻控制系統(tǒng)來消除.

新一代高速寬幅軋機(jī)出現(xiàn)后，最小二乘法的應(yīng)用出現(xiàn)了擬合后的回歸系數(shù)物理意義不明確，對四分浪、邊中浪和高次浪缺陷識別不準(zhǔn)確，抗干擾差，無法確定逼近階數(shù)n的大小，逼近精度有限等缺點(diǎn).由于得不到精確的板形特征參數(shù)，最小二乘法不利于把握板形控制措施［3－4］.之后早期的Legendre多項(xiàng)式回歸方法同時(shí)包含一次項(xiàng)和三次項(xiàng)，要求設(shè)備具有三次項(xiàng)板形調(diào)整機(jī)構(gòu)，對板形控制設(shè)備提出了更高的要求.

隨著板形模式識別技術(shù)的發(fā)展，先后又出現(xiàn)了模糊分類法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等智能板形識別方法.模糊分類法的在線識別快速穩(wěn)定，解決了板形識別中抗干擾能力差的問題，但識別精度較低，不能滿足板形精度指標(biāo)要求［5］.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于全局逼近型算法，結(jié)構(gòu)簡單易于實(shí)現(xiàn)，在故障診斷和模式識別方面被廣泛應(yīng)用.目前應(yīng)用于板形缺陷識別的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法有兩種：直接識別法（EBP）和基于模糊距離的間接識別法（FBP）［6］.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法結(jié)構(gòu)簡單，但必須用靜態(tài)時(shí)間建模代替動態(tài)空間建模，且識別時(shí)間模式的泛化能力差、學(xué)習(xí)速度慢［7］.其另一個(gè)不可忽視的問題是學(xué)習(xí)時(shí)間過長會出現(xiàn)過擬合或過學(xué)習(xí)的情況，不利于泛化能力的增強(qiáng)，導(dǎo)致控制效果不理想［8］.除上述幾種比較常用的方法，近幾年出現(xiàn)的基于圖像處理和小波分析等新型識別方法，也可得到比較好的識別結(jié)果，但對控制系統(tǒng)的算力和存儲空間有較高的要求.

為了解決識別中逼近精度有限和階數(shù)不確定的問題，以及避免一次項(xiàng)和三次項(xiàng)同時(shí)出現(xiàn)帶來的板形調(diào)節(jié)矛盾，并能準(zhǔn)確簡便地識別多種板形缺陷，本文在最小二乘基函數(shù)基礎(chǔ)上對Legendre多項(xiàng)式進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)來料板形和控制要求選擇多項(xiàng)式，采用Matlab仿真得到多項(xiàng)式特征參數(shù)，代替固定多項(xiàng)式和參數(shù).該優(yōu)化算法在安徽楚江650 mm銅精軋機(jī)上進(jìn)行系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)，為其可行性和適用性提供依據(jù).

2 Legendre多項(xiàng)式

Legendre公式定義如下：

式中：n為非負(fù)實(shí)數(shù)，設(shè)方程冪級數(shù)解：y=y1＋y2.

當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，y1和y2在區(qū)間［－1，1］內(nèi)為式（2）的解．其中y2退化為n階Legendre多項(xiàng)式，成為式（2）在區(qū)間［－1，1］的有界解，通過選定最高次冪系數(shù)an，可得到n階Legendre多項(xiàng)式［9］.

當(dāng)n=0，1，2，3，…時(shí)，可得到迭代的Legendre多項(xiàng) 式：P0（x）=1；P1（x）=x；P2（x）=；依次類推，理論上可迭代到任意Pn（x）.

Legendre多項(xiàng)式有一個(gè)重要的正交特性如式（6）所示：

使用傳統(tǒng)的最小二乘法擬合曲線函數(shù)可得：

通常要考慮加權(quán)平方和：

式中：ω（xi）≥0，為［a，b］上的權(quán)函數(shù)，表示不同點(diǎn)（xi，f（xi））處的數(shù)據(jù)比重不同．權(quán)函數(shù)能反映出板形缺陷的真實(shí)曲線形狀，但需要更多的高次項(xiàng)來確定逼近階數(shù)n的大小，函數(shù)的系數(shù)求解精度和唯一性也不確定，易造成控制精度不高.具有正交性的多項(xiàng)式能很好地解決這些問題，因此在安徽楚江670 mm銅精軋機(jī)的板形控制中，為滿足板形殘余應(yīng)力的約束條件（B為板寬，F(xiàn)（x）為沿板寬的殘余應(yīng)力），采用Legendre多項(xiàng)式Pk（x）的線性組合來進(jìn)行最小二乘擬合，通過Legendre級數(shù)來逼近一個(gè)函數(shù)，并根據(jù)式（5）進(jìn)行遞推，計(jì)算出系數(shù)a*k：

逐步把a(bǔ)*kPk（x）累加到F（x）中去，得到所需擬合曲線：

式中，n通過預(yù)設(shè)給定或在計(jì)算中根據(jù)誤差來確定.使用該方法編程無需求解方程組，在逼近次數(shù)增加一次時(shí)，利用遞推公式增加循環(huán)數(shù)即可得到結(jié)果.

從以上迭代推導(dǎo)式可看出，Legendre多項(xiàng)式Pk（x）同時(shí)存在一次項(xiàng)和三次項(xiàng).目前的軋機(jī)設(shè)備中大多無對應(yīng)三次項(xiàng)的調(diào)整機(jī)構(gòu)，常用的Legendre多項(xiàng)式會帶來與期望結(jié)果相反的調(diào)整策略.為提高板形模式識別精度，本文采用Legendre多項(xiàng)式優(yōu)化算法對缺陷識別算法進(jìn)行改進(jìn).

3 Legendre多項(xiàng)式的優(yōu)化及仿真

經(jīng)前述分析可知，Legendre多項(xiàng)式給定的參數(shù)不適合多變的軋制情況，因此采用正交多項(xiàng)式，建立精確的板形測量值及求解的誤差平方和最小等約束條件，進(jìn)行Matlab仿真來確定多項(xiàng)式參數(shù)，過程如下：

給定F（x）=λ（0）＋αt，

式中：F（x）為板形基函數(shù)；Vi（t）為隨機(jī)噪聲.

將采集的安徽楚江650 mm銅精軋機(jī)板形實(shí)測數(shù)據(jù)帶入上式中，式中選擇一次、四次和八次多項(xiàng)式等歸一化方程來描述板形基模式，如式（15）～（20）所示：

由以上公式組合成線性多項(xiàng)式：

式中，a*1，a*4，a*8為板形的特征系數(shù).

通過Matlab軟件得到仿真結(jié)果，如圖1所示.相應(yīng)的模型參數(shù)和板形特征仿真結(jié)果見表1.

圖1 6種Legendre多項(xiàng)式板形缺陷基模式Fig.1 Six Legendre polynomial flat defect base modes

從表1中識別結(jié)果的均方差量值上可以看出，在Legendre多項(xiàng)式中對三次項(xiàng)進(jìn)行簡化，優(yōu)化模型參數(shù)得到的板形識別函數(shù)能夠改善Legendre多項(xiàng)式對板形控制效果的影響，回歸結(jié)果更接近實(shí)際情況，且操作運(yùn)算簡單直觀，計(jì)算時(shí)間短.因此，采用這種板形識別方法能夠計(jì)算出有效的板形特征值.

表1 板形特征值仿真結(jié)果Table 1 Simulation results of flatness eigenvalues

4 650 mm銅精軋機(jī)板形控制

在安徽楚江科技公司的650 mm銅精軋機(jī)上對本文算法進(jìn)行了驗(yàn)證，該軋機(jī)產(chǎn)品有黃銅板帶、紫銅板帶和磷銅板帶，產(chǎn)品參數(shù)如表2所示，設(shè)備參數(shù)如表3所列（表中，I為板形單位，板形單位是指板帶材橫向上最長與最短縱條之間的相對長度差）.

表2 650 mm軋機(jī)產(chǎn)品參數(shù)Table 2 650 mm rolling mill product parameters mm

表3 650 mm軋機(jī)設(shè)備參數(shù)Table 3 650 mm rolling mill equipment parameters

板形測量儀采用空氣軸承式板形輥，測量區(qū)寬度為9×26＋4×52＋9×26=676 mm，傳感器分布為9＋4＋9，帶材包角為16°.核心控制系統(tǒng)為西門子S7－400，CPU為416－2XN05－0AB0，指令執(zhí)行時(shí)間為0.03μs.控制系統(tǒng)和板形測量輥之間使用Profibus通訊協(xié)議，模擬量和數(shù)字量通過以太網(wǎng)從軋機(jī)傳動系統(tǒng)讀取.控制程序分為板形測量信號處理模塊、板形控制模塊（含板形缺陷識別）、邏輯操作模塊和通訊處理模塊4個(gè)模塊.

圖2為板形控制系統(tǒng)HMI圖，其中平直度分布顯示實(shí)時(shí)板帶材橫向形狀，工作輥冷卻量為冷卻噴嘴實(shí)時(shí)控制量.

圖2 650 mm板形控制系統(tǒng)HMIFig.2 650 mm shape control system HMI

經(jīng)650 mm軋機(jī)多品種多道次軋制，本文優(yōu)化算法能夠識別更多的板形缺陷，控制精度得到了很大提高.對比圖3～4所示的現(xiàn)場板形誤差值和板形誤差二維曲線可看出，當(dāng)不投入本優(yōu)化識別算法時(shí)，板形平均誤差在±8 I左右；而使用所示優(yōu)化算法后，板形平均誤差在±6 I左右，表明改進(jìn)的識別算法能提高板形控制精度.

圖3 未經(jīng)優(yōu)化識別的板形精度二維圖Fig.3 2D chart of shape accuracy without optimization identification

圖4 經(jīng)優(yōu)化識別的板形精度二維圖Fig.4 2D chart of shape accuracy with optimized identification

5 結(jié) 論

（1）本文提出一種基于Legendre多項(xiàng)式的板形識別優(yōu)化算法.該優(yōu)化算法運(yùn)算簡單直觀，計(jì)算時(shí)間短，能有效得到板形特征值，既彌補(bǔ)了常用的最小二乘法進(jìn)行板形識別的缺陷，又避免了Legendre多項(xiàng)式對軋機(jī)三次項(xiàng)調(diào)整機(jī)構(gòu)的要求，使板形識別模型更接近真實(shí)板形測量形狀，符合實(shí)際生產(chǎn)的工藝要求.

（2）經(jīng)某廠650 mm銅板帶軋機(jī)驗(yàn)證，使用該優(yōu)化算法后，板形平均誤差從±8 I減小到±6 I，精度提高了10%左右.