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    基于一類迭代方程可微性解存在探討

    2021-11-08 12:02:42胡國興
    安陽師范學(xué)院學(xué)報 2021年5期
    關(guān)鍵詞:實(shí)根題設(shè)不動點(diǎn)

    胡國興

    (合肥幼兒師范高等??茖W(xué)校,安徽 合肥 230013)

    0 引言

    1 基本概念和相關(guān)引理

    1.1 基本概念

    不動點(diǎn)是一個函數(shù)術(shù)語,在數(shù)學(xué)中是指“被一個函數(shù)映射到其自身一個點(diǎn)”。用數(shù)學(xué)語言描述為:給定函數(shù)f:R→R,如果x∈R使f(x)=x,稱x為f的一個不動點(diǎn)。一般地,若y=f(u),又u=g(x),則函數(shù)y=f(g(x))叫x的復(fù)合函數(shù)[5],其中y=f(u)叫外層函數(shù),u=g(x)叫內(nèi)層函數(shù),x為自變量,y為因變量,u為中間變量。函數(shù)f和g的復(fù)合運(yùn)算也可簡單寫作f°g。簡言之:復(fù)合函數(shù)就是把一個函數(shù)中的自變量換成另一個函數(shù)所得的新函數(shù)。復(fù)合函數(shù)也可以由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成。

    迭代[6]即重復(fù)執(zhí)行一系列運(yùn)算步驟,從前面的量依次求出后面的量的過程。此過程的每一次結(jié)果,都是由對前一次所得結(jié)果施行相同的運(yùn)算步驟得到的。用數(shù)學(xué)語言描述為:設(shè)I是任意一個區(qū)間,函數(shù)f:I→I,將f反復(fù)地復(fù)合,產(chǎn)生f2(x)=f°f(x),f3(x)=f°f°f(x)。一般地,fn(x)=f°fn-1(x)(n≥3)。則fn為f的第n次迭代。設(shè)函數(shù)φ在點(diǎn)t處可導(dǎo),函數(shù)f在點(diǎn)x=φ(t)處可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù)f°φ在點(diǎn)t處可導(dǎo),并且(f°φ)′(t)=(f′°φ(t))φ′(t),即稱為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。

    1.2 相關(guān)引理

    引理1[6]若f°f有唯一的不動點(diǎn), 則f也有唯一的不動點(diǎn)。

    證明設(shè)函數(shù)f°f有唯一的不動點(diǎn)a,即f°f(a)=a。再設(shè)f(a)=b,則f(b)=f°f(a)=a,f°f(b)=f(a)=b,所以b也是f°f的不動點(diǎn),又因?yàn)閒°f有唯一的不動點(diǎn),故b=a。從而f(a)=a,即a是f的不動點(diǎn)。如果f還有不動點(diǎn)c,則f°f(c)=c,則c也是f°f的不動點(diǎn),由唯一性得c=a,所以a是f唯一的不動點(diǎn)。

    引理2[6]設(shè)f:R→R,若f°f有且僅有兩個不動點(diǎn)a,b(a≠b),只有以下兩種情況:1)a,b都是f的不動點(diǎn);2)f(a)=b,f(b)=a。

    證明1)如果a,b都是f的不動點(diǎn),它們顯然也是f°f的不動點(diǎn)。

    2)如果不是1)的情況,則a,b中必有一個不是f的不動點(diǎn)。不妨設(shè)a不是f的不動點(diǎn),令f(a)=c≠a,由于f(c)=f(f(a))=a,f°f(c)=f(a)=c。這就說明c也是f°f的不動點(diǎn)。由于c≠a,因此必有c=b,由此即得f(a)=b,f(b)=a。

    引理3 設(shè)f:R→R,若f°f有且僅有三個不動點(diǎn)a,b,c(a≠b≠c),只有以下四種情況:

    1)a,b,c都是f的不動點(diǎn)

    2)f(a)=b,f(b)=a,f(c)=c

    3)f(a)=a,f(b)=c,f(c)=b

    4)f(a)=c,f(b)=b,f(c)=a

    證明1)如果a,b,c都是f的不動點(diǎn),它們顯然也是f°f的不動點(diǎn)。

    2)若f(a)=b,則f(b)=a,由于(f°f)(f(c))=f(f°f(c))=f(c)。所以f(c)也是f°f的不動點(diǎn),因此f(c)必等于a,b,c之一。但顯然f(c)=a或f(c)=b都會導(dǎo)致矛盾,從而必有f(c)=c。即f(a)=b,f(b)=a,f(c)=c。

    3)同理,若f(b)=c,則f(c)=b,從而必有f(a)=a。

    4)同理,若f(a)=c,則f(c)=a,從而必有f(b)=b。

    2 迭代方程可微性解存在性分析

    2.1 映射g有一個不動點(diǎn)的情形

    定理1 若g只有唯一不動點(diǎn)a,且g′(a)<0,則f°f=g無可微解。

    證明假定存在可微函數(shù)f使得f°f=g,則由引理1知f也有唯一的不動點(diǎn),即f(a)=a。按復(fù)合函數(shù)微商法則,得[f′(a)]2=f′(f(a))·f′(a)=(f°f)′(a)=g′(a)<0,顯然這是不可能成立的。故f°f=g無可微解。

    例1 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=-x3+x2+1。

    證明事實(shí)上,對于函數(shù)g(x)=-x3+x2+1,g(x)-x=-(x-1)(x2+1),顯然g(x)-x=0只有一個實(shí)根,這表明g(x)只有唯一的不動點(diǎn)x=1。又g′(x)=-3x2+2x,故g′(1)=-1<0,由此可見g(x)滿足定理1的條件,從而結(jié)論得證。

    2.2 映射g有兩個不動點(diǎn)的情形

    定理2 若函數(shù)g恰有兩個不動點(diǎn)a,b且1)g′(a)≠g′(b);2)g′(a)<0或g′(b)<0,則f°f=g無可微解。

    證明假定存在可微函數(shù)f使得f°f=g,則由引理2有以下兩種情況:

    1)f(a)=a,f(b)=b

    2)f(a)=b,f(b)=a

    首先考慮第一種情況,按復(fù)合函數(shù)微商法則,可以得到

    [f′(a)]2=f′(f(a))·f′(a)

    =(f°f)′(a)=g′(a)<0

    或 [f′(b)]2=f′(f(b))·f′(b)=(f°f)′(b)

    =g′(b)<0

    顯然這是不可能的,故f°f=g無可微解。

    然后看第二種情況,按復(fù)合函數(shù)微商法則,有

    g′(a)=f′(f(a))·f′(a)=f′(b)·f′(a)

    g′(b)=f′(f(b))·f′(b)=f′(a)·f′(b)

    由此得g′(a)=g′(b),與題設(shè)g′(a)≠g′(b)矛盾。故f°f=g無可微解。

    例2 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=x2-3x+3。

    證明事實(shí)上,對于函數(shù)g(x)=x2-3x+3,g(x)-x=(x-1)(x-3),顯然g(x)-x=0有兩個實(shí)根,這表明g(x)有兩個不動點(diǎn)x=1,x=3。又g′(x)=2x-3,故g′(1)=-1<0,g′(3)=3>0。由此可見g(x)滿足定理2的條件,從而結(jié)論得證。

    2.3 映射g有三個不動點(diǎn)的情形

    定理3 若函數(shù)g恰有三個不動點(diǎn)a,b,c且g′(c)<0;g′(c)≠g′(b);g′(c)≠g′(a),則f°f=g無可微解。

    證明假定存在可微函數(shù)f使得f°f=g,則由引理3有以下四種情況:

    1)f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c

    2)f(a)=b,f(b)=a,f(c)=c

    3)f(a)=a,f(b)=c,f(c)=b

    4)f(a)=c,f(b)=b,f(c)=a

    先考慮前兩種情況,按復(fù)合函數(shù)微商法則,得到

    [f′(c)]2=f′(f(c))·f′(c)=(f°f)′(c)

    =g′(c)<0

    這是不可能的,故f°f=g無可微解。

    然后看第三種情況,按復(fù)合函數(shù)微商法則,有

    g′(b)=f′(f(b))·f′(b)=f′(c)·f′(b)

    g′(c)=f′(f(c))·f′(c)=f′(b)·f′(c)

    由此應(yīng)有g(shù)′(c)=g′(b),與題設(shè)g′(c)≠g′(b)矛盾。故f°f=g無可微解。

    最后看第四種情況,按復(fù)合函數(shù)微商法則,有

    g′(a)=f′(f(a))·f′(a)=f′(c)·f′(a)

    g′(c)=f′(f(c))·f′(c)=f′(a)·f′(c)

    由此應(yīng)有g(shù)′(c)=g′(a),與題設(shè)g′(c)≠g′(a)矛盾。故f°f=g無可微解。

    例3 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=-x3+5x2-5x。

    證明對于函數(shù)g(x)=-x3+5x2-5x,g(x)-x=-x3+5x2-6x=-x(x-2)(x-3)。顯然g(x)-x=0有三個實(shí)根,這表明g(x)有三個不動點(diǎn)x=0,x=2,x=3。又g′(x)=-3x2+10x-5,故g′(0)=-5<0,g′(2)=3,g′(3)=-2。由此可見g(x)滿足定理3的條件,從而結(jié)論得證。

    例4 在R上不存在可導(dǎo)函數(shù)f,使其滿足f°f(x)=x3-5x2+3x+8。

    證明函數(shù)g(x)=x3-5x2+3x+8,g(x)-x=x3-5x2+2x+8=(x+1)(x-2)(x-4)。顯然g(x)-x=0有三個實(shí)根,這表明g(x)有三個不動點(diǎn)x=-1,x=2,x=4。又g′(x)=3x2-10x+3,故g′(-1)=16,g′(2)=-5<0,g′(4)=11。由此可見g(x)滿足定理3的條件,從而結(jié)論得證。

    3 結(jié)論

    文章從可微函數(shù)f不存在這個方面討論了一類迭代方程的可微解,得到這類方程可微解不存在的條件,利用這些條件可以很方便的判斷出滿足f°f=g的可微函數(shù)f都不存在。從f°f=g有一個不動點(diǎn)的情形開始討論,逐漸推廣到f°f=g有二個和三個不動點(diǎn)的情形,并分別舉例加以驗(yàn)證。然而對于很多的函數(shù)g,滿足f°f=g的可微函數(shù)f都不存在。一方面如何找到更多的函數(shù)g,滿足f°f=g的可微函數(shù)f都不存在;另一方面,能否找到這樣一組條件,使得只要函數(shù)g滿足這組條件,就一定存在函數(shù)f使f°f=g,將是后續(xù)需要研究的課題。

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