指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高質(zhì)量智能學(xué)習(xí)成效測(cè)試

鄭大明 趙洪艷

[摘 要]在學(xué)業(yè)測(cè)試題中設(shè)置講述題，是落實(shí)指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)習(xí)成效測(cè)試的一項(xiàng)關(guān)鍵措施。目的一，用數(shù)學(xué)眼光閱讀數(shù)學(xué)教材，即引導(dǎo)教師關(guān)注教材、引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材、引導(dǎo)師生理解教材;目的二，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)學(xué)習(xí)成果，即學(xué)會(huì)說(shuō)明教材內(nèi)容、學(xué)會(huì)說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)會(huì)說(shuō)明自己的想法。這樣的測(cè)試，不僅關(guān)注學(xué)生掌握的基本知識(shí)與基本技能，而且關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建以及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維形成過(guò)程的數(shù)學(xué)化表達(dá)，都是指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的培育。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)素養(yǎng);學(xué)業(yè)質(zhì)量;教材閱讀;語(yǔ)言表達(dá);命題測(cè)試

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）29-0011-04

教育評(píng)價(jià)具有導(dǎo)向、激勵(lì)、調(diào)節(jié)和監(jiān)督等功能，利用評(píng)價(jià)變革推進(jìn)課堂變革的發(fā)生，已經(jīng)成為國(guó)家助推課程改革的關(guān)鍵性舉措。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“《標(biāo)準(zhǔn)》”）指出：教學(xué)評(píng)價(jià)要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成作為評(píng)價(jià)的基本要素。評(píng)價(jià)要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握，還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和習(xí)慣，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)水平的達(dá)成……數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的。

在小學(xué)階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要是指“兩大能力”和“六個(gè)意識(shí)”，即抽象能力（包括數(shù)感、量感、形感）、運(yùn)算能力以及符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)、模型意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

在進(jìn)行以“三課四學(xué)”為基礎(chǔ)的高質(zhì)量智能學(xué)習(xí)研究中，我們把培養(yǎng)“人格力、學(xué)習(xí)力、創(chuàng)造力”作為育人的最高目標(biāo)，把指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)習(xí)測(cè)試，作為考查學(xué)生學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵性變革，把從2012年就開(kāi)始研究與設(shè)計(jì)的 “講述題” 題型置于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育和學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)的重要位置：一是用數(shù)學(xué)眼光閱讀數(shù)學(xué)教材，即引導(dǎo)教師關(guān)注教材、引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材、引導(dǎo)師生理解教材;二是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)學(xué)習(xí)成果，即學(xué)會(huì)說(shuō)明教材內(nèi)容、學(xué)會(huì)說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)會(huì)說(shuō)明自己的想法。

一、測(cè)試閱讀與表達(dá)素養(yǎng)：從關(guān)注“教書(shū)”到關(guān)注“讀書(shū)”

不少教師上數(shù)學(xué)課都不喜歡指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，只是在布置作業(yè)的時(shí)候才讓學(xué)生找找練習(xí)題在第幾頁(yè)。直接原因就是，擔(dān)心學(xué)生提前看了教材，預(yù)先知道了答案，那么教師只要一提問(wèn)，學(xué)生馬上就能說(shuō)出結(jié)果，教師自然無(wú)法繼續(xù)講課。

針對(duì)這種情況，我們專(zhuān)門(mén)設(shè)置一種測(cè)試題，促使學(xué)生解讀教材上的原題、原圖，促使教師把自己“教望天書(shū)”改成讓學(xué)生“讀數(shù)學(xué)書(shū)”。一開(kāi)始很多教師和家長(zhǎng)都抵觸這樣的考查模式，他們認(rèn)為：首先，教材上的內(nèi)容那么多，復(fù)習(xí)時(shí)抓不準(zhǔn)要考哪道例題或哪個(gè)圖;其次，答案不唯一，如果學(xué)生亂說(shuō)，教師就會(huì)打分評(píng)價(jià)困難。但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，大家發(fā)現(xiàn)這樣的考查模式對(duì)學(xué)生的閱讀能力、質(zhì)疑能力和表達(dá)能力的提高很有幫助。

【樣題1】講述教材原圖

例如“雞的只數(shù)=鴨的只數(shù)×4”，畫(huà)圖為：? ? ? ? [ ][ ][雞][鴨][鴨][鴨][鴨]

像上面的例子那樣，寫(xiě)出兩個(gè)量的等量關(guān)系后，再畫(huà)出來(lái)。（畫(huà)出正確的三個(gè)圖即得滿(mǎn)分）

1.設(shè)計(jì)意圖

（1）引導(dǎo)學(xué)生用直觀(guān)的方式說(shuō)明圖中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系;

（2）了解教師平時(shí)是否讓學(xué)生鉆研教材中的插圖;

（3）仿照給出的例子說(shuō)明數(shù)量關(guān)系的方式，能避免學(xué)生亂說(shuō)。

2.基本數(shù)據(jù)

[樣本數(shù)據(jù) 應(yīng)得分 實(shí)得均分 得分率 8262份 5分 3.92分 78% ]

3.典型案例與分析

第一類(lèi)：明確理解題意，圖式對(duì)應(yīng)完整。

第二類(lèi)：等量關(guān)系體現(xiàn)充分，圖示情況多樣。

第三類(lèi)：圖與式綜合表達(dá)清楚，兩個(gè)等量關(guān)系明確。

4.試題評(píng)析

本題考查的學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，包含了《標(biāo)準(zhǔn)》里面提到的“三會(huì)”，學(xué)生既要用“數(shù)學(xué)眼光”讀圖，弄懂例題和插圖的意思，又要用“數(shù)學(xué)思維”研究數(shù)量關(guān)系，還要用“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”即符號(hào)、圖示、文字等表達(dá)自己的認(rèn)識(shí)和理解。同時(shí)，此題還能幫助學(xué)生通過(guò)幾何直觀(guān)和數(shù)學(xué)建模來(lái)對(duì)插圖中的等量關(guān)系進(jìn)行理解性說(shuō)明。

當(dāng)然，也有不少學(xué)生不明確題意，答題時(shí)弄成雞、鴨的等量關(guān)系或者圖示，或者自己另編一套等量關(guān)系。

二、測(cè)試運(yùn)算與思維素養(yǎng)：從關(guān)注“外顯”到關(guān)注“內(nèi)涵”

過(guò)去，很多教師是把數(shù)學(xué)運(yùn)算作為學(xué)生應(yīng)該掌握的一項(xiàng)基本技能，將正確、迅速作為基本要求。最新修訂的《標(biāo)準(zhǔn)》指出：運(yùn)算能力的基本表現(xiàn)是能夠明確運(yùn)算的對(duì)象，理解算法與算理之間的關(guān)系;能夠理解運(yùn)算的問(wèn)題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題;能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

因此，我們?cè)诳疾閷W(xué)生對(duì)基本知識(shí)和基本技能的理解和掌握的程度時(shí)，把學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)內(nèi)涵、意義價(jià)值的深刻理解和靈活應(yīng)用放在重要位置，把對(duì)學(xué)生推理意識(shí)和思維品質(zhì)的考查作為重要測(cè)試目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)將“外顯”的公共知識(shí)結(jié)構(gòu)向“內(nèi)隱”的個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變。

【樣題2】講述對(duì)計(jì)算的理解

看圖后想辦法講明白 0.3×0.2 為什么等于 0.06？積為什么會(huì)比兩個(gè)乘數(shù)??？把你的想法寫(xiě)出來(lái)或畫(huà)出來(lái)。（選自《龍泉驛區(qū)2016—2017學(xué)年度下期末六年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)題》）

1.設(shè)計(jì)意圖

（1）用不同的方式表示小數(shù)乘法的意義;

（2）解釋小數(shù)乘積的意義;

（3）說(shuō)明積與乘數(shù)之間的變化關(guān)系。

2.基本數(shù)據(jù)

[樣本數(shù)據(jù) 應(yīng)得分 實(shí)得均分 得分率 8407份 3分 1.73分 58% ]

3.典型案例與分析

學(xué)生基本正確的解答可以分為三類(lèi)：

第一類(lèi)：結(jié)合圖示，從算式的意義方面來(lái)說(shuō)明0.3 的十分之二（五分之一）是多少或 0.2 的十分之三是多少，或模糊地解釋為“ 0.3 個(gè) 0.2或者0.2 個(gè) 0.3”。

第二類(lèi)：結(jié)合圖示，從算式的計(jì)算規(guī)律方面來(lái)說(shuō)明一個(gè)不為0的數(shù)乘一個(gè)小于1的數(shù)（純小數(shù)、真分?jǐn)?shù)），積比這個(gè)乘數(shù)小。

第三類(lèi)：?jiǎn)渭儚乃闶降膱D示方面來(lái)說(shuō)明，包括線(xiàn)段圖、方格圖。

4.試題評(píng)析

本題所考查的學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，表面上看，是運(yùn)算能力中的對(duì)運(yùn)算意義的理解，但實(shí)際上關(guān)注的是學(xué)生運(yùn)用幾何直觀(guān)和模型意識(shí)表達(dá)數(shù)學(xué)理解，著眼于推理意識(shí)和思維品質(zhì)的考查。在小學(xué)階段，計(jì)算教學(xué)不能只著眼于會(huì)算與算對(duì)，更要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)與思考過(guò)程。這樣的測(cè)試既能引起教師重視數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)表達(dá)，又能幫助學(xué)生通過(guò)幾何直觀(guān)思維和數(shù)學(xué)建模類(lèi)比來(lái)對(duì)算式的意義與算理進(jìn)行理解性說(shuō)明。

同時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)，就要學(xué)會(huì)用文字、圖形、符號(hào)等規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)認(rèn)知過(guò)程和思考過(guò)程，從本質(zhì)上闡述自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

雖然看起來(lái)測(cè)試題的得分率不高，學(xué)生不能運(yùn)用類(lèi)比推理來(lái)說(shuō)明30×20、3×2、0.3×0.2之間的聯(lián)系。這恰好說(shuō)明很多數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本思想方法等沒(méi)有真正落實(shí)，基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育不到位。這就為改進(jìn)教學(xué)提供了真實(shí)的依據(jù)。

三、測(cè)試系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化素養(yǎng)：從關(guān)注“獨(dú)立”到關(guān)注“聯(lián)系”

“數(shù)學(xué)理解的發(fā)展意味著，學(xué)生頭腦中建構(gòu)更加豐富、更加具有整合性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這種整合的知識(shí)結(jié)構(gòu)使得學(xué)生的數(shù)學(xué)理解更富有生成性?！甭?lián)系是數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)，是對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化理解的著眼點(diǎn)。學(xué)生需要在知識(shí)的關(guān)系脈絡(luò)中把握相關(guān)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)涵，找到知識(shí)之間內(nèi)在邏輯關(guān)系和發(fā)展變化的規(guī)律，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

數(shù)學(xué)教材通常是安排學(xué)生分單元、分小節(jié)地學(xué)習(xí)某些知識(shí)，有時(shí)為了突出“螺旋上升”編寫(xiě)原則，還故意把稍微大一些的單元拆分成幾段來(lái)編寫(xiě)。這樣難免出現(xiàn)肢解知識(shí)和碎片化學(xué)習(xí)的現(xiàn)象。因此，為了凸顯《標(biāo)準(zhǔn)》修訂意見(jiàn)中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的“整體性、層次性、系統(tǒng)性、一致性”的要求，我們?cè)跍y(cè)試中做了如下嘗試。

【樣題3】講述知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系

淘氣說(shuō)：在用豎式計(jì)算 123×45 時(shí)，用到了乘法分配律。你同意這個(gè)說(shuō)法嗎？請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)豎式說(shuō)說(shuō)自己的想法。

1.設(shè)計(jì)意圖

（1）考查學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解;

（2）考查學(xué)生對(duì)三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計(jì)算算理的理解;

（3）考查師生對(duì)知識(shí)、技能與數(shù)學(xué)規(guī)律之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)。

2.基本數(shù)據(jù)

3.典型案例與分析

從答題情況來(lái)看，該生從豎式計(jì)算的每一步的意義出發(fā)，清晰地解釋用豎式計(jì)算123×45時(shí)，就是將45分為40和5，然后再分別乘123，也就是計(jì)算5個(gè)123與40個(gè)123的和。這一解讀，符合乘法分配律的特征?？梢?jiàn)，學(xué)生能把豎式每一步的意思與乘法分配律的結(jié)構(gòu)、意義聯(lián)結(jié)在一起，在數(shù)學(xué)深層知識(shí)內(nèi)容的意義表征中，尋找知識(shí)之間的聯(lián)系，不斷豐富對(duì)豎式計(jì)算的本質(zhì)意義以及乘法分配律的理解。

4.試題評(píng)析

本題考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要是運(yùn)算能力。在教學(xué)乘法豎式計(jì)算時(shí)，教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)意義和算理的理解，同時(shí)重視知識(shí)之間的整合與關(guān)聯(lián)，溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，以結(jié)構(gòu)化的視角審視知識(shí)之間的聯(lián)系。

四、測(cè)試抽象與建模素養(yǎng)：從關(guān)注“結(jié)果”到關(guān)注“過(guò)程”

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程。設(shè)計(jì)講述題時(shí)就要直面知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)觀(guān)察、思考與操作過(guò)程，考查學(xué)生觀(guān)察事物的程序與方法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方向和路徑，引導(dǎo)教師在日常教學(xué)中重視學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成過(guò)程。

【樣題4】講述知識(shí)的發(fā)生過(guò)程

笑笑和淘氣用透明的塑料片制作了兩個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的容器，并在里面放了一些小正方體（如下圖）。說(shuō)說(shuō)笑笑和淘氣做的長(zhǎng)方體容器的容積各是多少毫升？

1.設(shè)計(jì)意圖

（1）考查教師是否重視組織體驗(yàn)與操作活動(dòng);

（2）考查學(xué)生的空間觀(guān)念、模型意識(shí)與推理意識(shí);

（3）考查學(xué)生對(duì)容積意義的理解和計(jì)算建模的知覺(jué)程度。

2.基本數(shù)據(jù)

3.典型案例

笑笑做的長(zhǎng)方體容器，是以1立方厘米的小正方體作為度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)度量長(zhǎng)方體容器的容積。度量出容器的長(zhǎng)、寬、高分別是8厘米、5厘米和3厘米，用乘法就可以知道容積是120立方厘米。因?yàn)?立方厘米就是1毫升，所以容器的容積是120毫升。

淘氣做的長(zhǎng)方體容器，是以8立方厘米的小正方體作為度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)度量長(zhǎng)方體容器的容積。它的長(zhǎng)是4個(gè)2厘米，寬是3個(gè)2厘米，高也是3個(gè)2厘米。先算出長(zhǎng)、寬、高，就可以知道容器的容積是8×6×6=288（立方厘米）。因?yàn)?立方厘米就是1毫升，所以容器的容積是288毫升。

4.試題評(píng)析

學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積時(shí)，記住的往往是形式化、結(jié)論性的公式，而缺乏對(duì)公式的本質(zhì)意義的理解。

長(zhǎng)方體體積的度量意義，就是看長(zhǎng)方體當(dāng)中包含的體積單位的個(gè)數(shù)。長(zhǎng)方體體積公式的本質(zhì)就是基于體積的度量意義，它一方面表達(dá)了度量的結(jié)果，即長(zhǎng)方體的體積就是長(zhǎng)方體中包含的體積單位的個(gè)數(shù)（體積單位的個(gè)數(shù)=每行個(gè)數(shù)×每層行數(shù)×層數(shù)），另一方面體現(xiàn)了度量知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，即每行個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、每層行數(shù)與長(zhǎng)方體的寬、層數(shù)與長(zhǎng)方體的高都存在著與度量標(biāo)準(zhǔn)物體的“邊長(zhǎng)”數(shù)的“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系。這樣，長(zhǎng)方體的體積等于“長(zhǎng)×寬×高”才有依據(jù)。因此，本題將考查的焦點(diǎn)落在體積測(cè)量轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度測(cè)量的躍進(jìn)過(guò)程，旨在溝通三維測(cè)量與一維測(cè)量之間的聯(lián)系。兩道題目的層次化的呈現(xiàn)，將學(xué)生用“邊長(zhǎng)1厘米”的立方體測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)遷移到用“邊長(zhǎng)2厘米”的立方體進(jìn)行測(cè)量，測(cè)試后得分率的差異就十分明顯。這能直接反映學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體體積公式的度量本質(zhì)認(rèn)識(shí)的程度，考查了學(xué)生對(duì)公式形成的發(fā)展性理解，避免了學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體容器的容積計(jì)算的公式化、機(jī)械化套用。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.01.

[2] 鄭大明.我要做數(shù)學(xué)大人：3C知識(shí)形成漫談[J].教育科學(xué)論壇，2014（12）.

[3] 王宜琴.小學(xué)數(shù)學(xué)課外拓展題設(shè)計(jì)“四要”[J].小學(xué)教學(xué)研究（教學(xué)版），2018（12）.

（責(zé)編 金 鈴）