發(fā)現(xiàn)定理證明方法，發(fā)展幾何直觀能力

摘 要：對勾股定理的證明，現(xiàn)行各版本初中數(shù)學教材都是直接給出弦圖或弦圖的“外翻”圖等，沒有說明如何由勾股定理的表達式構(gòu)造這樣的圖形。依此教學，學生只能利用現(xiàn)成的圖形證明勾股定理，從而感受幾何直觀的作用;不能學會如何構(gòu)造相應(yīng)的圖形，無法發(fā)展幾何直觀能力。對此，嘗試在教學中，通過聯(lián)系完全平方公式，建立認知遷移的“合適根據(jù)地”，抓住平方關(guān)系的幾何意義，引導學生探究發(fā)現(xiàn)構(gòu)造圖形證明勾股定理的方法，從而發(fā)展幾何直觀能力。

關(guān)鍵詞：勾股定理;證明方法;幾何直觀;探究發(fā)現(xiàn)

綜觀現(xiàn)行各版本初中數(shù)學教材中“勾股定理”的內(nèi)容，勾股定理的猜想通常都是通過特殊的直角三角形，利用數(shù)方格的方法;勾股定理的證明則主要采用趙爽的弦圖方法、畢達哥拉斯的弦圖“外翻”圖方法以及歐幾里得的“新娘的座椅”方法（有教材給出了美國總統(tǒng)加菲爾德構(gòu)造梯形的方法作為拓展內(nèi)容，但實際上，構(gòu)造的梯形就是弦圖“外翻”圖的一半）。

勾股定理作為“千古第一定理”，證法極多。趙爽和畢達哥拉斯的方法利用短鏈公理系統(tǒng)“被直線分割的封閉圖形，各個部分的面積之和等于整體的面積”，凸顯幾何直觀，更貼近學生的知識基礎(chǔ)與認知能力，在教材中通常作為正文出現(xiàn)。歐幾里得的方法利用長鏈公理系統(tǒng)（要找到將大正方形的面積分割為兩個小正方形的面積的方法），突出邏輯推理，對初中生的要求過高，在教材中通常作為拓展的閱讀材料出現(xiàn)。

然而，教材都是直接給出弦圖或弦圖的“外翻”圖等，沒有說明如何由勾股定理的表達式構(gòu)造這樣的圖形。依此教學，學生只能利用現(xiàn)成的圖形證明勾股定理，從而感受幾何直觀的作用;不能學會如何構(gòu)造相應(yīng)的圖形，無法發(fā)展幾何直觀能力。也就是說，對勾股定理的證明，學生知其然，而不知其所以然。換句話說，對勾股定理，學生知其所以然，而不知何由以知其所以然?？傊?，就幾何直觀能力的培養(yǎng)而言，這樣的教學并不到位。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將“幾何直觀”作為十個核心詞之一， 并且指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”如何利用圖形？先要得到（構(gòu)造）圖形。對代數(shù)或其他非幾何對象或關(guān)系而言，即要想到其幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為幾何表征。常用的方法有把數(shù)（字母）式看成圖形的度量（如長度、面積、體積）或變成坐標系（包括數(shù)軸）中的點。此外，對具體教學內(nèi)容（數(shù)學知識或問題）而言，如果說明有關(guān)結(jié)論（對象關(guān)系）的幾何表征比較復雜（陌生），一下子難以得到，那么，可從有聯(lián)系的更簡單（熟悉）的內(nèi)容出發(fā)，建立認知遷移的“合適根據(jù)地”，由此過渡。

基于這樣的想法，筆者嘗試在教學中，引導學生探究發(fā)現(xiàn)構(gòu)造圖形證明勾股定理的方法，從而發(fā)展幾何直觀能力。

一、設(shè)計思考

面對勾股定理的表達式a2+b2=c2，從幾何意義的角度，不難構(gòu)造邊長分別為a、b、c的正方形，但是由此很難說明a2+b2=c2——歐幾里得便是這樣構(gòu)造圖形的，進一步證明還需要作輔助線，利用三角形全等和等面積變換相關(guān)知識。

如何更巧妙地構(gòu)造圖形，從而更容易地說明a2+b2=c2？該式左邊是兩數(shù)（字母）平方的和，它曾在完全平方公式（有兩數(shù)和與兩數(shù)差兩種形式）中出現(xiàn)，即（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2。這兩個公式不難構(gòu)造圖形證明。進一步分析可發(fā)現(xiàn)，所構(gòu)造的圖形中有邊長為a的正方形和邊長為b的正方形，因此有a2、b2;還有長、寬分別為a、b的矩形，因此不僅有ab，而且有c（該矩形的對角線）;但是沒有c2（邊長為c的正方形），也不容易說明a2+b2=c2。不過，由此可以想到：如果式子中有4ab，是否可以構(gòu)造四個長、寬分別為a、b的矩形，得到一個邊長為c的正方形？顯然，兩個完全平方公式相減，便有（a+b）2=（a-b）2+4ab。嘗試構(gòu)造圖形證明這個公式，發(fā)現(xiàn)由所構(gòu)造的圖形可以同時得到弦圖和弦圖的“外翻”圖?？梢?，如何構(gòu)造弦圖和弦圖的“外翻”圖，完全可以由教師引導學生探究發(fā)現(xiàn)。

二、實施過程

根據(jù)上述思考，教學的實施過程如下：

師?? 如何構(gòu)造幾何圖形表示兩數(shù)和的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2？

生??? （出示圖1） 只要構(gòu)造以（a+b）為邊長的正方形，其中的面積關(guān)系就可以表示兩數(shù)和的完全平方公式。

師?? 很好！你能提出其他構(gòu)造幾何圖形表示代數(shù)恒等式的問題嗎？

生?? 如何構(gòu)造幾何圖形表示兩數(shù)差的完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2？

師?? 很好！如何回答這個問題？

生??? （出示圖2） 作邊長為a的正方形，從這個正方形的一個頂點出發(fā)，在相鄰的兩邊上取長為b的線段，分別過線段的另一個端點作平行于正方形邊的直線，將正方形分成一個邊長為（a-b）的正方形和兩個長、寬分別為a、b的矩形，且這兩個矩形重疊的部分是一個邊長為b的正方形。由此，容易驗證兩數(shù)差的完全平方公式。

師?? 這里出現(xiàn)了圖形的重疊，邊長為b的正方形的面積被減了兩次，只好再加上一次。這種方法有點不太順暢。能不能不利用這種方法，重新構(gòu)造幾何圖形表示兩數(shù)差的完全平方公式呢？

（學生思考。）

師?? 兩數(shù)和的完全平方公式與兩數(shù)差的完全平方公式之間具有怎樣的關(guān)系？

生?? 容易發(fā)現(xiàn)，（a+b）2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=（a-b）2+4ab，即（a+b）2=（a-b）2+4ab。

師?? 非常好！能構(gòu)造一個不存在重疊使用的幾何圖形表示這個恒等式嗎？

生??? （出示圖3） 在以（a+b）為邊長的正方形中挖去四個分別以a、b為長、寬的矩形，就可以達到目的。

師?? 現(xiàn)在需要研究這樣的一個問題： （出示圖4） 在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，那么 a、b、c之間具有怎樣的關(guān)系？前面構(gòu)造的幾何圖形對于發(fā)現(xiàn)這個直角三角形的三邊關(guān)系有幫助嗎？

（學生思考。）

生?? 最后構(gòu)造的正方形中存在四個長、寬分別為a、b的矩形，這樣的矩形恰好是由兩個直角邊長分別為a、b的直角三角形斜邊重合 （成為矩形的對角線） 拼成的。由三角形全等的判定，可知這四個矩形的對角線長均為c。由此，我隱隱地意識到，Rt△ABC三邊長a、b、c之間的關(guān)系就隱藏在這個正方形中的面積關(guān)系中。但目前，我還不知如何具體利用這個正方形。

師?? 非常好！從思想觀念上說，這個問題已經(jīng)解決了。那么，怎樣運用這個思想觀念來具體地處理最后構(gòu)造的正方形呢？請大家開動腦筋。

生?? 不難想到，要連接這個正方形中四個矩形的對角線。但是我想，不應(yīng)該隨意地連接，而最好通過連接得到面積與矩形對角線長 （也就是直角三角形斜邊長） 有關(guān)的封閉圖形，從而充分利用正方形中的面積關(guān)系得到直角三角形的三邊關(guān)系。 （出示圖5） 因此，我這樣連接四個矩形的對角線。

師?? 很好！這四條對角線構(gòu)成了什么圖形？

生?? 這四條對角線構(gòu)成了一個邊長為c的正方形，它外面有四個直角邊長分別為a、b的直角三角形，它們一起構(gòu)成了一個邊長為（a+b）的正方形。所以，圖中的面積關(guān)系是（a+b）2=c2+4× 1 2 ab，化簡可得a2+b2=c2。

師?? 很好！ （出示圖6） 如圖，你重點關(guān)注了四條對角線外的四個直角三角形，通過面積關(guān)系巧妙地得到了直角三角形的三邊關(guān)系。 （指著圖5） 這個圖形中，還有其他面積關(guān)系可以得到直角三角形的三邊關(guān)系嗎？

生?? 這四條對角線構(gòu)成了一個邊長為c的正方形，其內(nèi)部有四個直角邊長分別為a、b的直角三角形，剩余部分是一個邊長為（a-b）的正方形。所以，圖中的面積關(guān)系是（a-b）2+4× 1 2 ab=c2，化簡可得a2+b2=c2。

師?? 很好！ （出示圖7） 如圖，你重點關(guān)注了四條對角線

內(nèi)的四個直角三角形， 同樣通過面積關(guān)系巧妙地得到了直角三角形的三邊關(guān)系。由此可以充分肯定，Rt△ABC三邊長 a、b、c之間的關(guān)系為a2+b2=c2。這就是勾股定理。

（學生露出驚喜的表情。）

師?? 同學們很厲害！不知不覺就發(fā)現(xiàn)了古代數(shù)學家證明勾股定理的方法：

（指著圖6） 公元前6世紀，古希臘哲學家、數(shù)學家畢達哥拉斯用這個方法證明了勾股定理; （指著圖7） 公元3世紀，我國古代數(shù)學家趙爽用這個方法證明了勾股定理。

……

課后，有學生告訴筆者：利用表示兩數(shù)和的完全平方公式的圖形（即圖1）或者表示兩數(shù)差的完全平方公式的圖形（即圖2），也能證明勾股定理。他出示圖8和圖9，解釋道：“雖然這兩個圖形中都只有兩個長、寬分別為a、b的矩形，但是可以這樣連接得到相互垂直的兩條對角線，由此可以發(fā)現(xiàn)，四邊形ABCD的面積分割成兩個三角形來算的話，都是 1 2 c2，而且，換一組底和高來算的話，結(jié)果都是 1 2 （a2+b2）?！?/p>

這個意外的生成讓筆者感到驚喜。這說明學生能夠靈活運用平方關(guān)系的幾何意義構(gòu)造圖形：相乘的兩數(shù)只需要是相互垂直的兩條線段的長，由實際情況可以構(gòu)造矩形，也可以構(gòu)造三角形等。也說明學生理解了面積法的本質(zhì)：對同一圖形的面積“算兩次”，利用面積不變得到數(shù)量關(guān)系。這表明學生的幾何直觀能力得到了較好的發(fā)展。

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