思想引路,技術(shù)輔助

童正卿 彭翕成 羅家亮

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以尋找一些在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法指引作用的基礎(chǔ)上進(jìn)一步凸顯信息技術(shù)輔助作用的數(shù)學(xué)探究課題，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。從蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第10章《三角恒等變換》中的一道例題和一道習(xí)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探究三角形中三個(gè)角的三角函數(shù)和與積的對(duì)稱式之間的恒等或不等關(guān)系：在建立一般化模型后，重點(diǎn)借助計(jì)算型軟件完成較大規(guī)模的計(jì)算，通過等式或不等式的傳遞性簡(jiǎn)化復(fù)雜的兩兩關(guān)系，得到關(guān)于18個(gè)三角對(duì)稱式的19組恒等或不等關(guān)系的猜想。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)探究;信息技術(shù);三角恒等變換;三角對(duì)稱式

一、理念：數(shù)學(xué)探究課題的選擇要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的指引作用，凸顯信息技術(shù)的輔助作用 ??在實(shí)驗(yàn)版課標(biāo)的基礎(chǔ)上，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了“數(shù)學(xué)探究”這一學(xué)習(xí)方式和活動(dòng)，指出它是“綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體”之一。所謂“數(shù)學(xué)探究”，其實(shí)就是局部的、有限的“像數(shù)學(xué)家一樣研究”，通?？梢苑譃榘l(fā)現(xiàn)（猜想）與證明（或反駁）這兩個(gè)基本階段，包括發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題等基本活動(dòng)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的基本方式。一般來說，數(shù)學(xué)探究需要基于已有知識(shí)，利用一些具有概括性和普遍性的數(shù)學(xué)思想方法（新課標(biāo)提出的六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其實(shí)就是最上位的一些數(shù)學(xué)思想方法）作為指引，通過一些具體的數(shù)學(xué)技術(shù)手段（本質(zhì)上也屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略）作為輔助來實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于數(shù)學(xué)技術(shù)手段，新課標(biāo)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了信息技術(shù)的運(yùn)用，指出：“應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果。例如，利用計(jì)算機(jī)展示函數(shù)圖像、幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化過程;利用計(jì)算機(jī)探究算法、進(jìn)行較大規(guī)模的計(jì)算……”實(shí)際上，運(yùn)用信息技術(shù)，不僅可以幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)探究中很多技術(shù)上的困難（節(jié)省時(shí)間和精力），從而充分體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的作用，獲得更為豐富的探究成果;而且可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)信息技術(shù)的作用，從而提升應(yīng)用信息技術(shù)的意識(shí)與能力，發(fā)展時(shí)代素養(yǎng)。

教學(xué)中，很多教師也在嘗試通過數(shù)學(xué)探究，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，把握其中的結(jié)構(gòu)關(guān)系，并且領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同時(shí)，也注意了運(yùn)用信息技術(shù)輔助。比如，利用多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)直觀的現(xiàn)實(shí)情境，利用動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)（幾何作圖軟件）展示圖像、圖形的運(yùn)動(dòng)變化。但是，很多時(shí)候，信息技術(shù)只是錦上添花，沒有起到雪中送炭的作用。比如，一些抽象思考能力或作圖能力較強(qiáng)的學(xué)生，完全可以通過語言文字和簡(jiǎn)單圖表理解現(xiàn)實(shí)情境或基于手工作圖想象圖像、圖形的運(yùn)動(dòng)變化。究其原因，可能是數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容和目標(biāo)（或者說課題）比較基礎(chǔ)和簡(jiǎn)單，缺少拓展性和挑戰(zhàn)性。

實(shí)際上，“數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵……教師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，有比較開闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的擴(kuò)展知識(shí)和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真思考其中的一些問題，為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分的準(zhǔn)備，并積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源”。因此，教師可以進(jìn)一步拓寬數(shù)學(xué)視野，尋找一些在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法指引作用的基礎(chǔ)上進(jìn)一步凸顯信息技術(shù)輔助作用的數(shù)學(xué)探究課題，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。

二、案例：“探究三角形中三角對(duì)稱式的大小關(guān)系”的教學(xué)

（一）教前思考

蘇教版高中數(shù)學(xué)（依據(jù)新課標(biāo)編寫的新教材）必修第二冊(cè)第10章《三角恒等變換》中有幾道關(guān)于三角形中三個(gè)角的三角函數(shù)和與積的對(duì)稱式的恒等關(guān)系的證明題： （1） （“兩角和與差的正切”小節(jié)例4）在斜三角形ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;（2）（“幾個(gè)三角恒等式”一節(jié)習(xí)題7） 在△ABC中，求證：①sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC;②cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC。這樣的等式很漂亮， 有一種簡(jiǎn)潔的對(duì)稱美（除了最后一個(gè)式子多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)-1），但是顯得比較零散。聯(lián)想到可以通過改變函數(shù)名和角的系數(shù)衍生出更多的三角對(duì)稱式，并且感覺到這些式子之間可能有更加豐富的恒等或恒不等關(guān)系，我們便想系統(tǒng)地一探究竟。

列出這些式子后，我們發(fā)現(xiàn)，需要比較的兩兩關(guān)系非常多，除了少數(shù)可以直接看出或證明的恒等或恒不等關(guān)系之外，很多關(guān)系需要通過較多的特殊值計(jì)算初步確定后，再通過思考給出證明。因此，要系統(tǒng)地得到豐富的結(jié)論，需要大量的工作。這時(shí)，我們想到可以在建立一般化模型后，借助計(jì)算型軟件完成較大規(guī)模的計(jì)算;還可以借助點(diǎn)線有向圖去掉通過等式或不等式的傳遞性可以得到的關(guān)系，直觀簡(jiǎn)潔地顯示需要進(jìn)一步證明的關(guān)系。這是一個(gè)極好的凸顯數(shù)學(xué)思想方法指引作用以及信息技術(shù)輔助作用的數(shù)學(xué)探究課題，可以用來引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。

（二）教學(xué)過程

1.推向一般，建立模型。

教師出示上述教材中的例題和習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要證的式子的特征：左右兩邊都是（有）三角形中三個(gè)角的三角函數(shù)和與積的對(duì)稱式。然后提出問題：“這樣的式子有一種簡(jiǎn)潔的對(duì)稱美，你能否再找一些類似的式子？”學(xué)生嘗試構(gòu)造出更多的三角對(duì)稱式后，教師引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)名和角的系數(shù)適度地一般化，建立如下模型：T={f（tA）+f（tB）+f（tC），f（tA）f（tB）f（tC）}，其中f∈{sin，cos，tan，cot}，t∈ 1，2， 1 2? 。

逐一列出集合T中的24個(gè)三角對(duì)稱式后，教師指出：“直接比較這些式子的大小，當(dāng)然可以。但是，根據(jù)教材中的習(xí)題，可知sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC。另外，觀察前面兩個(gè)式子，顯然sinA+sinB+sinC≥sinAsinBsinC?？梢?，如果不給這些式子加上合適的系數(shù)，有些式子之間的大小關(guān)系就過于明顯了。為了讓比較更有意義，可以加上合適的系數(shù)，使這些式子更加均衡。那么，應(yīng)該怎么加呢？”經(jīng)過討論，學(xué)生得出：結(jié)合對(duì)稱性，可以使這些式子在A=B=C= π 3 時(shí)相等。為此，學(xué)生先分別算出這些式子在A=B=C= π 3 時(shí)的值，再分別將這些式子除以算出的值（即以算出的值的倒數(shù)為系數(shù)）。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)約化，只考慮系數(shù)為正的18個(gè)式子，并將這18個(gè)式子依次標(biāo)記為ti：t1= 2 3 3? （sinA+sinB+sinC），t2= 8 3 3? ·sinAsinBsinC，t3= 2 3 3? （sin2A+sin2B+?sin2C），t4= 8 3 3? sin2Asin2Bsin2C，t5= 2 3? sin A 2 + sin B 2 +sin C 2? ，t6=8sin A 2 sin B 2 sin C 2 ，t7= 2 3 （cosA+cosB+cosC），t8=8cosAcosBcosC，t9= 2 3 3? ?cos A 2 +cos B 2 +cos C 2? ，t10= 8 3 3? ·cos A 2cos B 2 cos C 2 ，t11= 1 3 3? （tanA+tanB+ tanC），t12= 1 3 3? tanAtanBtanC，t13= 1? 3?? tan A 2 + tan B 2 +tan C 2? ，t14=3 3 tan A 2 tan B 2 tan C 2 ，t15= 1? 3? （cotA+cotB+cotC），t16=3 3 cotA·cotBcotC，t17 = 1 3 3?? cot A 2 +cot B 2 +cot C 2? ，t18= 1 3 3? cot A 2cot B 2cot C 2 。

2.機(jī)器計(jì)算，歸納猜想。

師?? 有了這18個(gè)三角對(duì)稱式，接下來就要比較它們的大小，從而獲得更多類似教材例題和習(xí)題結(jié)論的式子——等式或不等式。那么，怎么比較呢？

生? 兩兩比較。

師?? 不錯(cuò)，但這樣要考慮多少種情況？

生? C218=153。

師?? 是的。可見，總體來說，工作量很大。那么，具體面對(duì)兩個(gè)式子，如t1和t2時(shí)，怎么比較它們的大??？可以直接證明嗎？

生?? 不可以，這時(shí)大小關(guān)系有沒有、是什么都還沒確定。

師?? 按照數(shù)學(xué)研究的一般路徑，可以怎么做？

生?? 可以首先通過一些特殊值歸納猜想兩個(gè)式子的大小關(guān)系（有沒有、是什么），然后通過已知結(jié)論或定理演繹證明兩個(gè)式子的大小關(guān)系。

師?? 很好！一般要舉幾個(gè)怎樣的特例，才能初步判斷兩個(gè)式子的大小關(guān)系？

生?? 我們覺得，要多舉一些差異較大的特例，才能作出比較正確的判斷。

師?? 沒錯(cuò)?？梢?，具體來看，工作量也不小。那么，有什么辦法提高工作效率嗎？

（學(xué)生思考。）

生?? 我覺得，不一定要兩兩比較所有的式子。比如，如果t1>t2，t2>t3，那么t1和t3就不需要比較了。

生??? 這樣可能會(huì)減少一些工作量，但是，我們事先也不能確定，只能碰運(yùn)氣。萬一t1>t2，t2t2，t2和t3沒有確定的大小關(guān)系呢？

師?? 剛才這位同學(xué)說的方法確實(shí)能在一定程度上減少一些工作量，但是也存在不確定性，至少在歸納發(fā)現(xiàn)較多關(guān)系之前，有可能減少不了多少工作量。還有其他方法嗎？

生?? 全班合作，每人研究三四組關(guān)系即可。

師?? 沒錯(cuò)，我們不要忘了集體的力量。不過，集體的力量也是人的工作，雖然每個(gè)人的工作量不大，但是所有人的工作加起來并沒有減少。而且，老師今天想讓你們把集體的力量更多地用在后續(xù)的兩兩關(guān)系證明中，這個(gè)工作非人力不能完成。老師總覺得，當(dāng)我們歸納發(fā)現(xiàn)兩兩關(guān)系后，去掉無法確定的關(guān)系，去掉利用等式或不等式的傳遞性就可以獲得的關(guān)系，真正需要進(jìn)一步證明的關(guān)系可能不會(huì)很多。那么，除了人力，還有其他方法嗎？

（學(xué)生有些茫然。）

生??? （弱弱地） 用計(jì)算器算？

生

這不算，本來很多非特殊角的三角函數(shù)值就得用計(jì)算器算或者查表算。

生

而且，還是要一個(gè)式子一個(gè)式子、一個(gè)值一個(gè)值地按過去。

師??? （微笑） 想法很接近了。實(shí)際上，我們可以把繁重的計(jì)算、比較任務(wù)交給更高級(jí)的“計(jì)算器”，即計(jì)算機(jī)處理。當(dāng)下是信息技術(shù)時(shí)代，計(jì)算機(jī)軟件能做許多我們甚至想象不到的事情。不就是153種情況嗎？不就是多舉一些差異較大的特例嗎？對(duì)計(jì)算機(jī)來說，小菜一碟。我們可以讓計(jì)算機(jī)這樣做：任選兩個(gè)式子ti和tj，隨機(jī)對(duì)A、B、C賦值，重復(fù)執(zhí)行1000次，計(jì)算得到ti-tj的符號(hào);若結(jié)果都為非負(fù)，則輸出ti≥tj;若結(jié)果都為非正，則輸出ti≤tj;若發(fā)生其余情況，則不輸出。 （稍停） 而且，如果將所得的等式或不等式全部列出，那么顯然不夠直觀，而且不夠簡(jiǎn)潔。

因此，我們還可以讓計(jì)算機(jī)這樣做：通過點(diǎn)線有向圖，將18個(gè)式子看成18個(gè)點(diǎn)，用箭頭表示它們之間的大小關(guān)系，即若ti≤tj，則輸出ti→tj;再利用等式或不等式的傳遞性，刪除多余的箭頭，如根據(jù)t4→t3，t3→t6，刪除t4→t6的箭頭。

（教師引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算機(jī)，得到18個(gè)式子的大小關(guān)系圖，見圖1。）

師?? 看到這個(gè)圖，你有什么感覺？

生?? 有些驚喜！

師?? 為什么？

生?? 153組兩兩比較，去掉無法確定的大小關(guān)系，去掉利用等式或不等式的傳遞性就可以獲得的大小關(guān)系，就剩下19組大小關(guān)系了。

生?? 其中，15組是不等關(guān)系，4組是相等關(guān)系。

生?? 19組大小關(guān)系雖然不多，但是基本上可以確定了，加上利用傳遞性可以得到的更多的大小關(guān)系，并不少了。我感覺發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的“大寶藏”！

師?? 確實(shí)，利用計(jì)算機(jī)，我們不費(fèi)吹灰之力，就得到了18個(gè)式子兩兩之間有且只有的最基本的19組恒等或恒不等關(guān)系。高效！系統(tǒng)！漂亮！可以看出，數(shù)學(xué)思想加上信息技術(shù)，威力很大吧！

3.人工推理，演繹證明。

即使只有19組恒等或不等關(guān)系了，其中不少關(guān)系的演繹證明對(duì)學(xué)生來說，也并不簡(jiǎn)單。課堂時(shí)間有限，在最后的階段，教師讓學(xué)生不必急著證明這些關(guān)系，而是基于高等數(shù)學(xué)復(fù)雜證明中常用的“引理思想”，先思考哪些關(guān)系比較容易證明（如教材例題和習(xí)題中的恒等關(guān)系），還有哪些可能用得上（常用）的結(jié)論比較容易得出，將它們作為引理。在教師的幫助下，學(xué)生分組合作，證明（得到）了如下四組引理（包括19組恒等或不等關(guān)系中的4組恒等關(guān)系）：

引理1?? （1）sin2A+sin2B+sin2C=4sinA· sinBsinC（即t3=t2）;

（2）sinA+sinB+sinC=4cos A 2 cos B 2 cos C 2 （即t1=t10）;

（3）cosA+cosB+cosC=1+4sin A 2 sin B 2 ·sin C 2 。

引理1 考察了正弦與余弦、“倍角”“全角”與“半角”、和式與積式一些式子的相等關(guān)系。其中，（1）（2）兩個(gè)式子運(yùn)用和差化積公式不難證明;（3）式可以運(yùn)用和差化積公式和二倍角公式證明。

引理2?? （1）sinA+sinB+sinC≤ 3 3? 2 ;

（2）sin A 2 +sin B 2 +sin C 2 ≤ 3 2 ;

（3）sinAsinBsinC≤ 3 3? 8 ;

（4）sin A 2 sin B 2 sin C 2 ≤ 1 8 ;

（5）cosA+cosB+cosC≤ 3 2 ;

（6）cos A 2 +cos B 2 +cos C 2 ≤ 3 3? 2 ;

（7）cosAcosBcosC≤ 1 8 ;

（8）cos A 2 cos B 2 cos C 2 ≤ 3 3? 8 。

引理2考察了正弦與余弦、“全角”與“半角”、和式與積式全部式子的取值范圍。其中，（1）（2）（5）（6）四個(gè)式子都可運(yùn)用琴生不等式證明;（3）（4）（7）（8）四個(gè)式子分別可由（1）（2）（5）（6）四個(gè)式子，運(yùn)用均值不等式證明。

引理3??? （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanB·tanC （即t11=t12）;

（2）tan A 2 tan B 2 +tan B 2 tan C 2 +tan C 2 tan A 2 =1;

（3）cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;

（4）cot A 2 +cot B 2 +cot C 2 =cot A 2 cot B 2 cot C 2 （即t17=t18）。

引理3考察了正切與余切、“全角”與“半角”、和式與積式一些有關(guān)式子的相等關(guān)系。其中，（1）（2）兩個(gè)式子分別可運(yùn)用兩角和的正弦公式tanC=-tan（A+B）= tanA+tanB tanAtanB-1 和tan C 2 =cot A+B 2 =?1-tan A 2 tan B 2? tan A 2 +tan B 2

證明;（3）（4）兩個(gè)式子分別可用（1）（2）兩個(gè)式子，由正切和余切的倒數(shù)關(guān)系變形得到。

引理4??? 對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y、z，有（x+y+z）2≥3（xy+yz+zx）。

引理4考察了三項(xiàng)和與積的一個(gè)特殊的不等關(guān)系，利用基本不等式不難證明。

對(duì)于剩下的15組恒不等關(guān)系，教師讓學(xué)生三四人一組，分成15組，課后分別合作證明。第二節(jié)課上，學(xué)生給出了9組恒不等關(guān)系的證明。對(duì)于剩下的6組有一定難度的恒不等關(guān)系（t16≤t2、t14≤t10、t14≤t7、t10≤t9、t1≤t5、t7≤t9）的證明，教師做了簡(jiǎn)要的提示，并說明：實(shí)在無法證明也沒有關(guān)系，重點(diǎn)是體會(huì)到數(shù)學(xué)探究中猜想與證明的關(guān)系。

最后，教師讓學(xué)生基于19組恒等或不等關(guān)系，利用等式或不等式的傳遞性，生成更多的不等式。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了很多很漂亮的結(jié)論，如? 1 8 t6=sin A 2 sin B 2 sin C 2 ≥cosAcosBcosC = 1 8 t8，?3 3? 2 t1=sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C= 3 3? 2 t3，?3 3? 2 t3=sin2A+sin2B+sin2C≤ 3 3? 2 t5≤ 3 3? 2 等。

參考文獻(xiàn)：

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本文系江蘇省南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“高中生數(shù)學(xué)建模能力的評(píng)價(jià)研究”（編號(hào)：L/2020/480）的階段性研究成果。