馬紀(jì)英 賈慧羨 姜文鵬
摘要:文章以一道幾何問題的三種解題思路為依托,融合正弦定理、塞瓦定理、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等幾何、代數(shù)、微積分內(nèi)容為一體,反對(duì)解題思路的割裂,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性,為數(shù)學(xué)的綜合應(yīng)用提供思路。
關(guān)鍵詞:正弦定理;導(dǎo)數(shù)應(yīng)用;塞瓦定理;融合
中圖分類號(hào):O13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A
Algebraicthinkingofageometricproblem
MaJiyingJiaHuixianJiangWenpeng
ShijiazhuangPostsandTelecommunicationsTechnicalCollegeHebeiShijiazhuang050021
Abstract:Basedonthreesolutionstoageometricproblem,thispaperintegratesthegeometry,algebraandcalculuscontentssuchassinetheorem,Ceva'sTheorem,trigonometricfunctionandderivativeapplication,opposestheseparationofsolutions,embodiestherelevanceofmathematics,andprovidesideasforthecomprehensiveapplicationofmathematics.
Keywords:sinetheorem;derivativeapplication;Ceva'sTheorem;fusion
在我們的學(xué)習(xí)過程中,無論是中學(xué)生還是大學(xué)生,一般幾何相對(duì)來說是一個(gè)稍顯封閉的學(xué)科。在初高中的平面幾何、立體幾何中,幾何問題是采用獨(dú)特的幾何證明方法或計(jì)算方法自行內(nèi)部解決的;在高中和大學(xué)的平面解析幾何和立體解析幾何中,幾何問題開始與函數(shù)進(jìn)行了結(jié)合,開始使用函數(shù)的形式或向量運(yùn)算的形式表示直線、平面以及他們的關(guān)系或者一些具體的運(yùn)算,更進(jìn)一步是正弦定理、余弦定理或者行列式的表示和引入,總體來說,幾何問題在我們觸及的學(xué)習(xí)過程中與強(qiáng)大的微積分工具結(jié)合不是很深入。
文章引入的是一道直觀的幾何問題,但又不是純粹的幾何問題,也不是單純的解析幾何問題,解題過程中不同程度地涉及代數(shù)計(jì)算、函數(shù)推導(dǎo)、三角公式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等多方面內(nèi)容,適用于多個(gè)數(shù)學(xué)分支的綜合應(yīng)用。
1問題描述
如圖1,三角形ΔABC,D為ΔABC內(nèi)一點(diǎn),連接DA、DB、DC,已知∠DBA=30°、∠DBC=40°、∠DCA=50°、∠DCB=20°。問∠DAC=?
2解法一(正弦定理+解析計(jì)算)
正弦定理是三角學(xué)的一個(gè)基本定理,在三角形的代數(shù)運(yùn)算中具有非常廣泛的應(yīng)用,它的描述是:在任意一個(gè)平面三角形中,各角的正弦值和它所對(duì)應(yīng)的邊的比值是相等的,并且它的倒數(shù)等于外接圓的直徑。也就是:
asinA=bsinB=csinC=2r=d
正弦定理最早可以追溯到13世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家納綏爾丁和15世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯的“同徑法”,也就是將三角形內(nèi)角的正弦作為同半徑圓的正弦線,再使用三角形的相似性質(zhì)計(jì)算出兩個(gè)正弦值之比和角的對(duì)邊之比相等。17到18世紀(jì),我國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅文鼎和英國(guó)數(shù)學(xué)家辛普森又分別獨(dú)立對(duì)“同徑法”進(jìn)行了簡(jiǎn)化。19世紀(jì),英國(guó)數(shù)學(xué)家伍德豪斯把半徑選取為1,把正弦線發(fā)展為比值的三角函數(shù),最后得到了今天普遍采用的正弦定理表達(dá)式。
如圖2,令∠ADC=α,則∠ADB=360°-α-(180°-40°-20°)=240°-α,并且α∈(90°,130°);又有∠ABC=∠ACB=70°,則ΔABC為等腰三角形,設(shè)AB=AC=a,AD=b。
在ΔACD內(nèi)使用正弦定理,有:
asinα=bsin50°(1)
在ΔABD內(nèi)使用正弦定理,有:
asin(240°-α)=bsin30°(2)
由(2)式得:
b=12asin(240°-α)
代入(1)式有:
asinα=12asin(240°-α)sin50°
整理有:
12sinα=sin(240°-α)sin50°(3)
=sin240°cosαsin50°-cos240°sinαsin50°
=-32cosαsin50°+12sinαsin50°
于是:
(12-12sin50°)sinα=-32sin50°cosα
tanα=-32sin50°12-12sin50°
計(jì)算,由:
sin50°≈0.766
可得:
tanα≈-5.6697
即:
α≈-79.99727°+180°k
k為整數(shù)。
從而α≈100.00273°,可以估算為α=100°。
代入(3)式中驗(yàn)證:
右邊=sin(240°-100°)sin50°
=12(cos90°-cos190°)=-12cos190°