基于Bezier函數(shù)方法的球殼振動(dòng)特性分析

池旭帆，束永平

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620)

彈性開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)具有良好的物理特性，因此被廣泛應(yīng)用于航天返回艙、潛水器、管道封頭、高壓容器等裝置。在實(shí)際工作環(huán)境中，由彈性球殼構(gòu)成的機(jī)械結(jié)構(gòu)需要面臨復(fù)雜多變的外界環(huán)境對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)沖擊和負(fù)載，當(dāng)激勵(lì)頻率接近球殼結(jié)構(gòu)固有頻率時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生共振甚至被破壞，因此研究彈性開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性對(duì)保障相關(guān)結(jié)構(gòu)的安全具有重要意義。

針對(duì)板殼類結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別采用Ritz法[1-3]、有限元法、區(qū)域能量分解法[4-6]、動(dòng)力剛度法[7]等方法相繼開(kāi)展研究。Gautham等[8]采用半解析殼單元對(duì)層合球殼結(jié)構(gòu)的軸對(duì)稱和非軸對(duì)稱自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Jin等[9]針對(duì)圓柱、圓錐、球殼類結(jié)構(gòu)建立了基于一階剪切變形理論的改進(jìn)傅里葉解，采用Rayleigh-Ritz方法對(duì)經(jīng)典約束和彈性約束下結(jié)構(gòu)的頻率和模態(tài)振型進(jìn)行求解。Ye等[10-11]采用切比雪夫多項(xiàng)式作為位移容許函數(shù)，對(duì)任意邊界條件下層合開(kāi)口圓柱殼、錐殼和球殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Qu等[12]采用區(qū)域能量分解法對(duì)回轉(zhuǎn)錐殼、柱殼和球殼結(jié)構(gòu)在任意邊界條件下的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。高晟耀等[13]利用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)表示位移函數(shù)以消除邊界的不連續(xù)性，并利用彈簧參數(shù)法來(lái)模擬一般邊界條件，采用Ritz法求解分析一般邊界條件下中等厚度功能梯度球環(huán)結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性，探討了相關(guān)參數(shù)的影響。李善傾等[14]采用準(zhǔn)Green函數(shù)方法，將夾支任意形狀底扁球殼自由振動(dòng)問(wèn)題化為第二類Fredholm積分方程，通過(guò)離散化方程對(duì)扁球殼的固有頻率進(jìn)行了求解。

現(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性展開(kāi)研究時(shí)，多采用引入輔助函數(shù)的方法來(lái)避免殼體端點(diǎn)位置的不連續(xù)問(wèn)題，同時(shí)布置邊界彈簧，通過(guò)對(duì)不同彈簧的適當(dāng)賦值來(lái)實(shí)現(xiàn)一般邊界條件的模擬[15]，這種方式雖然保證了位移函數(shù)能夠滿足連續(xù)性要求，但是計(jì)算量較大，且在計(jì)算前必須先開(kāi)展彈簧剛度值與一般邊界條件的對(duì)應(yīng)關(guān)系研究。為避免端點(diǎn)處的不連續(xù)問(wèn)題，同時(shí)能夠有效模擬一般邊界條件，本文采用分段Bezier函數(shù)構(gòu)建的位移函數(shù)進(jìn)行開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)特性分析，旨在為一般邊界條件下開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題提供一種新型有效的思路，進(jìn)一步豐富球殼受迫振動(dòng)的半解析求解方法。

1 理論方法

1.1 開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)幾何模型

開(kāi)口球殼的幾何模型及坐標(biāo)系如圖1所示。以球殼中面為參考面建立坐標(biāo)系，其中φ、θ、z分別表示母線方向、周向和法向坐標(biāo)。設(shè)球殼中面曲率半徑為R，開(kāi)口角度為φ0，在z軸方向的厚度為h。

圖1 開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)幾何模型Fig.1 Geometric model of open spherical shell structure

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系與應(yīng)力合力

根據(jù)一階剪切變形理論，開(kāi)口球殼上任意一點(diǎn)的位移分量可表示為

(1)

式中：u、v和w分別為結(jié)構(gòu)中面上任意點(diǎn)在φ、θ和z方向的位移；Ψφ和Ψθ分別為中面法線繞φ和θ方向的轉(zhuǎn)角；t為時(shí)間?；谇驓ぶ忻鎽?yīng)變-位移關(guān)系得到如下關(guān)系式：

(2)

式中：εφ、εθ為中面應(yīng)變；γφθ、γφz、γθz為中面切應(yīng)變；χφ、χθ、和χφθ為中面曲率變化；R1=Rsinφ。對(duì)于各向同性材料，球殼應(yīng)變能UV可表示為

(3)

式中：E為材料彈性模量，μ為泊松比。球殼的動(dòng)能TV可表示為

(4)

式中：ρ為材料密度。當(dāng)球殼結(jié)構(gòu)受簡(jiǎn)諧力作用時(shí)，假設(shè)外部載荷全部作用在球殼中面位置處，沿φ、θ、z方向的簡(jiǎn)諧力分別為Fφ、Fθ和Fz，此時(shí)外力做功We可表示為

(5)

1.3 位移函數(shù)

在利用能量變分法對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行求解過(guò)程中，結(jié)構(gòu)位移函數(shù)的構(gòu)造對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度具有重要意義。為便于適應(yīng)不同邊界條件的情況，選用Bezier曲線來(lái)構(gòu)造位移函數(shù)。Bezier基函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(6)

式中：M為Bezier函數(shù)截?cái)嚯A數(shù)，m=0, 1, …,M；x∈[0, 1]。Bezier曲線在端點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)僅與相鄰的n+1個(gè)控制點(diǎn)有關(guān), 滿足：

Bi, M(0)=Bi, M(1)=0，i=1, 2, …,M-1

B0, M(0)=BM, M(1)=1

B0, M(1)=BM, M(0)=0

B-1, M-1(x)=BM, M-1(x)=0

B′m, M(x)=M[Bm-1, M-1(x)-Bm, M-1(x)]

利用Bezier函數(shù)這種局部性質(zhì)，在改變邊界條件時(shí)，只需對(duì)個(gè)別控制點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的條件約束就可以適應(yīng)不同的情況，因此邊界條件的設(shè)置較為方便，并且能有效避免球殼頂點(diǎn)處的不連續(xù)問(wèn)題。相較于引入輔助函數(shù)來(lái)避免頂點(diǎn)不連續(xù)問(wèn)題的方法而言，選用Bezier函數(shù)大大減小了計(jì)算量。同時(shí)，考慮高階項(xiàng)需要耗費(fèi)更多的計(jì)算時(shí)間，為了在控制點(diǎn)數(shù)量不變的情況下，降低函數(shù)的最高階數(shù)，從而減少計(jì)算量。采用三段Bezier函數(shù)表示球殼位移分量沿母線方向的變化，用傅里葉級(jí)數(shù)表示球殼位移分量沿周向方向的變化。不同方向的位移可表示為

(7)

式中：k為球殼沿φ方向的分解子殼段；n為周向波數(shù)，當(dāng)n=0時(shí)，可以得到軸對(duì)稱模態(tài)；akmn、bkmn、ckmn、dkmn、ekmn為5項(xiàng)位移函數(shù)的展開(kāi)系數(shù)；j為虛數(shù)單位。

如使三段Bezier函數(shù)滿足應(yīng)變位移關(guān)系式，位移曲線需滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù), 即令

(8)

式中：ι=a,b,c,d,e；k=0, 1。

1.4 振動(dòng)特性方程的求解

球殼結(jié)構(gòu)的整體能量泛函可表示為

(9)

將式(3)～(5)代入式(9)進(jìn)行變分運(yùn)算，并沿一個(gè)周期積分，可得到球殼的振動(dòng)微分方程。當(dāng)球殼自由振動(dòng)時(shí)，We=0，球殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)微分方程可表示為

(K-ω2M)G=0

(10)

式中：K、M和G分別為剛度矩陣、質(zhì)量矩陣及未知系數(shù)矩陣，G=[akmn，bkmn，ckmn，dkmn，ekmn]T；ω為圓頻率。通過(guò)求解式(10)即可求得球殼結(jié)構(gòu)的固有頻率。

當(dāng)球殼受簡(jiǎn)諧激勵(lì)產(chǎn)生受迫振動(dòng)時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程可表示為

(11)

式中：F為外界簡(jiǎn)諧激勵(lì)經(jīng)變分后得到的載荷向量；K*為阻尼力做功時(shí)的剛度矩陣，在考慮復(fù)阻尼影響的情況下，K*=(1+jη)K；ωc為激勵(lì)圓頻率。在激勵(lì)頻率給定時(shí)，可求得位移展開(kāi)項(xiàng)的系數(shù)向量為

(12)

將位移展開(kāi)項(xiàng)的系數(shù)向量代回各位移函數(shù)，即得到在給定激勵(lì)下球殼上任一點(diǎn)的位移響應(yīng)幅值。

1.5 邊界條件

利用Bezier曲線的局部性，要控制曲線在端點(diǎn)處滿足邊界條件，只要對(duì)少數(shù)幾個(gè)系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)賦值即可。根據(jù)Bezier曲線特性可知：

球殼底端固支時(shí)，在φ=φ0處，u=v=w=Ψφ=Ψθ=0，可得：

a2Mn=b2Mn=c2Mn=d2Mn=e2Mn=0

球殼底端簡(jiǎn)支時(shí)，在φ=φ0處，u=v=w=Ψθ=Mφ=0，Mφ為φ方向的力矩，可得：

2 自由振動(dòng)特性分析

2.1 收斂性和有效性驗(yàn)證

2.1.1 收斂性驗(yàn)證

圖2 開(kāi)口球殼軸對(duì)稱模態(tài)的收斂性Fig.2 Convergence of axisymmetric modes of open spherical shell

2.1.2 有效性驗(yàn)證

開(kāi)口球殼在不同邊界條件下的軸對(duì)稱無(wú)量綱頻率的計(jì)算結(jié)果與已有計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如表1所示，球殼幾何尺寸同上文算例。由表1可知，前5階軸對(duì)稱無(wú)量綱頻率計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]吻合良好，最大相對(duì)誤差為7.09%。由此說(shuō)明本文所用方法適用性強(qiáng)，在不同邊界條件下均具有良好的精度。

表1 不同邊界條件下球殼軸對(duì)稱無(wú)量綱頻率對(duì)比

開(kāi)口球殼除了軸對(duì)稱模態(tài)以外還存在非軸對(duì)稱模態(tài)，在承受非軸對(duì)稱載荷情況下，非軸對(duì)稱模態(tài)也可能被激發(fā)出來(lái)。底端固支條件下球殼的非軸對(duì)稱(n≠0)第一階頻率參數(shù)對(duì)比如表2所示，其中球殼開(kāi)口角度為φ0=15°，λ為球型扁殼的無(wú)量綱幾何參數(shù)，λ4=12(1-μ2)R2φ04/h2。由表2可知，隨著周向波數(shù)n的增加，無(wú)量綱頻率增大，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]結(jié)果的最大相對(duì)誤差為13.95%，與ABAQUS計(jì)算結(jié)果的最大相對(duì)誤差為15.62%。隨著球殼幾何參數(shù)λ與周向波數(shù)n的增大，無(wú)量綱頻率相對(duì)誤差增大，這可能與周向波數(shù)增大后模態(tài)振型的復(fù)雜變化以及模型簡(jiǎn)化方式的不同有關(guān)。由表1和2可知，本文方法得到的開(kāi)口球殼軸對(duì)稱和非軸對(duì)稱無(wú)量綱頻率計(jì)算結(jié)果與參考數(shù)據(jù)均具有較高一致性，這說(shuō)明基于Bezier曲線計(jì)算開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性是有效的。

表2 底端固支條件下球殼非軸對(duì)稱無(wú)量綱頻率對(duì)比

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)頻率影響

固支邊界條件下半球殼(φ0=90°)的前4階軸對(duì)稱模態(tài)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱頻率與厚度的關(guān)系如圖3所示，其中，實(shí)線為本文方法計(jì)算數(shù)據(jù)，虛線為有限元計(jì)算得到的參考數(shù)值。由圖3可知，固支邊界條件下半球殼固有頻率隨厚度增加而增大，且球殼的高階固有頻率受厚度影響較大。

圖3 半球殼前4階頻率隨厚度變化曲線圖 Fig.3 First four frequencies of hemispheric at different thickness

固支邊界條件下開(kāi)口球殼無(wú)量綱頻率與開(kāi)口角度的關(guān)系如圖4所示，其中，實(shí)線為本文方法計(jì)算數(shù)據(jù)，虛線為有限元計(jì)算得到的參考數(shù)值。由圖4可知，開(kāi)口球殼固有頻率隨開(kāi)口角度增大而減小，且固有頻率在開(kāi)口角度較小時(shí)變化較大。

圖4 開(kāi)口球殼前4階頻率隨角度變化曲線Fig.4 First four frequencies of open spherical shells at different angles

3 受迫振動(dòng)響應(yīng)

球殼的幾何參數(shù)和材料性質(zhì)同第2節(jié)算例，邊界條件為周邊固支，研究受簡(jiǎn)諧力作用下的球殼受迫振動(dòng)。為研究結(jié)構(gòu)內(nèi)摩擦對(duì)于響應(yīng)損耗的影響，本文基于復(fù)阻尼理論，采用復(fù)數(shù)彈性模量來(lái)表示阻尼力的大小以及阻尼力與應(yīng)變之間的相位差，E*=(1+jη)E，其中η表示復(fù)阻尼，本小節(jié)取η=0.001，掃頻范圍f=10～2 000 Hz，步長(zhǎng)Δf=10 Hz，響應(yīng)點(diǎn)為球殼頂點(diǎn)。選取兩種常見(jiàn)簡(jiǎn)諧激勵(lì)形式，分別為作用在頂點(diǎn)處的法向點(diǎn)載荷以及作用在中面上的法向面載荷。

3.1 模型驗(yàn)證

在兩種載荷作用下，本文方法和有限元方法的球殼結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位置的法向位移響應(yīng)曲線對(duì)比如圖5所示。在考慮復(fù)阻尼影響時(shí)，球殼位移響應(yīng)曲線在固有頻率值附近出現(xiàn)多個(gè)大小不一的波峰，這是由復(fù)阻尼的特性所導(dǎo)致的，在研究球殼共振特性時(shí)，主要考慮峰值較大位置處的共振情況。由圖5可以看出，當(dāng)開(kāi)口球殼受徑向載荷時(shí)，兩種方法計(jì)算得到的振動(dòng)位移響應(yīng)值峰值產(chǎn)生一定偏移，在面載荷作用下兩者最大偏移相對(duì)誤差小于5%，在點(diǎn)載荷作用下兩者最大偏移相對(duì)誤差小于2%，因此本文所用方法計(jì)算得到的振動(dòng)位移響應(yīng)值與有限元方法計(jì)算得到的振動(dòng)位移響應(yīng)值擬合良好。同時(shí)，從圖5還可以看出，在低頻段位移響應(yīng)波峰較大，隨著激勵(lì)頻率的增大，位移響應(yīng)峰值逐漸減小，這也是在實(shí)際工程中總是關(guān)注結(jié)構(gòu)基頻的原因。

(a) 面載荷作用下

3.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)受迫振動(dòng)影響

在兩種載荷作用下不同開(kāi)口角度球殼結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)的法向位移響應(yīng)曲線如圖6所示。從圖6可以看出：在結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下，球殼受點(diǎn)載荷作用時(shí)頂點(diǎn)位置處產(chǎn)生的法向位移響應(yīng)大于受面載荷作用時(shí)；隨球殼開(kāi)口角度的增大，球殼位移響應(yīng)曲線向著低頻方向發(fā)生移動(dòng)；在面載荷作用下，隨著開(kāi)口角度的增大，最大共振峰值增大；而在點(diǎn)載荷作用下，開(kāi)口角度小的球殼最大共振峰值較大。

(a) 面載荷作用下

在兩種載荷作用下不同厚度半球殼結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)的法向位移響應(yīng)曲線如圖7所示。從圖7可以看出：隨著球殼結(jié)構(gòu)厚度的減小，位移響應(yīng)曲線向著低頻方向發(fā)生移動(dòng)，同時(shí)響應(yīng)峰值增大；在低頻段(10～1 000 Hz)響應(yīng)波峰較分散，而在高頻段(1 000～2 000 Hz)波峰較為密集。在兩種載荷作用下，不同阻尼系數(shù)的半球殼結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)的法向位移響應(yīng)曲線如圖8所示。由圖8可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼增大時(shí)，其共振峰位置幾乎不發(fā)生改變，而響應(yīng)峰值明顯降低。這是由于隨著阻尼力的增大，結(jié)構(gòu)內(nèi)摩擦所損耗的能量更多，從而造成響應(yīng)值的下降。

(a) 面載荷作用下

(a) 面載荷作用下

4 結(jié) 語(yǔ)

將Bezier函數(shù)作為開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)的位移試解函數(shù)建立了開(kāi)口球殼振動(dòng)分析模型，采用Ritz法研究了邊界條件、結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)開(kāi)口球殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，并通過(guò)與已有計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性。研究主要得到的結(jié)論如下：

(1) 本文方法具有較好的收斂性和較高的計(jì)算精度。在收斂性方面，Bezier函數(shù)階數(shù)M≥10 時(shí)，計(jì)算結(jié)果收斂，收斂速度快，且具有良好的穩(wěn)定性。在計(jì)算精度方面，本文結(jié)果與已有公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)結(jié)果一致性較好。

(2) 球殼結(jié)構(gòu)固有頻率不僅與邊界條件有關(guān)，而且與其自身結(jié)構(gòu)屬性有關(guān)。開(kāi)口球殼不同階次的頻率參數(shù)均隨著厚度的增加而增加，其中高階頻率受到厚度的顯著影響。開(kāi)口角度對(duì)球殼振動(dòng)響應(yīng)有顯著影響，無(wú)量綱頻率隨著開(kāi)口角度的增大而減小。

(3) 球殼結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)響應(yīng)峰值位置受到結(jié)構(gòu)參數(shù)和激勵(lì)形式的影響，其中低頻段的響應(yīng)位置對(duì)球殼開(kāi)口角度、厚度的變化更為敏感。