一類多因子利率模型及其性質(zhì)

徐 麒，胡良劍

(東華大學 理學院，上海 201620)

現(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)模型分為靜態(tài)和動態(tài)兩類。靜態(tài)模型可根據(jù)某個時點的信息，通過特定的標準對該時點的利率期限結(jié)構(gòu)進行擬合得到。動態(tài)模型則是從時間和期限兩個維度用時間序列或隨機微分方程來刻畫利率期限結(jié)構(gòu)的動態(tài)特征。在現(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)中，學者們對即期利率模型進行了大量的研究，得出了很多基于隨機微分方程的經(jīng)典模型。本文圍繞即期利率的動態(tài)模型展開研究。

即期利率動態(tài)期限模型最早是由Merton[1]提出，他假定零息債券與股票的價格服從幾何布朗運動。雖然該模型的方程形式簡單，且漂移項與擴散項都是常數(shù)，但這對隨機微分方程在利率模型中的應(yīng)用起到了開創(chuàng)性作用。1977年Vasicek[2]提出了一個滿足均值回復(fù)特性的即期利率期限結(jié)構(gòu)模型，該模型中即期利率被設(shè)定為一個連續(xù)的馬爾可夫過程，不足之處在于即期利率有可能是負數(shù)。Cox等[3]于1985年進一步提出了CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型，其漂移項具有均值回復(fù)性質(zhì)，但其擴散項不再是常數(shù)，這確保了利率的取值為正。1991年Fong等[4]將Vasicek模型擴展到了兩因素的情形，該模型在原來的即期利率動態(tài)模型中增加了波動率方程。上述單因子利率模型的漂移項均為線性形式，Ait-Sahalia[5]將單因子利率模型的漂移項與擴散項進行推廣，提出了一個高度非線性的隨機微分方程。戴璐等[6]討論了Ait-Sahalia模型的解析性質(zhì)，并證明了其數(shù)值解的收斂性。李艷軍[7]將跳躍性引入到這類隨機微分方程中，并對其解析性質(zhì)進行了深入研究。此外，學者們對即期利率模型進行了擴展，主要包括延遲模型、仿射模型、多因子模型等，并且將其應(yīng)用到實證分析中[8-11]。景智生[12]基于馬爾科夫蒙特卡洛方法對中國動態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)進行研究。通過梳理總結(jié)近幾年關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的文獻發(fā)現(xiàn)，中國經(jīng)濟市場由于情況復(fù)雜，受到多重因素的影響，故采用多因子即期利率模型進行擬合將取得更好的效果。同時對于即期利率的波動率方程而言，當漂移項與擴散項均為非線性時，能夠描述出更加客觀的即期利率波動情況。本文對Fong-Vasicek模型作進一步擴展，并借用Ait-Sahalia模型的非線性特點刻畫即期利率的波動情況，提出一個高度非線性的多因子即期利率模型，同時在理論上對其解的存在唯一性、矩有界性和Euler-Maruyama數(shù)值解的收斂性進行討論，最后用MATLAB軟件對其進行數(shù)值模擬，以驗證該模型在利率市場上的可行性。

1 預(yù)備知識

1.1 相關(guān)符號及主要定理

在本文中如果沒有特別說明，則采用如下記號：

(Ω,F,P)為完備概率空間，{Ft}t≥0為滿足通常條件的σ代數(shù)流。

IA為集合A的示性函數(shù)。

Lp(Ω;Rd)為p次可積的d維隨機變量。

C2, 1(R×R+;R)為在x∈R上二階連續(xù)可微、在t∈R+上一階連續(xù)可微的全體二元函數(shù)V(x,t)。

dx(t)=f(t)dt+g(t)dWt

(1)

(2)

1.2 典型的利率模型

(1) Vasicek模型[2]為

dRt=α(μ-Rt)dt+σdWt

其中：α、μ和σ均為非負常數(shù)；μ為利率的長期均值。由漂移項α(μ-Rt)可知，利率Rt在均值μ上下波動。該模型最大的缺點是Rt的取值可能是負值，無法滿足市場的非負性。

(2) CIR模型[3]為

其中：α、μ和σ均為非負常數(shù)；μ為利率的長期均值。該模型有效克服了Vasicek模型的缺點，即保證了利率的非負性。

(3) Ait-Sahalia模型[5]為

(4) Fong-Vasicek模型[4]為

2 模型建立及其性質(zhì)分析

一個模型是否能有效模擬實際利率，關(guān)鍵是看這個方程是否具備“良好”的性質(zhì)。這些性質(zhì)通常包括非負解的存在唯一性、方程解的矩有界性、數(shù)值解的收斂性等。對Fong-Vasicek模型作進一步擴展，提出的模型形式如式(3)和(4)所示。

(3)

(4)

式中：λ，μ≥0；αi≥0,i=-1, 0, 1, 2;βj≥0，j=0, 1, 2;β3>1。

2.1 解的存在唯一性

定理2.1對于任意初值V0>0且R0>0，Vt，Rt在t≥0時存在唯一的全局正解。

證明：由式(4)可知波動率Vt滿足Ait-Sahalia模型，而該模型全局正解的存在唯一性在文獻[5]中已被證明，故本文只需討論Rt的解。用常數(shù)變易公式[13]對式(3)進行處理可得，對任意t>0，

(5)

其中

顯然

即結(jié)論成立，該模型存在唯一的全局正解。

2.2 解的矩有界性

若無特殊說明，以下提到的Ki,Mi,Hi，i=1, 2, 3,...均為與t無關(guān)的正常數(shù)。

定理2.2對于隨機微分方程

證明：定義函數(shù)φ：(0, +∞)→[0, +∞)為

(6)

其中

由參數(shù)條件和多項式的有界性[14]可知，必存在一個常數(shù)K1，使得

Lφ(Vt)+Vt≤K1

對上式兩邊先取定積分再取期望，得到

故

易得φ(x)≥0，故Eφ(VT)≥0。則可以得到

當T→∞時，

(7)

兩者之一時，Vt的二階矩有界。

證明：取U2(t)=etVt2

故可以得到

etE(Vt2)≤V02+K2(et-1)

即

E(Vt2)≤(V02-K2)e-t+K2

(8)

結(jié)合定理2.3，根據(jù)Chebyshev不等式[13]可得：

推論2.1在定理2.3的條件下，Vt的一階矩有界[13]。

證明：令Yt=eλtRt，故有

?k>0, 定義停時ζk=inf{t:Rt≥k}

當k→∞時，由Fatou引理可得

E(Rt)≤e-λtR0+μ(1-e-λt)

顯然

(9)

定理2.5在定理2.3的條件下，設(shè)T>0, 對于任意t∈[0,T],Rt的二階矩有界。

由Gronwall不等式可得：

(10)

即對于?0

3 數(shù)值解的收斂性

由于方程式(3)和(4)沒有顯式解，故需要證明其數(shù)值解的收斂性，采用的方法為Euler-Maruyama(EM)方法。

當隨機微分方程的擴散項和漂移項滿足全局Lipschitz條件時，其數(shù)值解收斂到解析解[15]。但由于本文模型不滿足全局Lipschitz條件，故不可以直接用此結(jié)論，需要對其作進一步證明。

首先，對于方程

令

f(x)=α-1x-1-α0+α1x-α2x2

g(x)=β0-β1x+β2xβ3

對于給定的足夠小的步長Δ，節(jié)點tn=nΔ和初始值v0=V0>0, 則方程的離散EM逼近解為

vn+1=vn+f(vn)Δ+g(vn)ΔWn

(11)

(12)

故對應(yīng)連續(xù)的函數(shù)逼近可以定義為式(13)所示的形式。

(13)

同理，可由式(3)得到Rt的離散EM逼近解、階梯過程和對應(yīng)連續(xù)的函數(shù)逼近如式(14)～(16)所示，其中r0=R0。

(14)

(15)

(16)

式中：ΔBn=B(tn+1)-B(tn)是布朗運動增量，且因為數(shù)值解并不一定能完全保持真實解的非負性，故在vn上增加絕對值以保證根號有意義。

定理3.1對任意的正常數(shù)T>0，有

證明：

第1步：對于任意的p>0，k>0，定義停時

其中，φ(x)即為定理2.2中所定義的函數(shù)。

因為停時保證了vt>0, 故在以下分析中，不再加絕對值。

同理，

故

(17)

第2步：取停時zk=ak∧bk，則

3J1+3J2+3J3

由引理3.1，可得：

令h1為正常數(shù)，當k充分大時，

(18)

第3步：取任意小的ξ∈(0, 1)定義

故

當Δ充分小時，

故可以得到

(19)

4 數(shù)值模擬

對本文中第2節(jié)提出的利率模型(3)和(4)進行數(shù)值模擬。根據(jù)第3節(jié)中的定義將此模型按EM方法離散化，得到

(20)

(21)

式中:εn、ηn均為均值為0和方差為Δ的正態(tài)獨立同分布序列。假定該模型的參數(shù)為λ=0.2，μ=0.018，α-1=0.000 130 4，α0=0.004 643，α1=0.043 33，α2=0.114 3，β0=0.000 110 8，β1=0.001 883，β2=0.009 681，β3=1.25(其中：αi,i=-1, 0, 1, 2；βj,j=0, 1, 2, 3設(shè)置均引自文獻[5])。同時，設(shè)置T=100，Δ=0.1，根據(jù)這些參數(shù)，用MATLAB軟件進行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖1所示。

圖1 r0=0.02，v0=0.05時模型的數(shù)值模擬圖Fig.1 Simulation of the model process when r0=0.02, v0=0.05

由圖1可知，模型(3)和(4)滿足利率模型的一般性質(zhì)，主要為正解的存在唯一性以及數(shù)值解的收斂性等。此外，該模型具有均值回歸的特點，Rt隨著均值μ的變化上下波動，但整體上并沒有偏離均值。這些參數(shù)之間的關(guān)系均滿足第2節(jié)矩有界性中的參數(shù)條件，從而能證明矩有界性。

5 結(jié) 語

采用一個二維非線性的隨機微分方程對利率進行描述，證明了該模型全局正解的存在唯一性和矩有界性，同時還對其EM數(shù)值解的收斂性進行理論證明。在證明該模型解析性質(zhì)后，利用MATLAB軟件對其進行數(shù)值模擬，得到的結(jié)論與本文第2、3節(jié)所證明的性質(zhì)相符合。研究結(jié)果表明，該模型可以被用于描述利率或其他金融變量的動態(tài)變化，具有實際意義。