Knight不確定下基于q-理論的企業(yè)家投資行為

朱筱寧，潘海峰，費(fèi)為銀，張繁紅

(1. 安徽工程大學(xué) 金融工程系，安徽 蕪湖 241000；2. 上海財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433)

企業(yè)家的最優(yōu)投資行為一直是公司金融領(lǐng)域研究的重點(diǎn)之一。企業(yè)從本質(zhì)上被界定為一種契約關(guān)系，即企業(yè)是一種法律虛構(gòu)的組織形態(tài)[1]。Evans等[2]基于契約關(guān)系視角，指出財富和流動性約束對創(chuàng)業(yè)企業(yè)投資的重要性；Caggetti等[3]進(jìn)一步量化流動性約束對企業(yè)資本積累和財富分配的影響。由于企業(yè)家的凈資產(chǎn)一般會過度暴露于特定風(fēng)險，因此不可分散風(fēng)險會顯著影響期權(quán)執(zhí)行策略，進(jìn)而影響企業(yè)融資成本、投資策略及資產(chǎn)價值[4-8]。從理論視角看，托賓q模型在公司金融領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，比如：Cao等[9]在內(nèi)生借款約束有限執(zhí)行框架下基于托賓q分析了投資與托賓q之間的關(guān)系；Rampini等[10]建立了一個動態(tài)的擔(dān)保融資模型；Wang等[11]構(gòu)建了q-理論的創(chuàng)業(yè)動力學(xué)方程；De Marzo等[12]構(gòu)建了風(fēng)險中性動態(tài)代理框架下的q理論模型。現(xiàn)有q-理論模型大多針對多元化投資和經(jīng)營的公司，較少考慮金融摩擦性因素的影響。因此，針對非多元化經(jīng)營的創(chuàng)業(yè)企業(yè)以及控股股東經(jīng)營的私營企業(yè)，進(jìn)行q-理論拓展研究具有一定的創(chuàng)新性。

模型本身的不確定性是本質(zhì)的、不可消除的，這種概率本身的不確定性也被稱為Knight不確定性[13]。學(xué)者們對Knight不確定性在金融領(lǐng)域的模型創(chuàng)新及實際應(yīng)用進(jìn)行了研究，包括風(fēng)險溢價和含糊溢價、期權(quán)定價、風(fēng)險度量、最優(yōu)消費(fèi)和投資組合、資產(chǎn)定價、匯率波動等[14-21]。近年來，學(xué)者們探討Knight不確定在契約理論中的具體應(yīng)用。費(fèi)晨等[22]基于Knight不確定框架研究連續(xù)時間下面臨道德風(fēng)險的委托-代理問題；費(fèi)為銀等[23]研究Knight不確定性下單邊有限承諾連續(xù)時間契約問題；費(fèi)晨等[24]基于Knight不確定框架研究低道德水平代理人逆向選擇對高道德水平代理人延續(xù)價值和動態(tài)最優(yōu)契約執(zhí)行過程的影響；Wang等[25]討論Knight不確定性下的最優(yōu)委托-代理契約問題。研究[26-27]表明，Knight不確定性對金融市場投資者的行為具有顯著影響。

綜上所述，企業(yè)家在進(jìn)行投資決策時面臨著不可分散的商業(yè)風(fēng)險和流動性約束即摩擦性因素。金融摩擦將導(dǎo)致金融市場的不完備性，致使標(biāo)準(zhǔn)的完備市場利潤最大化分析對創(chuàng)業(yè)型企業(yè)無效。本文同時考慮市場不完備性與Knight不確定性，探討q-理論模型的拓展，并系統(tǒng)分析創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的投資行為。

1 基本模型框架

通過資本積累或生產(chǎn)函數(shù)定義創(chuàng)業(yè)過程，考慮一個創(chuàng)業(yè)企業(yè)家可以進(jìn)行資本存量為Kt的創(chuàng)業(yè)投資。與標(biāo)準(zhǔn)的資本積累一樣，資本存量Kt的變化是由總投資與折舊的差值給出的。

dKt=(It-δKt)dt,t≥0

式中：It為總投資；δ為折舊率，δ>0。該公司的生產(chǎn)沖擊At在周期(t,t+dt)上是獨(dú)立同分布的。

dAt=μAdt+σAdZt

式中：μA為生產(chǎn)率沖擊；σA為生產(chǎn)率沖擊波動性；Zt為G-布朗運(yùn)動。

公司同期營業(yè)利潤Yt為

dYt=KtdAt-Itdt-G(It,Kt)dt

代理人的金融投資機(jī)會分為兩部分，分別是代理人投資于支付固定利率的無風(fēng)險資產(chǎn)和投資于風(fēng)險市場的投資組合。

dRt=μRdt+σRdBt

式中：Bt為G-布朗運(yùn)動，與Zt獨(dú)立；μR為市場投資組合預(yù)期收益率，為常數(shù)；σR為市場投資組合波動性。

令Wt和Xt分別表示t時刻代理人的金融財富和投資于風(fēng)險資產(chǎn)的金額，則(Wt-Xt)為t時刻投資于無風(fēng)險資產(chǎn)的剩余金額。代理人成為一名企業(yè)家后，其金融財富Wt的演變過程為

dWt=r(Wt-Xt)dt+μRXtdt+σRXtdBt-

Ctdt+dYt,T0

式中：Ct為代理人的消費(fèi)；T0為企業(yè)家開始創(chuàng)業(yè)的時間點(diǎn)；TL為企業(yè)家結(jié)束創(chuàng)業(yè)的時間點(diǎn)。

企業(yè)家可以隨時以資本Kt為抵押借款，因此財富W可以為負(fù)值。為確保企業(yè)貸款是無風(fēng)險的，要求資金LKt的清算價值大于未償債務(wù)，其中L為資本存量K的回收率，則有

Wt≥-LKt,T0

在建立優(yōu)化問題時引入企業(yè)家的偏好。企業(yè)家偏好具有兩個特點(diǎn)，即不變的相對風(fēng)險厭惡和跨期替代彈性(elasticity inter-period substitution， EIS)。用非預(yù)期效用的連續(xù)時間公式定義企業(yè)家的遞歸偏好。

不確定厭惡(ambiguity aversion)企業(yè)家遞歸偏好定義如式(1)所示。

(1)

式中：Et為t時刻的條件下的期望；f(C,J)被稱為消費(fèi)C和企業(yè)家效用J的標(biāo)準(zhǔn)化聚合子。

參數(shù)ψ>0衡量EIS(跨期替代彈性)，且γ>0是企業(yè)家的相對風(fēng)險厭惡系數(shù)，參數(shù)ζ>0是企業(yè)家的主觀貼現(xiàn)率。不確定厭惡企業(yè)家的值函數(shù)定義為消費(fèi)、實際投資和資產(chǎn)組合策略(C,I,X)使得遞歸效用最大化。

(2)

2 兩基準(zhǔn)下模型解

2.1 完全市場下的最優(yōu)契約

式中：企業(yè)家總財富PFB(K,W)取流動財富W與企業(yè)價值QFB(K)之和，其中企業(yè)價值QFB(K)=qFBK，qFB表示完全市場下的托賓q值，

qFB=1+θiFB

(3)

則

PFB(K,W)=W+QFB(K)=W+qFBK

b是一個常數(shù)，

在完備情形下有如下結(jié)果：

(1)投資資本比率iFB為

(4)

(2)市場投資組合配置X與K成正比，X(K,W)=xFBK，其中xFB為

(3)最優(yōu)消費(fèi)C與K成比例，C(K,W)=cFB(W)K,其中，cFB(w)=mFB(w+qFB)，mFB為邊際消費(fèi)傾向(marginal propensity to consume, MPC)，由式(5)給出。

(5)

2.2 不完備市場下的最優(yōu)契約

現(xiàn)考慮轉(zhuǎn)向不完備市場情形。為研究企業(yè)家在經(jīng)營企業(yè)時的決策問題，用J(K,W)表示創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的價值函數(shù)，并且通過企業(yè)家選擇的消費(fèi)C、實際投資I和風(fēng)險市場的投資組合配置X使企業(yè)家預(yù)期效用最大化，利用文獻(xiàn)[19]中的動態(tài)規(guī)劃原理可以得到企業(yè)家價值函數(shù)滿足的HJB方程為

[rW+(μR-r)X+μAK-I-

G(I,K)-C]JW+

(6)

對式(6)關(guān)于消費(fèi)C求一階偏導(dǎo)，得到關(guān)于消費(fèi)的一階最優(yōu)條件(first-order optimality conditions，F(xiàn)OC)為

fC(C,J)=JW(K,W)

上式表明，消費(fèi)的邊際效用fC等于財富的邊際效用JW。

同理，得到企業(yè)家關(guān)于投資I的一階最優(yōu)條件為

[1+GI(I,K)]JW(K,W)=JK(K,W)

(7)

式(7)表明，在最優(yōu)情況下，為增加一單位的資本存量，企業(yè)家需要放棄[1+GI(I,K)]單位的財富。因此企業(yè)家的投資邊際成本由[1+GI(I,K)]與財富的邊際效用JW的乘積給出。

同理得出企業(yè)家關(guān)于市場投資組合配置X的一階最優(yōu)條件

利用齊次性推測企業(yè)家的價值函數(shù)為

對企業(yè)家的價值函數(shù)求偏導(dǎo)得

JW=b1-γ(pK)-γp′

(8)

JK=b1-γ(pK)-γ(p-wp′)

(9)

JWW=b1-γ(pK)1-γ(pp″-γ(p′)2)=

-b1-γ(pK)1-γhp′

(10)

將式(8)～(10)代入企業(yè)家價值函數(shù)滿足的HJB方程即式(6)，整理得到關(guān)于確定性等價財富p(w)的常微分方程(ordinary differential equation, ODE)為

其中h(w)由式(11)給出。

(11)

c(w)=mFBp(w)[p′(w)]-ψ

(12)

(13)

(14)

則企業(yè)家關(guān)于投資I的一階最優(yōu)條件式(7)可簡化為

上式等號左邊為投資的邊際成本，右邊為資本的邊際價值PK(K,W)和財富的邊際價值PW(K,W)的比，PK(K,W)又稱私人邊際q，PW(K,W)即為p′(w)。因此，投資不僅取決于邊際q，還取決于現(xiàn)金的邊際價值。私人邊際q和PW是內(nèi)生確定的，并且兩者高度相關(guān)。

然而，關(guān)于w投資資本比率并不是單調(diào)的，這意味著投資可能會隨著財富的增加而減少，這個看似違反直覺的結(jié)果源于w中p(w)的凸性。i′(w)可表示為

(15)

由式(15)可以看出：當(dāng)p(w)為凹時，投資隨財富的增加而增加；當(dāng)p(w)為凸時，投資隨w的增加而減小。

將上述討論總結(jié)如下：

命題1在不完備市場下，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的最優(yōu)契約可以刻畫為

(1)最優(yōu)消費(fèi)c、投資i和資產(chǎn)組合x依次由式(12)～(14)給出；

(2)投資對流動性財富的敏感度由式(15)給出。

3 數(shù)值模擬與經(jīng)濟(jì)學(xué)分析

表1 模型關(guān)鍵變量與參數(shù)設(shè)置

圖1 不同Knight不確定和完備情形下流動性w對投資-資本比率i的影響Fig.1 Effect of liquidity w on investment-capital ratio i for different Knight uncertainty and completeness cases

圖2 不同Knight不確定和完備情形下流動性w對投資靈敏度i′的影響Fig.2 Effect of liquidity w on investment sensitivity i′ for different Knight uncertainty and completeness cases

圖3 不同Knight不確定和完備情形下流動性w對有效風(fēng)險規(guī)避h的影響Fig.3 Effect of liquidity w on effective risk aversion h for different Knight uncertainty and completeness cases

圖4 不同Knight不確定和完備情形下流動性w對市場投資組合配置-資本比率x的影響Fig.4 Effect of liquidity w on market portfolio allocation-capital ratio x for different Knight uncertainty and completeness cases

4 結(jié) 語

在不完備市場情形下建立帶有Knight不確定的q理論模型，并對模型進(jìn)行數(shù)值模擬。分析表明，企業(yè)家的投資行為不僅受自身風(fēng)險厭惡程度的影響，還受市場Knight不確定的影響，并且Knight不確定只在不完備市場情形下通過改變企業(yè)家的投資靈敏度、有效風(fēng)險規(guī)避和市場投資組合配置，對創(chuàng)業(yè)企業(yè)家最優(yōu)投資行為產(chǎn)生影響。在不完備市場情形下，市場的Knight不確定性越大，企業(yè)家對市場投資組合配置比率越小，而隨著資產(chǎn)流動性越來越接近清算邊界，投資者急于退出，投資組合配置變得更多，而當(dāng)企業(yè)家即將進(jìn)行破產(chǎn)清算時，其對投資組合的配置會增多。于公司金融領(lǐng)域，在Knight不確定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮通脹環(huán)境下創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的投資行為將是未來值得深入研究的課題。