一類雙參數(shù)奇攝動方程非線性多點邊值問題

劉燕, 杜冬青

( 1.安徽師范大學(xué)皖江學(xué)院 電子工程系, 安徽 蕪湖 241000;2.徐州財經(jīng)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 基礎(chǔ)部， 江蘇 徐州 221000 )

0 引言

近年來,奇攝動邊值問題的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注,并得到許多研究成果[1-7]；但其中大部分的研究結(jié)果是關(guān)于兩點或三點邊值條件的奇攝動問題，而對于多點邊值條件的奇攝動問題研究得較少.文獻[8]的作者用Liouville - green變換得到了奇攝動二階微分方程多點邊值問題的漸近解；文獻[9]的作者利用微分不等式理論和Leray - Schauder度理論研究了一類三階微分方程的多點邊值條件的奇攝動問題,并得到了問題解的存在唯一性和漸近估計結(jié)果；文獻[10]的作者在文獻[9]的研究基礎(chǔ)上將線性多點邊值條件推廣到非線性多點邊值條件,研究了帶有非線性多點邊值條件的三階微分方程的奇攝動問題.但目前為止,對于含雙參數(shù)帶有非線性多點邊值條件的三階微分方程的奇攝動問題的研究尚未見有文獻報道；為此,本文在文獻[10]的研究基礎(chǔ)上,考慮如下一類帶有非線性多點邊值條件的三階微分方程的雙參數(shù)奇攝動問題：

εx?(t)+f(t,x(t),x′(t),μx″(t))=0, 0≤t≤1；

(1)

x(0)=0；

(2)

g(x′(0),x″(0),x(ξ1),x(ξ2),…,x(ξm -2))=A；

(3)

h(x′(1),x″(1),x(η1),x(η2),…,x(ηn -2))=B.

(4)

其中ε和μ均是正的小參數(shù), 0<ξ1<ξ2<…<ξm -2<1, 0<η1<η2<…<ηn -2<1,A和B為常數(shù).現(xiàn)作如下假設(shè):

[H2] 問題(1)—(4)的退化問題f(t,X0,0,X′0,0,0)=0,X0,0(0)=0在t∈[0,1]上存在充分光滑的解X0,0=X0,0(t).

[H4] 由方程g(X′0,0(0),X″0,0(0)+U1,X0,0(ξ1),…,X0,0(ξm -2))=A可求出U1， 由方程h(X′0,0(1),X″0,0(1)+U2,X0,0(η1),…,X0,0(ηn -2))=B可求出U2.

1 外部解的構(gòu)造

ξ2ηx?(t)+f(t,x(t),x′(t),ξx″(t))=0.

(5)

設(shè)問題(1)—(4)的外部解的形式漸近式為

(6)

將式(6)代入式(5)可得：

f(t,X0,0,X′0,0,0)=0;

(7)

fx(t,X0,0,X′0,0,0)Xi,j+fy(t,X0,0,X′0,0,0)X′i,j=Fi,j(t),i+j≥1,

(8)

其中Fi,j(t)是由Xs,q,X′s,q,X″s,q,X?s,q(s+q

2 邊界層校正項

x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2W(τ1,ξ,η),

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

類似地,在t=1處構(gòu)造邊界層的校正項,并令

x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2η2Q(τ2,ξ,η),

(13)

(14)

(15)

(16)

為確定Xi,j(t),Wi,j(τ1),Qi,j(τ2)的定解條件,將x(t,ξ,η)=X(t,ξ,η)+ξ2W(τ1,ξ,η)+ξ2η2Q(τ2,ξ,η)代入式(2)—(4)得：

Xi,j(0)=0,i<2;

(17)

Xi,j(0)=-Wi -2,j(0),i≥2;

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由此即可得問題(1)—(4)的N階形式漸近解.

3 結(jié)果及其證明

定義1[11]若函數(shù)u(t),v(t)∈C3[0,1]滿足

u?(t)+f(t,u(t),u′(t),u″(t))≥0,

u(0)=0,

g(u′(0),u″(0),u(ξ1),u(ξ2),…,u(ξm -2))≤A,

h(u′(1),u″(1),u(η1),u(η2),…,u(ηn -2))≤B,

v?(t)+f(t,v(t),v′(t),v″(t))≤0,

v(0)=0,

g(v′(0),v″(0),v(ξ1),v(ξ2),…,v(ξm -2))≥A,

h(v′(1),v″(1),v(η1),v(η2),…,v(ηn -2))≥B，

則稱u(t)和v(t)分別是如下邊值問題的下解和上解:

x?(t)+f(t,x(t),x′(t),x″(t))=0, 0

(24)

x(0)=0;

(25)

g(x′(0),x″(0),x(ξ1),x(ξ2),…,x(ξm -2))=A;

(26)

h(x′(1),x″(1),x(η1),x(η2),…,x(ηn -2))=B.

(27)

引理1[11]若邊值問題(24)—(27)滿足如下條件:

(A1)存在下解u(t)和上解v(t)， 且當(dāng)t∈[0,1]時，有u′(t)≤v′(t);

(A2)函數(shù)f(t,x,y,z)在[0,1]×[u(t),v(t)]×R2上連續(xù)且關(guān)于x遞增,并且f(t,x,y,z)在[0,1]×[u(t),v(t)]×[u′(t),v′(t)]×R上滿足Nagumo條件;

(A3)若函數(shù)g(x1,x2,…,xm)在Rm上連續(xù),且關(guān)于x2,…,xm遞減; 若函數(shù)h(y1,y2,…,yn)在Rn上連續(xù),且關(guān)于y2遞增,關(guān)于y3,…,yn遞減：

則邊值問題(24)—(27)至少存在一個解x(t)∈C3[0,1], 使得u(t)≤x(t)≤v(t),u′(t)≤x′(t)≤v′(t),t∈[0,1].

證明構(gòu)造輔助函數(shù)u(t,ξ,η)=xN(t,ξ,η)-rtρN +1,v(t,ξ,η)=xN(t,ξ,η)+rtρN +1, 其中r為待定的充分大的正常數(shù).由該函數(shù)顯然可得：u(t,ξ,η)≤v(t,ξ,η),t∈[0,1];u′(t,ξ,η)≤v′(t,ξ,η),t∈[0,1];u(0,ξ,η)=v(0,ξ,η)=0.另外,由微分中值定理可知,存在正常數(shù)C1和C2, 使得：

g(u′(0,ξ,η),u″(0,ξ,η),u(ξ1,ξ,η),u(ξ2,ξ,η),…,u(ξm -2,ξ,η)≤

g(x′N(0,ξ,η),x″N(0,ξ,η),xN(ξ1,ξ,η),xN(ξ2,ξ,η),…,xN(ξm -2,ξ,η)-l1rρN +1≤

C1ρN +1-l1rρN +1=A+(C1-l1r)ρN +1,

h(u′(1,ξ,η),u″(1,ξ,η),u(η1,ξ,η),u(η2,ξ,η),…,u(ηn -2,ξ,η)≤

h(x′N(1,ξ,η),x″N(1,ξ,η),xN(η1,ξ,η),xN(η2,ξ,η),…,xN(ηn -2,ξ,η)-l2rρN +1≤

C2ρN +1-l2rρN +1=B+(C2-l2r)ρN +1.

g(u′(0,ξ,η),u″(0,ξ,η),u(ξ1,ξ,η),u(ξ2,ξ,η),…,u(ξm -2,ξ,η)≤A,

h(u′(1,ξ,η),u″(1,ξ,η),u(η1,ξ,η),u(η2,ξ,η),…,u(ηn -2,ξ,η)≤B.

g(v′(0,ξ,η),v″(0,ξ,η),v(ξ1,ξ,η),v(ξ2,ξ,η),…,v(ξm -2,ξ,η)≥A,

h(v′(1,ξ,η),v″(1,ξ,η),v(η1,ξ,η),v(η2,ξ,η),…,v(ηn -2,ξ,η)≥B.

下面證明:

εu?(t,ξ,η)+f(t,u(t,ξ,η),u′(t,ξ,η),μu″(t,ξ,η))≥0, 0

εv?(t,ξ,η)+f(t,v(t,ξ,η),v′(t,ξ,η),μv″(t,ξ,η))≤0, 0

εu?(t,ξ,η)+f(t,u(t,ξ,η),u′(t,ξ,η),μu″(t,ξ,η))=εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)-fx(t,θ0,θ1,μx″N)rtρN +1-fy(t,θ0,θ1,μx″N)rρN +1≥εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1, 其中θ0∈(u,xN),θ1∈(u′,x′N).當(dāng)x∈[0,σ]時,由外部解和左邊界層的構(gòu)造可知,存在正常數(shù)C3和C4, 使得

εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥f(t,X0,0,X′0,0,0)+

C4ρN +1+l0rρN +1=(l0r-C3-C4)ρN +1.

類似地,當(dāng)x∈[1-σ,1]時,由外部解和右邊界層的構(gòu)造可知，存在正常數(shù)C5, 使得

εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥(l0r-C3-C5)ρN +1.

當(dāng)x∈[σ,1-σ]時,由Wi,j(τ1),Qi,j(τ2)的邊界層性態(tài)可知,存在正常數(shù)C6, 使得

εx?N+f(t,xN,x′N,μx″N)+l0rρN +1≥

4 算例

考慮滿足假設(shè)條件[H1]—[H4]的如下混合邊值條件的三階微分方程的奇攝動問題：

εx?-μx″-2x′+x+t=0, 0

(28)

x(0)=0；

(29)

(30)

(31)