函數(shù)的奇偶性題型直擊

■韋 莉

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考常考的知識(shí)點(diǎn)。下面對(duì)函數(shù)的奇偶性有關(guān)的常見(jiàn)題型進(jìn)行歸納總結(jié),以期對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

題型1:函數(shù)奇偶性的判斷

例1已知定義在R 上的函數(shù)f(x)和g(x),滿足f(0)=1,且對(duì)任意的x,y∈R,f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)。試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。

解:對(duì)任意的x,y∈R,f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y),令y=x,則f(0)=f(x-x)=f(x)f(x)-g(x)g(x)=f2(x)-g2(x)。

因?yàn)閒(0)=1,所以f2(0)-g2(0)=1,所以g2(0)=0,即g(0)=0,所以f(-x)=f(0-x)=f(0)f(x)-g(0)g(x)=f(x)。

又因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)

要判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,就需要判斷f (x)與f(-x)的關(guān)系,故需要對(duì)f (x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)中的x,y進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值。賦值法是求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常用方法。

題型2:利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值

例2已知函數(shù)y=f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+mx+2,且f(1)=-2,則f(2)的值為_(kāi)___。

成年人平均每天需要8個(gè)小時(shí)的睡眠，而正處于生長(zhǎng)發(fā)育期的青少年每天則至少需要9個(gè)小時(shí)的睡眠。但是由于繁重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，很多青少年的睡眠時(shí)間根本達(dá)不到要求，這會(huì)嚴(yán)重影響其身心的健康發(fā)展。

解:由f(x)是R 上的奇函數(shù),可得f(-1)=-f(1)=2,所以1-m+2=2,解得m=1,所以當(dāng)x<0 時(shí),f(x)=x2+x+2。所以f(-2)=(-2)2+(-2)+2=4,可得f(2)=-f(-2)=-4。

點(diǎn)評(píng)

本題是利用奇偶性求函數(shù)的值,解題時(shí),只要抓住自變量與函數(shù)值的關(guān)系,靈活處理即可。

題型3:利用函數(shù)的奇偶性求解析式

例3已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0 時(shí),f(x)=x(1+x),則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)____。

解:設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-x(1-x)=-x+x2。因?yàn)閒(x)是定義在R 上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-x+x2,可得f(x)=-x2+x=x(1-x)。

故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=

點(diǎn)評(píng)

解答本題的關(guān)鍵是要求出函數(shù)f(x)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式。

題型4:利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值

解:由f(x)在[a2-2,a]上是偶函數(shù),可得解得a=1。因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以圖像關(guān)于x=0 對(duì)稱,則=0,即b=3。故a+b=4。

點(diǎn)評(píng)

函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

題型5:利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式

例5已知函數(shù)f(x)=-3x3-2x,若f(m-3)+f(-2m)<0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()。

A.(-∞,3) B.(3,+∞)

C.(-∞,-3) D.(-3,+∞)

解:易知f(x)為R 上的奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞減。由f(m-3)+f(-2m)<0,可得f(m-3)<-f(-2m)=f(2m),所以m-3>2m,解得m<-3。應(yīng)選C。

點(diǎn)評(píng)

利用奇偶性與單調(diào)性解不等式時(shí),先利用奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化為f[g(x)]>f[h(x)]的形式,再根據(jù)單調(diào)性把不等式中的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉,即可得到具體的不等式(組)。

題型6:利用奇偶性求解函數(shù)的圖像

例6函數(shù)y=的圖像大致為()。

解:易得函數(shù)的定義域?yàn)镽。由函數(shù)y=f(-x)==f(x),可知y=f(x)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,所以A,B錯(cuò)誤。當(dāng)x=1 時(shí),y==-2<0,所以C錯(cuò)誤。應(yīng)選D。

點(diǎn)評(píng)

判斷函數(shù)圖像可以從以下四個(gè)方面入手:根據(jù)函數(shù)的定義域,判斷圖像的左右位置;根據(jù)函數(shù)的值域,判斷圖像的上下位置;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖像的變化趨勢(shì);根據(jù)函數(shù)的奇偶性,判斷圖像的對(duì)稱性。

感悟與提高

1.若對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),則函數(shù)g(x)=+f(x)+3 在 [-2021,2021]上的最大值M與最小值m的和M+m=_____。

提示:在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0得f(0)=2f(0),即f(0)=0。令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)。令函數(shù)h(x)=+f(x),則h(-x)=+f(-x)=--f(x)=-h(x),可知h(x)是奇函數(shù),所以在對(duì)稱區(qū)間上滿足h(x)max+h(x)min=0。當(dāng)x∈[-2021,2021]時(shí),g(x)max=M=h(x)max+3,g(x)min=m=h(x)min+3,所以M+m=h(x)max+h(x)min+6=6。

2.若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=()。

提示:因?yàn)閒(x)是定義在R 上的偶函數(shù),所以f(2)=f(-2)。因?yàn)閷?duì)任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)。又1<2<3,所以f(1)