借用圖形面積巧解質(zhì)點(diǎn)位移問(wèn)題

■王偉民

質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí),在t1～t2時(shí)間內(nèi)的位移等于質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像與橫軸(t軸)圍成的封閉圖形的面積。在條件合適的情況下,利用求封閉圖形面積的方法來(lái)求解質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)的位移,往往能夠達(dá)到事半功倍的效果。下面舉例分析。

例1一質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng),第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第2s內(nèi)以加速度a'=-1m/s2運(yùn)動(dòng),第3s內(nèi)以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第4s內(nèi)以加速度a'=-1m/s2運(yùn)動(dòng),如此反復(fù),經(jīng)過(guò)100s此質(zhì)點(diǎn)的總位移多大?

分析:因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在第1s內(nèi)從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),在第2s內(nèi)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小和在第1s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度大小相同,所以第2s末質(zhì)點(diǎn)的速度減小為0。質(zhì)點(diǎn)按這樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí),奇數(shù)秒內(nèi)都是做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng),偶數(shù)秒內(nèi)都是做末速度為0 的勻減速直線運(yùn)動(dòng),其v-t圖像如圖1所示。根據(jù)對(duì)稱性可知,質(zhì)點(diǎn)在每秒內(nèi)的位移大小相等,且方向相同,因此質(zhì)點(diǎn)在前ns內(nèi)的總位移(n為正整數(shù))是它在某1s內(nèi)位移的n倍。本題既可以利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式求解,也可以利用v-t圖像與橫軸圍成的封閉圖形的面積求解。

圖1

解法1:(利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式求解)質(zhì)點(diǎn)在第1s 內(nèi)的位移x1==0.5m,質(zhì)點(diǎn)在前100s 內(nèi)的總位移x總=100x1=50m。

解法2:(利用v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形的面積求解)x總=nS△OAB=100××1s×(1m/s2×1s)=50m。

點(diǎn)評(píng)

求解這道題時(shí),兩種解法的難易程度不分伯仲。

例2一質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng),第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第2s內(nèi)以加速度a'=-0.5m/s2運(yùn)動(dòng),第3s內(nèi)以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第4s內(nèi)以加速度a'=-0.5m/s2運(yùn)動(dòng),如此反復(fù),經(jīng)過(guò)100s此質(zhì)點(diǎn)的總位移多大?

分析:本題與例1不同的是,質(zhì)點(diǎn)從第2s開(kāi)始,在以后的偶數(shù)秒內(nèi)的加速度方向雖然仍與奇數(shù)秒內(nèi)加速度的方向相反,但是大小不再和奇數(shù)秒內(nèi)加速度的大小相等,而只是它的一半,因此在質(zhì)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,除了開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為0,其余各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度都大于0,情況相對(duì)復(fù)雜。求解本題利用v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形面積的方法要比利用公式法求解簡(jiǎn)單得多。

解:根據(jù)題目條件,作出質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像如圖2所示(為了便于比較,我們把例1中質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像也畫(huà)出來(lái)了),該圖像由鋸齒狀的折線組合而成,折線中向右上方傾斜的各線段的斜率相同,都是1(單位:m/s2),折線中向右下方傾斜的各線段的斜率也相同,都是-0.5(單位:m/s2)。因?yàn)檎劬€中各線段的水平寬度相同,都是1s,所以鋸齒狀v-t圖像的向下凹陷的各點(diǎn)在同一條直線上;同理,鋸齒狀v-t圖像的向上凸起的各點(diǎn)也在同一條直線上。作出過(guò)鋸齒狀v-t圖像上向下凹陷各點(diǎn)的直線,容易證明,這條直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。直線OP與鋸齒狀折線圍成的圖形由一排面積相等的三角形組成。選一組三角形(△ABD和△ABD)進(jìn)行研究,因?yàn)椤鰽BC與△ABD同底(以AB為底,AB的“長(zhǎng)度”為m/s)且等高(均為1s),所以它們的面積相等。因?yàn)橹本€OP的斜率是,所以質(zhì)點(diǎn)按題目所要求的規(guī)律運(yùn)動(dòng)ns之后的總位移(質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像與橫軸圍成的封閉圖形的面積)x總=。代入數(shù)據(jù)得x總=1287.5m。

圖2

點(diǎn)評(píng)

本題也可以利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式進(jìn)行求解,但是解題過(guò)程要麻煩得多,同學(xué)們可以嘗試一下。

推廣:一質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng),第1s內(nèi)以恒定加速度a運(yùn)動(dòng),第2s內(nèi)以恒定加速度a'運(yùn)動(dòng)(a'的方向與a相反),第3s內(nèi)以加速度a運(yùn)動(dòng),第4s內(nèi)以加速度a'運(yùn)動(dòng),如此反復(fù),經(jīng)過(guò)ns此質(zhì)點(diǎn)的總位移多大?(已知a>0,

解析

作出質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像如圖3甲中鋸齒狀折線所示?？勺C,折線中向下凹陷的各點(diǎn)在同一條直線上,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。直線OP與鋸齒狀折線圍成的圖形由一排面積相等的三角形組成,選△OAD進(jìn)行研究,將其放大,如圖3乙所示。因?yàn)锳C=a,AF=-a'(a'<0),OC=CE=1s,所以BC=BF=a'),AB=AF+BF=-a'+(a+a')=(a-a'),tan ∠DOE=(a+a'),(a-a')。經(jīng)過(guò)ns,質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像與橫軸圍成的曲邊形的面積(質(zhì)點(diǎn)的總位移)等于△ABO面積的n倍與直線OP下方底為n,高為(a+a')n的直角三角形的面積,即x總=n·(a-a')+n[(a-a')+n(a+a')]。

圖3

點(diǎn)評(píng)

以上三道題目都可以利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式進(jìn)行求解,除了例1,另外兩個(gè)題目利用公式法求解的過(guò)程都非常復(fù)雜,而利用質(zhì)點(diǎn)的v-t圖像與橫軸圍成封閉圖形面積的求解過(guò)程比較簡(jiǎn)單。同學(xué)們?cè)谟龅脚c質(zhì)點(diǎn)位移有關(guān)的問(wèn)題時(shí),可以根據(jù)具體情況,選擇不同的方法進(jìn)行求解。

感悟與提高

1.一質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng),第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第2s內(nèi)以加速度a'=0.5m/s2運(yùn)動(dòng),第3s以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第4s內(nèi)以加速度a'=0.5m/s2運(yùn)動(dòng),如此反復(fù),經(jīng)過(guò)100s此質(zhì)點(diǎn)的總位移多大?

2.一質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng),第1s內(nèi)以加速度a=1m/s2運(yùn)動(dòng),第2s內(nèi)以加速度a'=-0.2m/s2運(yùn)動(dòng),第3s以加速度a=1 m/s2運(yùn)動(dòng),第4 s 內(nèi)以加速度a'=-0.2m/s2運(yùn)動(dòng),如此反復(fù),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間此質(zhì)點(diǎn)的總位移為332m?

參考答案:

1.x總=3762.5m。

2.t=40s。