函數(shù)單調(diào)性的幾個(gè)妙用

■吳麗芳

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題,貌似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān),其本質(zhì)是與單調(diào)性有關(guān)的,因此當(dāng)直接求解受阻時(shí),若能充分挖掘其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),與單調(diào)性聯(lián)系起來(lái),將會(huì)得到簡(jiǎn)捷、直觀的解法。

一、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例1已知函數(shù)f(x)=則f(x2+2x+4)與f(2)的大小關(guān)系是____。

解:易得f(x)=,它的定義域?yàn)閇1,+∞)。容易證明它在定義域上是減函數(shù)(同學(xué)們不妨證明一下)。因?yàn)閤2+2x+4=(x+1)2+3≥3>2>1,所以f(x2+2x+4)

評(píng)注:當(dāng)函數(shù)的單調(diào)性確定后,比較函數(shù)值的大小只需比較自變量的大小,不必計(jì)算函數(shù)的值。

二、利用函數(shù)的單調(diào)性求值域

或者,利用基本不等式也可求得值域(解法略)。

評(píng)注:利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域,是求值域問(wèn)題的首選方法。

三、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

例3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且 當(dāng)x>0 時(shí),f(x)<0,f(1)=-2,試判斷在 [-3,3]上,f(x)是否有最大值或最小值。如果有,求出最大值或最小值,如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解:先研究函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,再求最值。

令x1=x2=0,則f(0)=0。令x1=x,x2=-x,則f(-x)=-f(x),即f(x)是R上的奇函數(shù)。設(shè)x1,x2∈R,且x10,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)

因?yàn)閒(1)=-2,所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6。又f(x)在 [-3,3] 上是減函數(shù),所以存在最大值和最小值。

故當(dāng)x=-3 時(shí),f(x)max=f(-3)=6;當(dāng)x=3時(shí),f(x)min=f(3)=-6。

評(píng)注:利用函數(shù)的單調(diào)性是求最值的常用方法,解題時(shí)必須先判斷函數(shù)的單調(diào)性。

四、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

評(píng)注:利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的逆向應(yīng)用。解答這類(lèi)問(wèn)題,在轉(zhuǎn)化為不等式時(shí)不能忽視函數(shù)的定義域。