函數(shù)解析式求法“大集合”

■王佩其

函數(shù)的解析式是表示對應(yīng)關(guān)系的代數(shù)式,是函數(shù)三種表示法中最重要的一種,對某些函數(shù)問題,能否順利解答,往往取決于是不是能夠求出函數(shù)的解析式。那么確定函數(shù)解析式有哪些基本方法呢?

一、待定系數(shù)法

當(dāng)已知f(x)的結(jié)構(gòu)時,可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式,再將已知條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組,進(jìn)而求出有關(guān)參數(shù)的值,即得函數(shù)f(x)的解析式。

例1(1)已知函數(shù)f(x)為一次函數(shù),且滿足f[f(x)]=4x-3,求函數(shù)f(x)的表達(dá)式。

(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=1,f(1)=2,f(2)=5,求函數(shù)f(x)的解析式。

評析:待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵是列方程組,這種方法充分體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用。

二、配湊法

已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,可先用g(x)表示h(x),然后再將g(x)用x代替,即得f(x)的解析式。

評析:配湊法的本質(zhì)是一種整體代換的思想,這里“整體”的取值范圍就是函數(shù)的定義域,即題中+1≥1。

三、換元法

已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的解析式,若用配湊法不容易求出時,可設(shè)g(x)=t,從中解出x,代入h(x)進(jìn)行換元求解。

評析:利用換元法求解析式,一定要注意“新元”的取值范圍,即函數(shù)的定義域。

四、構(gòu)造法

已知關(guān)于f(x)與或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式,然后通過解方程組求出f(x)的解析式。

例4已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f(-x)=x3-2,求函數(shù)f(x)的解析式。

解:以-x代替f(x)+2f(-x)=x3-2中的x,可得f(-x)+2f(x)=-x3-2。

評析:對于函數(shù)f(x),當(dāng)滿足形如af(x)+bf(-x)=g(x)(a≠b≠0)或af(x)+bf=g(x)(a≠b≠0)關(guān)系時,可用-x或代替關(guān)系式中的x,得到的新關(guān)系式與原關(guān)系式聯(lián)立消元,即得函數(shù)f(x)的解析式。

五、根據(jù)實際問題求解析式

函數(shù)在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用,其解析式“隱藏”在實際問題中,可以根據(jù)實際問題來求函數(shù)的解析式。

例5為了盡快改善職工住房困難,鼓勵個人購房和積累建房基金,決定住房的職工必須按基本工資的高低交納住房公積金,辦法如表1所示。

表1

設(shè)職工每月工資為x元,交納公積金后實得工資為y元,求y與x之間的關(guān)系式。

解:由題中的表1可知,當(dāng)0

由上可得y與x的關(guān)系可用分段函數(shù)表示為y=

評析:根據(jù)實際問題求解析式,必須先讀懂題意,再將題中的“自然語言”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語言”,然后求出解析式,但需要注明函數(shù)的定義域。

六、利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式

函數(shù)具有單調(diào)性,奇偶性,周期性等性質(zhì),這些性質(zhì)同時反映在它們的圖像上,因此利用圖像特征是求函數(shù)解析式的有效途徑之一。

例6若奇函數(shù)f(x)的定義域為R,且當(dāng)x>0 時,f(x)=,試求函數(shù)f(x)的解析式。

評析:題中函數(shù)f(x)是一個定義域為R的奇函數(shù),所以f(0)=0。這類問題的最終結(jié)果一般是一個分段函數(shù)。

感悟與提高

甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園,甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km,甲10 時出發(fā)前往乙家。圖1 表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程y(單位:km)與時間x(單位:min)的關(guān)系。試寫出y=f(x)的函數(shù)解析式。