結(jié)合新高考解讀高中數(shù)學(xué)新教材

潮鐘雪媛

【摘要】人教版高中數(shù)學(xué)新教材已在部分省市推行。新教材要為學(xué)生提供學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)思維，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，還需要在教學(xué)過程中加以引導(dǎo)。作者以人教版高中數(shù)學(xué)新教材“立體幾何初步”為例，結(jié)合2021年新高考全國I卷立體幾何來解讀新教材，對于學(xué)生高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)提供一點(diǎn)教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】新教材;立體幾何;新高考;數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

立體幾何作為高中數(shù)學(xué)不可或缺的一部分，也是讓學(xué)生“恐懼”的內(nèi)容，特別是對于空間想象能力比較弱的學(xué)生來說，即使通過直觀圖，也無法在腦海中形成立體與平面的轉(zhuǎn)換。而作為高考必考的一個(gè)重要內(nèi)容，學(xué)生在立體幾何上花了很多功夫，但是，通過考試顯現(xiàn)出來的效果卻是比較微弱的。所以，作為教師要結(jié)合新高考解讀新教材，利用信息技術(shù)，注重學(xué)生在空間視覺的鍛煉，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，運(yùn)用合理的方式來彌補(bǔ)學(xué)生的短板，從而更好地學(xué)習(xí)立體幾何知識。本文以人教A版數(shù)學(xué)必修二“立體幾何初步”為例，領(lǐng)會教材編寫者的設(shè)計(jì)意圖，從而更好地開展教學(xué)。

一、新教材分析——以立體幾何初步為例

1.知識的整體性與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的聯(lián)系

舊教材關(guān)注知識點(diǎn)與基本技能的傳授已滿足不了現(xiàn)代社會的發(fā)展需求，知識是不斷進(jìn)步的，新課標(biāo)的教學(xué)不能止步于知識點(diǎn)的傳授，而應(yīng)適應(yīng)社會，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，關(guān)注數(shù)學(xué)的學(xué)科思想與思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力中，立體幾何的學(xué)習(xí)主要依賴于數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象與化歸能力。相比舊教材，2019年人教A版新教材搭建了全新的知識架構(gòu)，凸顯了知識的整體性，也打破老教材松散的知識體系;彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷，梳理出一條清晰的教學(xué)主線，把舊教材中“空間幾何體”與“點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系”兩章合并為一章，組成了新教材必修二第八章，讓內(nèi)容更連貫統(tǒng)一，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

原本從研究立體幾何的數(shù)學(xué)邏輯來看，應(yīng)該從點(diǎn)線面出發(fā)來研究其概念和基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上再研究點(diǎn)線面的位置關(guān)系，再由特殊關(guān)系（垂直和平行）出發(fā)研究由這些基本元素組成的幾何體，繼而研究它們的結(jié)構(gòu)特征和面積體積。這種從局部到整體，這種學(xué)習(xí)的思路結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但卻與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相悖。新舊教材都認(rèn)識到這一點(diǎn)，而新教材更加凸顯了學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。學(xué)生觀察世界，首先接觸的是具體的幾何體，因而學(xué)習(xí)立體幾何也應(yīng)從幾何體的整體性入手。而對于那些與教學(xué)主線聯(lián)系不緊密的，可有可無的內(nèi)容或者學(xué)生暫且掌握不了的內(nèi)容，新教材進(jìn)行了刪減。本章內(nèi)容的主線如圖1，將現(xiàn)實(shí)生活中的“基本立體圖形”在平面上表示需要用到直觀圖，求幾何體的表面積體積也需要用直觀圖來表示，所以，直觀圖起到了承上啟下的作用。而三視圖在輔助學(xué)生認(rèn)識立體圖形的作用甚微，為體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的整體性，對“三視圖”內(nèi)容進(jìn)行了刪除，在課后習(xí)題通過兩道習(xí)題考查學(xué)生的直觀想象力，但高考不作要求。這樣的安排使得第一節(jié)內(nèi)容更為連貫統(tǒng)一。同時(shí)，對于一些存在研究價(jià)值但又干擾主線內(nèi)容的進(jìn)行調(diào)整。例如，在點(diǎn)線面的位置關(guān)系中，將公理表述為基本事實(shí)，新教材將舊教材“直線與直線的位置關(guān)系”中的公理4、等角定理放在“空間直線、平面平行中直線與直線平行”這一節(jié)，使得“點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系”這一節(jié)更加清晰順暢。把舊教材中公理1和公理2調(diào)換順序，由不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面再到直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面即從點(diǎn)點(diǎn)再到點(diǎn)線，探究層層深入。而對于原來舊教材中“點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系”的習(xí)題作為3個(gè)推論放在基本事實(shí)3后，這也反映了新教材更加符合培養(yǎng)學(xué)生化歸能力?；臼聦?shí)1、推論1、推論2和推論3都可以確定有且只有一個(gè)平面，而以上結(jié)論在研究后續(xù)的平行垂直也經(jīng)常用到，總結(jié)升華。

圖1

2.注重方法引領(lǐng)

新教材從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，注重研究路徑的構(gòu)建。直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算是認(rèn)識立體圖形的基本辦法，也是學(xué)習(xí)研究立體幾何的基本路徑。所以，新教材從整體性出發(fā)的排序也是：基本立體圖形（直觀感知）—立體直觀圖（操作確認(rèn)）—表面積體積（度量計(jì)算）—平行垂直關(guān)系（推理論證），有整體認(rèn)知到局部學(xué)習(xí)再到整體，這對于學(xué)生研究解決立體幾何問題是很有幫助的。

首先，基本立體圖形，從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出立體圖形，數(shù)學(xué)抽象能力在這里得到體現(xiàn)，新教材從局部出發(fā)，在內(nèi)容調(diào)整上也注重學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)中的總結(jié)分類。如，舊教材把表面積體積分為“柱體、錐體、臺體的表面積和體積”與“球的體積和表面積”兩類。新教材從簡單幾何體—多面體和旋轉(zhuǎn)體出發(fā)，分為“棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積”和“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積體積”兩類，首尾呼應(yīng)。同時(shí)，新教材進(jìn)而再通過圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積公式和體積公式探究公式與立體圖形的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓臺上底面積增大變?yōu)閳A柱，反之縮小變?yōu)閳A錐，深入挖掘數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，再精彩不過。舊教材也有對此進(jìn)行探究，但沒有給出結(jié)論。新教材，提供了生活化的語言讓學(xué)生探究后，感知結(jié)論，學(xué)生在預(yù)習(xí)的過程中即能得到引導(dǎo)。這也是我們需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象與化歸能力。對于球的體積、表面積，新舊教材在處理的過程中有明顯的不同。新教材直接給出球的表面積公式，并利用表面積類比圓周長求圓面積的方法，利用球的表面積求體積。在教學(xué)參考中也給出舊教材的方法即利用祖暅原理從體積再推回表面積。簡化學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的壓力，教師可根據(jù)學(xué)情安排學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)也突出了教材表達(dá)的數(shù)學(xué)極限思想。體積計(jì)算又與前面學(xué)習(xí)錐體體積串聯(lián)，更加完整統(tǒng)一。

學(xué)習(xí)幾何體從按照數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)圖形—文字描述—符號語言探究路徑展開，學(xué)生可以舉一反三，學(xué)習(xí)過程也可以得到知識概念的鞏固。

細(xì)節(jié)上，新教材把“公理”改為“基本事實(shí)”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)的體現(xiàn)

新舊教材的變化還體現(xiàn)在選修的內(nèi)容安排上。新教材將舊教材中關(guān)于空間角、空間距離的概念從原來的選修2-1中與空間向量結(jié)合，提前放到新教材必修二中的“空間直線、平面的垂直”，與立體幾何初步合為一章。雖說缺少了以向量作為工具來解決空間角的問題對于有些題目而言，難度還是有的，但從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象與化歸能力而言，卻是更勝一籌的?？臻g角概念的確立離不開垂直，只有當(dāng)學(xué)生對概念理解透徹，才能在空間中形成對空間角的直觀圖形，強(qiáng)化空間角的由來及其與垂直的關(guān)系與利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與想象的意識。再從高二數(shù)學(xué)選修中利用向量工具形成數(shù)與形的緊密聯(lián)系，避免造成學(xué)生對于空間角的理解只停留在利用向量工具解題的層面上。從形到數(shù)，簡化問題，再由數(shù)到形發(fā)現(xiàn)形新的規(guī)律和特點(diǎn)，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想與邏輯推理能力得到鞏固。

二、新高考對于學(xué)生關(guān)鍵能力的考查

今年是山東實(shí)行新高考的第二年，是廣東實(shí)行新高考的第一年。這兩年新高考試題與新教材內(nèi)容的融合對于我們的教學(xué)具有較強(qiáng)的參考價(jià)值。

1.真題再現(xiàn)

（1）試題問題分析

2020年新高考全國1卷第20題以四棱錐為載體，底面為正方形，一條側(cè)棱和底面垂直，是學(xué)生非常熟悉的幾何體。第（1）問考查線面垂直，但是該條直線卻是圖形沒有出現(xiàn)的平面PAD與平面PBC的交線，找出這條交線是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)。第二問在需要依賴這條交線的動點(diǎn)Q，構(gòu)造平面QCD，要找到定直線PB與動平面QCD所成角，并求出該角的正弦值。

2021年新高考全國卷1卷的第（1）問則考查線線垂直，利用面面垂直的性質(zhì)證明。第（2）問則是求體積由二面角轉(zhuǎn)化為所求三棱錐的高，在這里也是其命題的創(chuàng)新點(diǎn)。該題運(yùn)用向量法或幾何法都可以解決，幾何法難度稍大但相較以往的立體幾何大題還是比較簡單的，特別是對比學(xué)生在此之前參加的八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷中的立體幾何大題。在題目設(shè)置上，我們都感受到了新高考數(shù)學(xué)試題明顯的“反常規(guī)”“反套路”、創(chuàng)新之中求穩(wěn)的特點(diǎn)。通過創(chuàng)新的設(shè)問，增加了題目的靈活度，注重考查學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新意識，但也注重學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也體現(xiàn)了新高考新教材的理念。

（2）試題關(guān)鍵能力考查分析

2020年新高考1卷考查空間想象力、運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，學(xué)生需要從題目給出的圖形中延伸到兩個(gè)平面的交線，需要學(xué)生在腦海中有兩個(gè)平面的直觀圖的概念、發(fā)現(xiàn)，并尋找線面垂直的條件，進(jìn)而把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言。靈活選擇向量或者幾何法解決空間角的問題，這也需要學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

2021年新高考1卷考查學(xué)生的邏輯推理能力、直觀想象能力、運(yùn)算求解能力。學(xué)生在此題目中尋找線線垂直的條件，需要對“直線與平面垂直”的各個(gè)判定定理與性質(zhì)具有清晰的邏輯判斷。第二小問則需要靈活地選擇幾何法或者向量中求出體積。這里都需要一定的運(yùn)算能力。若能從幾何法入手解決，則對學(xué)生關(guān)于空間角與垂直與體積的關(guān)系的空間想象力要求是比較高的，若用空間向量解決，則對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力也有一定的要求。

2.結(jié)合新高考，立體幾何中學(xué)生需要突破的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

相比八省聯(lián)考，新高考全國卷本著“新中求穩(wěn)”的節(jié)奏出題，從高考題可看出，一定量的練習(xí)確實(shí)對于考試頗有益處。但八省聯(lián)考的立體幾何大題也是一個(gè)啟示，學(xué)生要能適應(yīng)新變化，則更能在學(xué)習(xí)當(dāng)中拔得頭籌。高考在立體幾何中考查學(xué)生的關(guān)鍵能力主要在于數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象與化歸能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力。其中，直觀想象與化歸能力是學(xué)生所需要突破的難點(diǎn)。

三、教學(xué)建議

領(lǐng)會新教材的編寫設(shè)計(jì)意圖，我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型對于解題的應(yīng)用，從模型入手認(rèn)識立體模型。此處，教師若能通過信息技術(shù)來幫助學(xué)生認(rèn)識，在腦海中形成立體圖形的認(rèn)識是很重要的。注重教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，將教學(xué)引向概念本質(zhì)的學(xué)習(xí)，從概念探究路徑的教學(xué)，引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生在解決問題時(shí)要注重探究方法與分析問題，而解決問題有多種途徑，也應(yīng)能靈活應(yīng)用。同時(shí)，在表達(dá)過程中如何有條理地表達(dá)自己的思維過程，也是教師在教學(xué)過程所要注重引導(dǎo)的，即符號語言，自然語言與圖形語言的轉(zhuǎn)換。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱立明.高中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力研究的追溯與前瞻[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2019.