張錦榕,孫書敏,費金喜,吳慧伶
(麗水學院工學院,浙江麗水 323000)
廣義破裂孤子方程
其中,a,b,c,d和e是任意常數(shù)。方程(1)用來描述沿y-軸方向傳播的Riemann波和沿x-軸方向傳播的長波之間的相互作用。
方程(1)包含著多個非線性物理模型。例如,如果u=wx,v=wy,b=1,a=c=0,d=-4,e=-2,則方程(1)轉(zhuǎn)換成由Calogero和Degasperis提出的破裂孤子方程[1]
特別地,如果u=wx,v=wy,a=c=0,b=1,d=e=4,方程(1)簡化為另一破裂孤子方程[2]
對于方程(2)和(3)已經(jīng)得到許多精確解[3-6]。
如果c=6a,d=e=4b,方程(1)約化為Bogoyavlensky-Konoplechenko方程[7-9]
本文安排如下:第一節(jié)中,由方程(5)的Lax對,得到非局域?qū)ΨQ和有限變換定理。第二節(jié)中,通過延拓系統(tǒng)推導出n次有限變換定理。第三節(jié)中,利用n次有限變換定理得到多孤子解和孤子分子。最后進行總結(jié)和討論。
方程(5)的Lax對為
在相容性條件下(ψxxt=ψtxx),給出方程(5)。
設u、v的對稱分別為uσ、vσ,則方程(5)的線性化方程為
利用式(5)(6)(7),可以證明
為方程(8)的解,并且為非局域?qū)ΨQ。為了將非局域?qū)ΨQ局域到李點對稱,設ψ的對稱為σψ,σψ滿足式(6)(7)的線性化方程:
把式(9)代入式(10)并利用式(6),得到
為了消除式(12)中的積分,引入新的函數(shù)f=f(x,y,t),f滿足
因而得到
方程(13)的線性化方程為
方程(15)中σf為f的對稱。將式(14)代入方程(15),并利用式(13),得到
將式(6)(14)和(16)代入式(11)有
方程(18)的線性化方程為
至此,由式(5)(6)(7)(13)和(18)組成的延拓系統(tǒng),將非局域?qū)ΨQ式(9)局域到李點對稱。這一延拓系統(tǒng)的對稱為
相應的李點對稱矢量場
利用初值條件
解方程(23),得到延拓系統(tǒng)的有限變換定理:
由于非局域?qū)ΨQ式(6)中的譜參數(shù)λ是任意的,因此能夠獲得無窮多個非局域?qū)ΨQ
ψi(i=1,2,3,…,n)是Lax對式(6)(7)中不同譜參數(shù)λi≠λj(i≠j)的譜函數(shù)。
更進一步,通過引入一個延拓系統(tǒng):
則非局域?qū)ΨQ(25)變成局域的李點對稱
證明 延拓系統(tǒng)的線性化方程為
為了不失一般性,固定ci≠0,且ck=0(k≠i),則
是方程(28.1)和(28.2)的已知解。首先對i=j,把式(29)代入式(28.3)有
通過式(26.2)消除式(30)中的u,并利用式(26.4)和(26.5),容易驗證
是式(28.3)~(28.6)的解。其次對i≠j,(28.3)變成
不難驗證
是式(32)的解。同理可求得
綜合式(29)(31)(33)和(34)證明了式(27)是延拓系統(tǒng)線性化方程(28)的一個解。
考慮延拓系統(tǒng)(27)的初值問題:
通過解初值問題(35)獲得有限變換定理。
其中Δ,Δi,Γi分別是由矩陣定義的行列式,即
cn為任意常數(shù),ε為群參數(shù)。
由于有限變換定理與第二類達布變換等價,因此,可以從有限變換定理獲得多孤子解。設方程(5)的平凡解為u=u0,v=0,u0為任意常數(shù)。從式(26.2)~(26.4),發(fā)現(xiàn)ψi,fi有一個特殊解
式中,
且譜參數(shù)λi滿足
ki,pi,ηi(i=1,2,…,n)為任意常數(shù)。
當n=1時,得到方程(5)的單孤子解
當n=2時,得到方程(5)的雙孤子解
其中,Δ2根據(jù)(37)由式(44)確定
若式(40)中的色散關系滿足
可得到孤子的速度共振結(jié)構(gòu),即孤子分子。將式(40)代入式(45)得到
選取參數(shù)
由式(43)和式(46)獲得雙孤子形成的孤子分子,如圖1所示。同理,對三孤子形成的孤子分子,如圖2所示,選取的參數(shù)為式(47)和k3=1。對四孤子形成的孤子分子,如圖3所示,選取的參數(shù)為式(47)、k3=1和。圖1~圖3顯示了孤子之間的間距在不同的時刻始終保持不變。
圖1 雙孤子形成的孤子分子
圖2 三孤子形成的孤子分子
圖3 四孤子形成的孤子分子
非局域?qū)ΨQ是非線性物理中的一個重要課題。非局域?qū)ΨQ局域到李點對稱是求解多孤子解的有效方法。有待于將這種方法推廣到其他的非線性物理系統(tǒng)。