向量函數(shù)的泰勒公式的不同形式及其證明

◎胡有婧 (寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

1 引 言

數(shù)量函數(shù)的泰勒公式在數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要的公式，有無數(shù)的研究成果.而對于向量函數(shù)的泰勒公式，中國知網(wǎng)能查到的文獻(xiàn)并不多，微分幾何教材中也只是給出了三維空間中帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式及其簡略證明，本文參考文獻(xiàn)[1]-[6]，給出了m維空間中向量函數(shù)的泰勒公式的不同形式與證明，希望對學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容和用到該公式的同志能有所幫助.

我們都知道，曲線和曲面的方程有多種形式，其中一種就是用向量函數(shù)來表示，而在微分幾何、計(jì)算幾何、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等課程中，所研究的起有著重要作用的曲線與曲面，也都是以向量函數(shù)的形式表示的，所以對它們的幾何性質(zhì)與逼近性質(zhì)的分析，也是這些學(xué)科研究的內(nèi)容之一.而向量函數(shù)的泰勒公式正是近似計(jì)算和理論探討的有力工具之一，所以對向量函數(shù)的不同形式的泰勒公式的研究是非常有意義的.

本文中向量的坐標(biāo)統(tǒng)一用花括號括起來，指標(biāo)i的變化統(tǒng)一約定為i=1,2,…,m.

設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)m維向量空間Rm，I是V中一區(qū)域，如果對于每一點(diǎn)P(t)∈I?V，有一個(gè)確定的向量r(t)和它對應(yīng)，則我們說，在I上給定了一個(gè)向量函數(shù)，記作

r=r(t)，P(t)∈I.

如果在V中取定坐標(biāo)系，則向量函數(shù)對應(yīng)的就有坐標(biāo)，不妨設(shè)

r(t)={x1(t),x2(t),…,xm(t)}，

(1)

其中xi(t):R→R，均為I上的實(shí)函數(shù).

2 向量函數(shù)的泰勒公式及證明

定理以t0、t0+Δt為端點(diǎn)的閉區(qū)間記作D，設(shè)向量函數(shù)r(t)在t∈D上有直到n+1階的連續(xù)偏導(dǎo)向量，則有泰勒展開式

(1)拉格朗日型

(2)柯西型

存在0<θi<1，使得

(3)積分型

證明由已知條件和(1)式，易得分量函數(shù)x1(t),x2(t),…,xm(t)在t∈D上有直到n+1階的連續(xù)偏導(dǎo)向量，根據(jù)數(shù)量函數(shù)的泰勒公式，得

(2)

其中Ri(t0+Δt)為余項(xiàng)，將(2)式代入(1)式，得

其中余項(xiàng)為

R(t0+Δt)={R1(t0+Δt),R2(t0+Δt),…,Rm(t0+Δt)}.

(3)

(1) 根據(jù)數(shù)量函數(shù)的泰勒公式的拉格朗日型余項(xiàng)，則存在

ξ1，ξ2，…，ξm∈D，

(4)

使得

(5)

將(5)式代入(3)式，得

(6)

根據(jù)向量函數(shù)的極限定義和運(yùn)算法則，取極限可得

(7)

將(7)式代入(6)式得

(2) 根據(jù)數(shù)量函數(shù)的泰勒公式的柯西型余項(xiàng)，則存在

0<θi<1，

(8)

使得

(9)

將(9)式代入(3)式，得

(10)

再由已知條件和(8)式，得

所以

(11)

將(11)式代入(10)式得

其中

ε(t0,θi,Δt)={ε1(t0,θ1,Δt),ε2(t0,θ2,Δt),…,εm(t0,θm,Δt)}，

由(11)式得

(3) 根據(jù)數(shù)量函數(shù)的泰勒公式的積分型余項(xiàng)，得

(12)

將(12)式代入(3)式，根據(jù)向量函數(shù)積分的定義和運(yùn)算法則得

當(dāng)r(t1,t2,…,tn)是無限可導(dǎo)的，我們就可以把它展開為泰勒級數(shù)的形式， 即

如果r(t1,t2,…，tn)是解析函數(shù)，則上面的泰勒級數(shù)是收斂的[2].

3 結(jié)束語

對于三維空間中向量函數(shù)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，在經(jīng)典微分幾何教材中有一個(gè)非常重要的應(yīng)用，就是利用其對一般曲線在一點(diǎn)鄰近的近似形狀進(jìn)行研究，得到曲線在一點(diǎn)的近似形狀完全由該點(diǎn)的曲率和撓率確定，這在曲線論中也是一個(gè)非常重要的結(jié)論.對于m維向量空間V中的向量函數(shù)r=r(t)，它在V中所表示的幾何圖形仍然為曲線，此方程為其參數(shù)方程.利用本文中推導(dǎo)的定理，同樣可以對其進(jìn)行近似計(jì)算和代數(shù)逼近，得到相關(guān)的結(jié)論，感興趣的同志可以自己去推導(dǎo).