均值不等式之尺規(guī)作圖證明及應(yīng)用舉例

◎王永軍 (重慶市廣益中學(xué)校，重慶 400065)

2個(gè)正數(shù)的均值不等式(基本不等式)可以由重要不等式(a-b)2≥0直接得出.數(shù)學(xué)中常常用到4種形式的均值：調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù).

一、均值不等式

若0

①

二、尺規(guī)作圖示例

(一)作出線段BC的中點(diǎn)A

圖1

如圖1，分別以點(diǎn)B，C為圓心，以線段BC的長為半徑，作出⊙B、⊙C.記⊙B、⊙C交于點(diǎn)A1，A2，連接直線A1A2交線段BC于點(diǎn)A.

(二)過線段BC上點(diǎn)A作BC的垂線

圖2

如圖2，以點(diǎn)A為圓心作出⊙A，交直線BC于點(diǎn)B1，B2.分別以點(diǎn)B1，B2為圓心，以線段B1B2的長為半徑，作弧.記兩弧交于點(diǎn)A1，A2，則直線A1A2過點(diǎn)A，且A1A2⊥BC，A為垂足.

(三)過直線BC外一點(diǎn)G作BC的垂線

圖3

如圖3，以點(diǎn)G為圓心(半徑足夠大)作弧，交直線BC于點(diǎn)B1，B2.分別以點(diǎn)B1，B2為圓心，以線段B1B2的長為半徑，作出弧，交于點(diǎn)A1，A2，則直線A1A2過點(diǎn)G，設(shè)直線A1A2交直線BC于點(diǎn)H，此時(shí)A1A2⊥BC，H為垂足.

(四)過⊙A外一點(diǎn)N作⊙A的切線

圖4

如圖4，連接AN，作出線段AN的中點(diǎn)A1.以點(diǎn)A1為圓心，以線段AA1的長為半徑作⊙A1.取⊙A、⊙A1的2個(gè)交點(diǎn)之一為點(diǎn)G，則直線NG為⊙A的切線，G為切點(diǎn).

三、用尺規(guī)作圖法證明均值不等式

下面用尺規(guī)作圖法證明①式.

圖5

(一)作線段

如圖5，作出線段CN=a，在線段NC的延長線上作點(diǎn)B，使BN=b.

易見BC=b-a.

(二)作中點(diǎn)、作圓

(三)作圓的切線

如圖5，過點(diǎn)N作⊙A的切線NG，G為切點(diǎn).

由切割線定理(或相似：△NCG∽△NGB)得

(四)作垂線

如圖5，過點(diǎn)G作GH⊥AN，H為垂足.

過點(diǎn)A作AQ⊥BC，直線AQ交⊙A于點(diǎn)Q.

(五)作同心圓

如圖5，以點(diǎn)N為圓心，以a，b的長為半徑作同心圓⊙N.則小圓與⊙A外切于點(diǎn)C，大圓與⊙A內(nèi)切于點(diǎn)B.

易見點(diǎn)H在同心圓⊙N小圓之外，故HN>CN=a.

在同心圓⊙N大圓中，QN

另外，在直角三角形中，直角邊小于斜邊(大角對大邊).

綜上，立即可得

CN

(六)用尺規(guī)作圖法另證均值不等式

圖6

如圖6，作線段AC=a，在線段AC的延長線上作點(diǎn)B，使CB=b.

易見DE

②

這幾乎證明了①式.把②式后3式寫出來也很有意思.

四、一點(diǎn)說明

在①式中，不等式是嚴(yán)格不等式，若將其改寫為

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，上式等號成立.這在尺規(guī)作圖的過程中也可以明顯感覺得到.

均值不等式的一般形式的證明方法主要有數(shù)學(xué)歸納法、利用函數(shù)的凹凸性、借用其他不等式證明等思路.而①式用純代數(shù)方法證明(作差、變形等)也是容易的.幾何圖形的證明方法簡潔、明快，而且趣味盎然，便于不等式的記憶與應(yīng)用.

五、均值不等式應(yīng)用舉例

在現(xiàn)實(shí)生活中，均值不等式有非常廣泛的應(yīng)用.在運(yùn)用調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)解決問題時(shí)，要認(rèn)真分析背景材料，選用恰當(dāng)?shù)木担胁豢蓙y用、混用、錯(cuò)用.

例1為強(qiáng)身健體，小豐每天騎車從甲地到乙地，再騎車立即從乙地返回甲地.已知小豐騎車從甲地到乙地的速度為每小時(shí)a(a>0)千米，從乙地到甲地的速度為每小時(shí)b(b>0)千米.問小豐每天騎車全程的平均速度為多少？

例2甲廠生產(chǎn)醫(yī)用外科口罩，從2月份開始生產(chǎn)產(chǎn)量月增長率為c(0

解析本題是幾何平均數(shù)問題.由題，2月份口罩產(chǎn)量為a片，則3月份口罩產(chǎn)量為a(1+c)片，4月份口罩產(chǎn)量為a(1+c)2片，故b=a(1+c)2.

例3乙廠生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)服，3月份生產(chǎn)a(a∈N+)套，4月份生產(chǎn)b(b∈N+)套.問乙廠平均每月生產(chǎn)多少套？

例4甲衛(wèi)生院為表彰一批在抗擊疫情中表現(xiàn)優(yōu)秀的集體與職工，擬制做一些正方形的獎(jiǎng)牌，獎(jiǎng)牌邊緣用一批現(xiàn)有的彩帶裝飾.該批彩帶的長均為c(c>0)米，現(xiàn)將每條彩帶剪為2段，分別鑲在2塊獎(jiǎng)牌的邊緣.現(xiàn)根據(jù)彩帶長度切割獎(jiǎng)牌用料，為節(jié)約獎(jiǎng)牌用料，問彩帶應(yīng)如何剪斷？