積分學(xué)中反常積分的課堂研究

◎楊 林 趙 絢 (.太原科技大學(xué)運(yùn)城工學(xué)院基礎(chǔ)部,山西 運(yùn)城 044000;.運(yùn)城師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)計(jì)系,山西 運(yùn)城 044000)

引 言

在分層次、分類(lèi)別、分大小專(zhuān)業(yè)的高職高專(zhuān)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思想指導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)幾年的探索，我們教學(xué)組通過(guò)對(duì)現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)的重構(gòu)，分別采用了底層的必選(高數(shù)數(shù)學(xué)必學(xué)內(nèi)容)，中層的限選(按大小專(zhuān)業(yè)方向的限選)，高層的自選(按照學(xué)生的未來(lái)規(guī)劃發(fā)展方向)的教學(xué)方式組織教學(xué).本文對(duì)高等數(shù)學(xué)分層、分類(lèi)、分專(zhuān)業(yè)高職數(shù)學(xué)改革有如下建議[2-3]：

(1)觀念的開(kāi)放性.擺脫傳統(tǒng)高職數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)觀念的影響，以實(shí)現(xiàn)高職學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)為目標(biāo)，啟迪和開(kāi)發(fā)學(xué)生的邏輯思維和智慧.我們以比較開(kāi)放的新型構(gòu)造過(guò)濾方式處理所教內(nèi)容，并通過(guò)初期了解學(xué)生的基本學(xué)習(xí)情況和基礎(chǔ)知識(shí)，在授課程過(guò)程中，逐步應(yīng)用新型觀念來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)理實(shí)一體化的興趣和自覺(jué)性.

(2)教學(xué)內(nèi)容上的通俗性.遵從科學(xué)的認(rèn)知規(guī)律性，按照起源、重構(gòu)、過(guò)濾、還原的教學(xué)觀念，結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重新編排和整理，使所教內(nèi)容易學(xué)、易懂.

(3)體系的新穎性.突出高職教育的針對(duì)性和實(shí)用性，弱化傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)的完整性和系統(tǒng)性，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)引入，由特殊到一般，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行高度概括和提煉.體系的構(gòu)成、內(nèi)容的跳躍，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決實(shí)際問(wèn)題的成就感.

(4)版面的創(chuàng)新性.吸取初等數(shù)學(xué)教材版面設(shè)計(jì)清晰、活躍的特點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)版面，力圖簡(jiǎn)潔、美觀，提高視覺(jué)效果.

下面以高等數(shù)學(xué)上的反常積分這一節(jié)內(nèi)容為例，簡(jiǎn)單介紹下我校教學(xué)改革的新思想，即底層必選部分.根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，采取相應(yīng)的措施，力圖達(dá)到因材施教.通過(guò)分層、分類(lèi)、分專(zhuān)業(yè)的教學(xué)模式,使學(xué)生更容易接受高數(shù)課程,同時(shí)通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助功能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想.

1 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

分析：從圖像看出，這個(gè)圖形不是封閉的，是一個(gè)開(kāi)口的曲邊梯形，按照定積分的幾何意義，在x軸上任取一點(diǎn)b，構(gòu)成封閉曲邊梯形.當(dāng)b改變時(shí)，曲邊梯形面積也隨之改變.結(jié)合定積分的定義可給出面積的定積分.

圖1

=1(無(wú)限區(qū)間的反常積分)

觀察歸納得到：此問(wèn)題是積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的情形，前面介紹的定積分概念是對(duì)有限區(qū)間上的有界函數(shù)建立的．而在科學(xué)技術(shù)和工程的實(shí)際問(wèn)題中，常常遇到積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間的情形，或者被積函數(shù)為無(wú)界函數(shù)積分的情形，于是我們將定積分的概念進(jìn)行推廣，推廣后的積分稱(chēng)為廣義積分(反常積分).

2 無(wú)限區(qū)間的反常積分

說(shuō)明：無(wú)窮限的反常積分也稱(chēng)為第一類(lèi)反常積分.

2.上述定義中若出現(xiàn)∞-∞,并非不定型,它表明該反常積分發(fā)散.

則有類(lèi)似N-L公式的計(jì)算表達(dá)式，詳見(jiàn)教材[4].

3 課堂活動(dòng)

聯(lián)系與歸納:對(duì)反常積分來(lái)說(shuō),只有在收斂的條件下，才能使用“偶倍奇零” 的對(duì)稱(chēng)性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算的錯(cuò)誤.通過(guò)實(shí)訓(xùn)操作(計(jì)算機(jī)輔助教學(xué))，即理實(shí)一體化的教學(xué)，得以實(shí)現(xiàn)此結(jié)論.

4 理論實(shí)踐一體化(即計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn))

數(shù)學(xué)對(duì)于計(jì)算機(jī)的發(fā)展以及應(yīng)用都有著不小的作用，雖然現(xiàn)在我們學(xué)的僅僅是數(shù)學(xué)本身，但是需要我們?cè)趯?shí)踐中去將數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)這兩個(gè)學(xué)科有機(jī)地結(jié)合在一起，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，多思考，多建立起數(shù)學(xué)的思維模式，并且能根據(jù)所學(xué)知識(shí)，讓這種思維模式在計(jì)算機(jī)中應(yīng)用起來(lái).這樣既可以提高數(shù)學(xué)理論的思維和嚴(yán)格的邏輯推理、判斷能力，也可以為未來(lái)計(jì)算機(jī)創(chuàng)新性的研究和發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)我們的實(shí)踐理論一體化課程,能有效地使學(xué)生理解和應(yīng)用高數(shù)課程.

由于普通的高職院校的生源及學(xué)生的基本情況不同，所以在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們根據(jù)不同對(duì)象不同專(zhuān)業(yè)采取不同的授課方式，并結(jié)合計(jì)算機(jī)的輔助功能，因材施教.通過(guò)高職高專(zhuān)對(duì)于應(yīng)用高等數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，促成了應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，即在教學(xué)中，底層必學(xué)，中層限選.結(jié)合計(jì)算機(jī)，將這些基本知識(shí)最終回歸于解決實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)這樣的教學(xué)方式，加強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，從而促使學(xué)生對(duì)于基本知識(shí)學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性.

結(jié) 論

本文是按照高職數(shù)學(xué)改革的總體思路設(shè)計(jì)的，在分層、分類(lèi)、分專(zhuān)業(yè)高職數(shù)學(xué)改革的思想指導(dǎo)下，體現(xiàn)高職教育的針對(duì)性和實(shí)用性，弱化傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)的完整性和系統(tǒng)性，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)引入，由特殊到一般，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行高度概括和提煉，體系的構(gòu)成、內(nèi)容的跳躍，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決實(shí)際問(wèn)題的成就感，并結(jié)合計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)中的實(shí)踐，使學(xué)生體會(huì)科技的重要性與前沿性.教師在講授的過(guò)程中，將以往高數(shù)通用教材所有的教學(xué)內(nèi)容都進(jìn)行了重構(gòu)，即過(guò)濾、重組.目的是讓學(xué)生理解所學(xué)的基本知識(shí)，也體現(xiàn)了教育教學(xué)改革思想的重要性和客觀性.在教學(xué)改革過(guò)程中，對(duì)學(xué)院各個(gè)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行了各自的分層次的教學(xué)方式，隨著教改的不斷推進(jìn)，總結(jié)出了一些新的方式與方法.1.教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化性、合理性和創(chuàng)新性；2.利用豐富資源的教學(xué)形式，讓更多的學(xué)生動(dòng)起來(lái)； 3.提綱式、預(yù)習(xí)法、師生互動(dòng)三者相結(jié)合的授課模式；4.計(jì)算機(jī)實(shí)訓(xùn)操作.通過(guò)幾年的課改實(shí)踐,發(fā)現(xiàn)我們的設(shè)計(jì)思路適合于當(dāng)下高職高專(zhuān)學(xué)生的學(xué)習(xí),通過(guò)分層分專(zhuān)業(yè)的教育方式,使學(xué)生們更容易理解.