對學(xué)生數(shù)學(xué)假性理解的認(rèn)識與分析

傅海倫 張佩雯 王彩芬

摘? ?要

在當(dāng)前的課堂學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生存在對知識的假性理解現(xiàn)象。這種假性理解普遍存在于各個學(xué)科，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為明顯。本文從數(shù)學(xué)假性理解的內(nèi)容、特點等視角對這一現(xiàn)象進行探究，并嘗試從多個角度分析造成這種現(xiàn)象的原因，探討克服學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中假性理解出現(xiàn)的對策。

關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)? 假性理解? 原因? 策略

一、正確認(rèn)識數(shù)學(xué)假性理解

1.數(shù)學(xué)假性理解的概念

假性理解指學(xué)生在學(xué)習(xí)新內(nèi)容的過程中，對新知識的認(rèn)識僅停留在表面，并未將其本質(zhì)理解透徹，從而在運用這部分內(nèi)容的時候出現(xiàn)錯誤。而數(shù)學(xué)假性理解是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)習(xí)者對所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)表達、數(shù)學(xué)認(rèn)識等內(nèi)容的理解不夠深刻，尚未真正地領(lǐng)悟到其本質(zhì)性的內(nèi)涵，僅僅停留在感性層面，從而造成已經(jīng)習(xí)得并理解其內(nèi)在含義的假象，而這種不夠深刻的理解，在實際運用到這些知識的時候就會給學(xué)生帶來困擾，影響學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

2.數(shù)學(xué)假性理解的分類

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，假性理解可以以數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的具體類別為維度進行劃分，包括數(shù)學(xué)知識的假性理解、數(shù)學(xué)思想方法的假性理解兩大類，而數(shù)學(xué)知識的假性理解又包括數(shù)學(xué)概念的假性理解、數(shù)學(xué)定理的假性理解、數(shù)學(xué)公式的假性理解等。

數(shù)學(xué)概念的假性理解主要表現(xiàn)為學(xué)生能夠較為熟練地復(fù)述數(shù)學(xué)概念，但是在涉及到對概念的判定、運用具體的數(shù)學(xué)概念解決問題時，不能夠抓住數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵所在。例如，初中一年級學(xué)生在處理“關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+m-3=0是一元一次方程，求m的值”這一問題時，部分同學(xué)就會由于對一元一次方程概念的本質(zhì)缺乏深層上的認(rèn)識而出現(xiàn)的錯解，或者有些同學(xué)雖然牢記一元一次方程的概念，而面對本題卻無從下手。前者是由于只考慮到滿足一元一次方程的部分條件卻忽略掉“只有一個未知數(shù)存在”即未知數(shù)的存在性，也就是對一元一次方程的概念理解不夠透徹、不夠全面;而出現(xiàn)后面這種情況則是由于學(xué)生不能把文字語言和數(shù)學(xué)概念中的關(guān)鍵條件一一對應(yīng)，沒有對課本上的概念進行自我加工和深入理解，這都是數(shù)學(xué)概念上的假性理解。而數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式等的假性理解則是指學(xué)生對數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式等內(nèi)容比較熟悉，但是僅限于單純的套用，對其推理與證明、或者變形等內(nèi)容缺乏認(rèn)識。

數(shù)學(xué)思想方法的假性理解則是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體的數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化、整體代換等方法）的過程中對這些思想方法的接受只停留在表面，在具體的運用中并沒有那么得心應(yīng)手，從而出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤。大多時候，學(xué)生都把這些假性理解簡單歸結(jié)為一時馬虎，認(rèn)為對做題過程中所涉及的知識點、解題方法和解題技巧等達到了理解的水平，就是真正地習(xí)得，這種單純的歸結(jié)方法是不科學(xué)的，往往會帶來更多的學(xué)習(xí)問題，缺乏深層次的思考。

3.數(shù)學(xué)假性理解的特點

數(shù)學(xué)假性理解具有潛伏性。這里的潛伏性是指它的不易發(fā)現(xiàn)性，因為在學(xué)生的實際學(xué)習(xí)活動中，多數(shù)同學(xué)甚至教師都把這種假性理解簡單地劃到粗心這一行列，并不能透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)。這也是數(shù)學(xué)假性理解長期存在，得不到正視和有效解決的主要原因。只有正確認(rèn)識到數(shù)學(xué)假性理解的存在，找到所謂粗心現(xiàn)象的根源和本質(zhì)所在，才能夠從根本上剖析此類問題，進而找到解決問題的對策，有效地進行問題解決。

數(shù)學(xué)假性理解具有普遍性。數(shù)學(xué)假性理解普遍存于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，無論是數(shù)學(xué)新課的學(xué)習(xí)，還是數(shù)學(xué)知識的復(fù)習(xí)、數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)歸納，數(shù)學(xué)假性理解現(xiàn)象的出現(xiàn)越來越普遍。數(shù)學(xué)假性理解的普遍性不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容上，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體——學(xué)生方面，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)假性理解問題的學(xué)生也越來越多，他們在運用已習(xí)得的數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題時，會因為對知識的理解不夠透徹而出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，這些錯誤是學(xué)生數(shù)學(xué)假性理解的普遍表現(xiàn)。

二、數(shù)學(xué)假性理解形成的原因

造成學(xué)生數(shù)學(xué)假性理解的原因是多方面的，只有清楚地了解造成這種現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，才能夠?qū)ΠY下藥，從根本上找到減少甚至消除數(shù)學(xué)假性理解的方法。筆者分別是從教師和學(xué)生兩個方面進行數(shù)學(xué)假性理解的原因分析。

1.教師層面的原因

教師過于注重知識量的傳授，在一定程度上忽略“質(zhì)”的講解。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，仍然存在趕進度的現(xiàn)象，部分教師在教學(xué)任務(wù)重、教學(xué)時間不夠的情況下，為保證教學(xué)任務(wù)的完成，采取加快講課進度的策略。而伴隨著這種高進度的課堂教學(xué)，學(xué)生的各種問題也就出現(xiàn)了，數(shù)學(xué)假性理解的出現(xiàn)尤為明顯。教師講得快，學(xué)生為跟上教師的步伐，就會囫圇吞棗，粗略地理解所學(xué)內(nèi)容，對知識的追求也由理解每一部分變?yōu)槔眠@些知識解答習(xí)題，但這種粗略的理解并不能幫助學(xué)生較好地利用這些知識處理數(shù)學(xué)問題，反而會造成各種錯解的出現(xiàn)。老師講得快，學(xué)生學(xué)得不夠精細(xì)，不能夠完全理解所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，在運用知識時就會出現(xiàn)各種問題，而面對各種問題的出現(xiàn)，卻簡單地把錯誤歸為粗心，這顯然不夠理性，對問題的分析不夠深入透徹。

“授人以魚不如授人以漁”是廣大教師追求的教學(xué)狀態(tài)。但是，現(xiàn)在的課堂教學(xué)中，教師越來越注重對解題方法、解題技巧的講解，這就給學(xué)生帶來一種錯覺，認(rèn)為只要掌握解題技巧就能夠處理好數(shù)學(xué)問題了。所以使得一些同學(xué)過于追求數(shù)學(xué)方法和解題技巧的學(xué)習(xí)，而忽視了對數(shù)學(xué)內(nèi)容自身的深層次理解。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分，是數(shù)學(xué)文化的精華所在，但并不意味著，數(shù)學(xué)知識的講解、數(shù)學(xué)習(xí)題的處理都要從思想方法和技巧上著手，過于注重方法總結(jié)會使得學(xué)生對方法技巧的依賴逐漸增大，盲目依賴固化的解題思路，不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，同時也會使學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解僅停留在感性層面，不能夠體悟到數(shù)學(xué)知識的根本所在。

2.學(xué)生自身的原因

學(xué)生為能夠跟上教師的教學(xué)進度，對所學(xué)知識僅能夠做到初步理解，對所學(xué)知識的理解難以做到深入透徹。針對教師講授的課堂知識，一些學(xué)生僅限于能夠復(fù)述，難以理解其本質(zhì)，所以在運用這些知識去處理數(shù)學(xué)問題時會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，出現(xiàn)假性理解現(xiàn)象。面對數(shù)學(xué)課堂中教師呈現(xiàn)的大量數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生的接受能力也是有限的，為了最大程度習(xí)得教師的教學(xué)內(nèi)容，部分學(xué)生對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)便成了有選擇性的接受，甚至對一些內(nèi)容只能記住大概，這就為后續(xù)學(xué)習(xí)留下隱患。

部分學(xué)生在學(xué)完教師講授的內(nèi)容時，未能進行及時的再加工和再認(rèn)識，沒有形成自己的理解，并且在運用數(shù)學(xué)知識時難以做到舉一反三。對所學(xué)內(nèi)容，學(xué)生是需要進行再加工的，在自己對知識進行加工的過程中加深理解，形成自己的認(rèn)識，并且能夠在運用這些內(nèi)容時做到知其所以然，而不是僅僅局限于記住解題的技巧和方式方法，忽略其本質(zhì)內(nèi)容。對所學(xué)內(nèi)容進行及時總結(jié)，抓住內(nèi)容的關(guān)鍵，在解決數(shù)學(xué)問題時能夠做到舉一反三，這是當(dāng)前大多數(shù)學(xué)生需要做的。

還有，假性理解的“迷惑性”主要體現(xiàn)在課堂上的數(shù)學(xué)問題表征及其處理方法上。一般來說，數(shù)學(xué)問題經(jīng)過課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)后，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，師生在處理問題時，教師可能誤認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握問題的意義、性質(zhì)和方法，但是教師進一步詢問學(xué)生所選方法的理由時，很多學(xué)生回答不出來。其主要原因是：這些學(xué)生往往將數(shù)學(xué)問題表征為具體化的固定程式，表現(xiàn)為僅關(guān)注問題的具體操作過程，而忽視問題思路與方法的來源。這是假性理解狀態(tài)下學(xué)生問題表征的第一個明顯特征。例如，高中教材中有關(guān)統(tǒng)計與概率內(nèi)容，其中的公式較為復(fù)雜，但每一項內(nèi)容又都有很強的思想性，而反映這些內(nèi)容的公式也有客觀的條件性，這就容易形成假性理解的“迷惑性”。特別是，在當(dāng)前的選擇性必修中，統(tǒng)計部分還增加了參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等內(nèi)容，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時急于求成，不認(rèn)真領(lǐng)會其背后蘊含的“樣本距代替總體距”“小概率事件原理”等統(tǒng)計思想，過度依賴具體的計算公式，問題中的變量或條件的呈現(xiàn)方式只要稍加變化，學(xué)生就很難正確處理問題。

此外，學(xué)校的教育水平、學(xué)習(xí)氛圍、教師的教學(xué)風(fēng)格、學(xué)生的認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維方式等因素都是影響數(shù)學(xué)假性理解出現(xiàn)的因素。

三、克服數(shù)學(xué)假性理解現(xiàn)象的策略

1.教師要改變教學(xué)方法

教師要改進教學(xué)方法，改變趕進度的現(xiàn)狀，要進行高質(zhì)量的課堂教學(xué)，而不是僅僅追求高速度。只有引導(dǎo)學(xué)生去理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，才能有效幫助學(xué)生真正地把所學(xué)知識納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的掌握。教師要選擇適合所授內(nèi)容的教學(xué)方式，結(jié)合學(xué)生的實際情況進行課堂教學(xué)，充分把握學(xué)情。同時，在引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時還要注意，教師不要過分強調(diào)解題技巧，而要注重解題思路、解題關(guān)鍵步驟的分析，不僅讓學(xué)生知道具體的解法，還要知道為什么要這樣處理。這樣才能幫助學(xué)生從根本上掌握所學(xué)內(nèi)容，并幫助學(xué)生在真正意義上實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的理解和運用。

2.學(xué)生要改進學(xué)習(xí)方法

學(xué)生要能夠做到對數(shù)學(xué)內(nèi)容的及時再加工，形成自己的認(rèn)知。學(xué)生是數(shù)學(xué)假性理解發(fā)生的主體，教師等因素相對于學(xué)生自身而言都是外在的。要想從根本上解決數(shù)學(xué)假性理解這一問題，學(xué)生是關(guān)鍵所在。無論在哪個學(xué)科領(lǐng)域，學(xué)生都應(yīng)該對所學(xué)內(nèi)容有自己的思考，相對于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)有著抽象性等特點，這使得數(shù)學(xué)中的再思考尤為重要。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，不能只做到簡單的理解、知道，或者簡單套用數(shù)學(xué)公式進行習(xí)題處理，而要清楚地知道這些知識點的內(nèi)涵和關(guān)鍵，明確這些知識應(yīng)用的原理，對這些內(nèi)容有自己的理解，能夠用自己的語言進行描述和整合，在不斷的反思中完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高自身的數(shù)學(xué)能力。

3.注重學(xué)生問題意識的培養(yǎng)

培養(yǎng)問題意識，是克服數(shù)學(xué)假性理解現(xiàn)象的重要策略。一方面，問題是思考的源泉，無論是學(xué)習(xí)新知識還是理解思想方法、尋找規(guī)律，都要樹立問題意識，帶著問題聽課，即使是教材中的基本概念、定義和公式，也要多想一下為什么要這樣推導(dǎo)，為什么要這樣規(guī)定;另一方面，問題及問題解決還是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)形成的關(guān)鍵。思維的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成，是在學(xué)生一步步克服數(shù)學(xué)假性理解的過程中形成的，只有經(jīng)常帶著問題學(xué)習(xí)、帶著問題思考，才能準(zhǔn)確找到自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的思維障礙和理解困難。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)時應(yīng)當(dāng)針對具體原因有針對性地克服假性理解，注重概念、公式的適用范圍以及題目中的細(xì)節(jié)條件，加深對概念和公式深度理解，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。具體來說，學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)概念時要注意公式的適用范圍和成立的前提條件;在解題時應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成隨時批注的習(xí)慣，對解題的關(guān)鍵點進行標(biāo)注，充分提取、領(lǐng)悟題目中的提示信息，才能選取適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。而數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性、批判性等品質(zhì)的訓(xùn)練，離不開數(shù)學(xué)深層次的思考和反思。因此，教師應(yīng)當(dāng)采取支持性的而非控制的方式鼓勵學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程進行回顧、思考、評價和調(diào)節(jié)，充分尊重學(xué)生學(xué)習(xí)自主權(quán)，設(shè)定合理的反思性學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見以培養(yǎng)學(xué)生的反思能力。學(xué)生只有對自己的學(xué)習(xí)情況有正確把握，才能適時調(diào)整自己的學(xué)習(xí)節(jié)奏，進而消除假性理解。

本文從理論層面對數(shù)學(xué)假性理解的內(nèi)涵、特點、原因和解決策略等進行了初步的探討，在后續(xù)針對數(shù)學(xué)假性理解的研究中，還有許多視角可以切入，比如造成學(xué)生數(shù)學(xué)假性理解的因素中，各因素所占比例是怎樣的、數(shù)學(xué)假性理解是否存在性別上的差異、是否存在年級間的差異、針對數(shù)學(xué)假性理解所提出的策略是否具有可行性等都需要進一步的實證研究。

參考文獻

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[作者：傅海倫（1970-），男，山東曹縣人，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，教授，博士生導(dǎo)師;張佩雯（1992-），女，山東濟寧人，濟南市技師學(xué)院交通服務(wù)與管理系，助教，碩士;王彩芬（1976-），女，山東高密人，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，講師，博士生。]

【責(zé)任編輯? 陳國慶】