小學(xué)高年級學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤分析過程研究

鄒學(xué)紅 周鈞

摘? ?要

以分數(shù)的問題解決為例，參考蘭寧等人的錯誤分析反思循環(huán)模型，通過對56位同學(xué)“分數(shù)應(yīng)用的問題解決”的錯誤分析過程的研究，總結(jié)了學(xué)生問題解決錯誤的識別方式、歸因、訂正錯誤的策略。研究發(fā)現(xiàn)：情境轉(zhuǎn)譯錯誤是學(xué)生分數(shù)應(yīng)用問題解決錯誤的主要原因;深刻、全面的歸因?qū)W(xué)生來說是有挑戰(zhàn)性的。

關(guān)鍵詞

小學(xué)生? 錯誤分析? 問題解決? 分數(shù)應(yīng)用

由于數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴謹性和科學(xué)性，以及學(xué)生認知發(fā)展和已有經(jīng)驗的不足，數(shù)學(xué)錯誤與數(shù)學(xué)學(xué)習如影相隨。在教學(xué)理論中，數(shù)學(xué)錯誤被看作是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習的資源[1]。一方面數(shù)學(xué)錯誤可以作為診斷學(xué)生學(xué)習效果的一種工具，幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習情況[2]，以便教師更好地改進教學(xué);另一方面學(xué)生通過對錯誤的反思可以加深對知識的理解，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)。甚至還有研究者指出數(shù)學(xué)錯誤對教師的知識觀、數(shù)學(xué)觀的形成也有很大的影響[3]。因此，數(shù)學(xué)錯誤成為研究者和教師關(guān)注的重點，然而很少有研究者關(guān)注學(xué)生的錯誤反思過程[4]。

錯誤產(chǎn)生于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的過程中，因此學(xué)生是反思錯誤的主體。學(xué)生對錯誤的反思過程，也是將錯誤作為學(xué)習資源進行探究的過程，可以幫助學(xué)生找到問題所在，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。另外，了解學(xué)生真實的錯誤分析過程，有助于教師了解學(xué)生的認知水平和知識理解程度，以便對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習開展有針對性的指導(dǎo)。基于此，對學(xué)生的錯誤反思過程進行研究就顯得極為重要。

一、文獻梳理

鐘德認為學(xué)生問題解決時的錯誤主要是因為片面地使用定理或公式[5]。托馬斯（Thomas，T.M.）提出，日常生活中的各種說法是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的重要原因[6]。賈金平在對錯誤的價值及成因分析的基礎(chǔ)上，提出了針對錯誤的課堂教學(xué)策略，如何引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤[7]。周淦利提出在教師的教學(xué)中要重視學(xué)生錯誤的解法，引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤的根本原因[8]。芮金芳在研究中提出教師在課堂教學(xué)中要善待“錯誤”，對比思“錯”，拓展延伸[9]。李娜通過對教師課堂錄像的分析，提出教師在課堂上為學(xué)生提供表達自己想法的機會，讓學(xué)生經(jīng)歷在錯誤分析過程中的認知沖突，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平[10]。相關(guān)研究主要受建構(gòu)主義學(xué)習理論的影響，提倡教師將學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤看作課堂教學(xué)的資源[11]，借助數(shù)學(xué)錯誤來鞏固和加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解[12]。教師在課堂中將學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤作為教學(xué)資源的前提是學(xué)生對數(shù)學(xué)錯誤的分析，但在現(xiàn)有的研究中，更多的是從教師的角度探討如何在課堂上使用錯誤資源，而很少有關(guān)注學(xué)生對錯誤的分析。臺灣學(xué)者劉婷、羅增儒通過實驗研究證實了數(shù)學(xué)作文作為學(xué)生的一種反思方式，有助于學(xué)生元認知水平的提高，從而降低錯誤率，該研究側(cè)重于學(xué)生反思與學(xué)生元認知水平的關(guān)系[13]。蘭寧（Lannin，J.）等人基于對2名學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的追蹤，研究了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習中診斷錯誤時所使用的策略、學(xué)生錯誤的歸因類型以及訂正錯誤的策略[14]。該研究中使用的錯誤分析反思過程模型對研究的開展具有借鑒意義。

學(xué)生對數(shù)學(xué)錯誤的分析過程從識別錯誤開始，到對錯誤進行歸因，然后進行錯誤訂正。學(xué)生訂正錯誤的過程往往不是一蹴而就的，如經(jīng)歷“錯誤識別—錯誤歸因”后，卻無法訂正錯誤，然后重新進行錯誤的識別與歸因;也有可能在訂正的過程中發(fā)現(xiàn)最初的歸因并不全面;還有可能無法識別錯誤就退出了錯誤分析的過程。

二、選取研究對象與數(shù)據(jù)收集

1.研究對象的選取

選取北京市海淀區(qū)一所普通公立小學(xué)六年級6個班，共208名學(xué)生，這些學(xué)生已學(xué)習了“分數(shù)的應(yīng)用”相關(guān)內(nèi)容。研究者為這6個班學(xué)生提供分數(shù)應(yīng)用問題解決任務(wù)。學(xué)生在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)早讀時間完成任務(wù)，然后由班級的數(shù)學(xué)任課教師對學(xué)生的問題解決進行評判，研究者收集問題解決錯誤的文本共52份。

2.數(shù)據(jù)收集

研究采用質(zhì)性研究方法收集數(shù)據(jù)。為了獲取學(xué)生分析問題解決錯誤的過程材料，本研究采用維果茨基（Vygotsky，L.S.）的微衍生法（microgenetic）[15]，即先采集學(xué)生日常學(xué)習中分數(shù)應(yīng)用問題解決的相關(guān)材料，并進行分析，從而確定學(xué)生在分數(shù)應(yīng)用問題解決中常出現(xiàn)的問題：學(xué)生解決分數(shù)應(yīng)用的問題，特別是題文中包含2個分數(shù)，且這2個分數(shù)對應(yīng)的標準量（單位“1”）不相同時，學(xué)生問題解決比較容易出錯。在此基礎(chǔ)上設(shè)計如下問題。

李叔叔開車從甲地去乙地送貨，已行的路程是未行的■，如果再行60千米，就正好行了■，甲乙兩地相距多少千米？

研究者在收集學(xué)生的錯誤解答文本后，利用課間逐一反饋給解答者本人，運用有聲思維法收集問題解決錯誤學(xué)生反思和分析錯誤的過程材料。另外，根據(jù)研究需要對部分學(xué)生進行訪談，盡可能保證研究資料的翔實。

三、學(xué)生識別錯誤方式、類型與訂正

1.學(xué)生識別錯誤的方式

通過對問題解決錯誤學(xué)生的訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生識別錯誤的方式主要是在嘗試給自己講清楚問題解決的過程中識別出錯誤。另外，還有同學(xué)通過對問題解決的結(jié)果進行推斷的方式來識別錯誤。

如錯例1，該同學(xué)在嘗試給自己講清楚問題解決的過程中識別出錯誤。

錯例1

解：設(shè)甲乙兩地相距x千米

同學(xué)F推斷自己得出的計算結(jié)果不合理，確定自己的解答是錯誤的。

錯例2

2.學(xué)生的錯誤類型

通過對這52位同學(xué)錯誤歸因的歸納發(fā)現(xiàn)，他們認為他們錯誤的原因有：單位“1”混淆、畫圖錯誤、閱讀不仔細。

如錯例3，該同學(xué)分析自己錯誤的原因是將■與■這兩個分數(shù)的單位“1”混淆了。

錯例3

在錯例4中，該同學(xué)在錯因分析中都寫道：“因為圖畫錯了，所以計算結(jié)果就錯了。”

錯例4

在錯例5中，該同學(xué)分析自己錯誤的原因是沒認真讀題，把已行的路程是未行的■讀成了全程的■。

錯例5

在對分數(shù)應(yīng)用問題解決錯誤的分析中，多數(shù)同學(xué)都將錯誤原因歸因于單位“1”混淆、讀題不仔細，出現(xiàn)這類錯例的學(xué)生的共性是他們在解答問題的過程中把題文所表達的問題情境部分地轉(zhuǎn)譯成自己所構(gòu)想的運算情境，然后采用與構(gòu)想情境相匹配的計算策略來解決問題 [16] 。

3.學(xué)生錯誤的訂正

在學(xué)生識別出錯誤并找到錯誤的原因后，他們會嘗試訂正錯誤。對學(xué)生訂正錯誤的文本和訪談材料進行分析，發(fā)現(xiàn)他們訂正錯誤的主要策略有：（1）通過找關(guān)鍵詞的方式厘清分數(shù)對應(yīng)的單位“1”;（2）轉(zhuǎn)化（將題文中的分數(shù)轉(zhuǎn)換成份數(shù)進行計算）;（3）重新畫圖。

同學(xué)H通過再次讀題及劃重點的方式幫助自己確定題文中■這個分數(shù)的單位“1”：

同學(xué)L在運用分數(shù)的知識進行問題解決失敗后，嘗試把■所表示的關(guān)系轉(zhuǎn)化成已行與未行之間的1份與3份的關(guān)系，從而將甲乙兩地的距離轉(zhuǎn)化為4份，然后進行計算。

同學(xué)D在嘗試用一條線段圖表征題文中的數(shù)量關(guān)系失敗后，選擇用兩條線段圖表征，使問題得到解決。

四、結(jié)論與啟示

1.情境轉(zhuǎn)譯錯誤是學(xué)生分數(shù)應(yīng)用問題解決錯誤的主要原因

問題解決的過程考察學(xué)生的閱讀能力、轉(zhuǎn)譯能力、分析能力、計算能力，還涉及學(xué)生對概念的理解程度。因此，學(xué)生問題解決錯誤，可能是語言錯誤、轉(zhuǎn)譯錯誤、策略錯誤、計算錯誤、概念錯誤。臺灣學(xué)者張景媛研究學(xué)生數(shù)學(xué)文字題錯誤時總結(jié)的錯誤類型主要是語言錯誤、策略錯誤、計算錯誤、概念錯誤[17]，但本研究發(fā)現(xiàn)在分數(shù)應(yīng)用的問題解決中，多數(shù)同學(xué)出現(xiàn)的錯誤是情境轉(zhuǎn)譯錯誤，他們傾向于將題文中的情境轉(zhuǎn)譯成他們構(gòu)想的情境，而他們構(gòu)想的情境往往便于他們進一步解決問題，但卻與題文信息不符，如題文中給出的信息是“已行的路程是未行的■”，但很多問題解決錯誤的學(xué)生都將其轉(zhuǎn)譯成“已行的路程是全部路程的■”，從而根據(jù)題文中給出的另一個信息“如果再行60千米，就正好行了■”，確定60千米對應(yīng)的總路程的份數(shù)，然后根據(jù)量率對應(yīng)關(guān)系求出甲乙兩地的距離。通過進一步的訪談及與所選樣本班級數(shù)學(xué)教師的交流得知，學(xué)生在之前的學(xué)習及練習中已經(jīng)掌握了根據(jù)兩個單位“1”相同的分數(shù)以及它們的差量求總體的問題解決模型。然而研究者為學(xué)生提供的問題解決任務(wù)中的兩個分數(shù)的單位“1”并不相同，但學(xué)生在閱讀題文的過程中依然將問題情境轉(zhuǎn)譯成其熟悉的問題模型，實際上是一種思維定勢。

以往研究特別強調(diào)錯誤分析對學(xué)生加深數(shù)學(xué)概念理解的價值，如博拉西（Borasi，R.）建議教師要利用學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤加深學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解[18]，然而本研究發(fā)現(xiàn)，通過學(xué)生對數(shù)學(xué)錯誤的分析，引導(dǎo)學(xué)生注意問題解決中的思維定勢現(xiàn)象對學(xué)生克服情境轉(zhuǎn)譯錯誤具有重要意義。

2.學(xué)生對問題解決錯誤的分析存在表面化、機械性的現(xiàn)象

學(xué)生對數(shù)學(xué)錯誤進行分析反思的過程，是嘗試暴露其思維路徑、解決認認知沖突的過程[19]。經(jīng)歷這樣的過程，可以增加學(xué)生有效的知識、提升解決問題的能力、形成對數(shù)學(xué)學(xué)習的積極情感和價值觀[20]。但學(xué)生對數(shù)學(xué)錯誤的分析反思過程并不是居于同一水平，盡管多數(shù)同學(xué)都可以在這個過程中發(fā)現(xiàn)自己問題解決錯誤的關(guān)鍵原因，但并不是所有的同學(xué)都可以根據(jù)自己發(fā)現(xiàn)錯誤的原因?qū)﹀e誤進行訂正，甚至有一小部分的同學(xué)的反思是表面的、機械的，因為他們根本就不明白題文所表達的含義，這就是小學(xué)生錯誤分析反思過程的差異性。因此從整體上看，深刻、全面的歸因?qū)W(xué)生來說是有挑戰(zhàn)的，比如雖然很多同學(xué)將自己的錯誤歸因于分數(shù)單位“1”的混淆，但即使他們通過老師課堂上教的尋找關(guān)鍵詞的方法確定單位“1”，依然不能獨立解決問題。這就說明這類學(xué)生問題解決錯誤的原因并不是分數(shù)的單位“1”混淆，而是對“分數(shù)”這一概念還不理解，導(dǎo)致他們無法根據(jù)題文中分數(shù)所表征的意義解決問題。因此，在學(xué)生日常的訂錯過程中，教師在給予學(xué)生獨立思考和分析數(shù)學(xué)錯誤的基礎(chǔ)上，要結(jié)合學(xué)生對錯誤的認知情況，將教師的講解、學(xué)生間的互助與學(xué)生的獨立思考相結(jié)合，從而使對錯誤認知處于不同水平的學(xué)生都可以通過錯誤訂正獲得數(shù)學(xué)學(xué)習的機會，將“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念扎實地落實。

參考文獻

[1] Borasi，R.Exploring mathematics through the analysis of errors[J].For the Learning of Mathematics，1987，7（03）：2-8.

[2] Schwarzenberger.錯誤的重要性——英國數(shù)學(xué)學(xué)會會長致詞[J].數(shù)學(xué)圈，1984（21）：73-80.

[3] 郜舒竹，薛漣霞.學(xué)生錯誤研究之文獻綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（02）：78-75

[4] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[5] 鐘德.學(xué)生解題常見錯誤的心理分析[J].數(shù)學(xué)通報，1990（08）：16-18.

[6] Thomas T M.Encouraging versatile thinking in algebra using the computer[J]. Educational Studies in Mathematics，1991，22（2）：125-147.

[7] 賈金平.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生錯解的病因分析與對策[J].教學(xué)與管理，2006（07）：55-58.

[8] 周淦利.解題教學(xué)中如何實施“出誤探究法”[J].數(shù)學(xué)通報，2007，46（02）：52-53.

[9] 芮金芳.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中錯誤資源的有效利用[J].教學(xué)與管理，2007（14）：48-49.

[10] 李娜，莫雅慈，吳立寶.初中數(shù)學(xué)課堂中教師對學(xué)生錯誤反饋的類型研究——基于24節(jié)錄像課的分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（05）：55-60.

[11] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[12] Radatz，H.Error analysis in mathematics education.Journal for Research in Mathematics Education，？1979，10（03），163-172.

[13] 劉婷，羅增儒.“數(shù)學(xué)作文與元認知開發(fā)”的糾錯實驗[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（04）：50-73.

[14]] Lannin，J.，Townsend，B.，& Barker，D.The Reflective Cycle of Student Error Analysis[J].For the Learning of Mathematics，2006，26（03）：33-38.

[15] Vygotsky，L.S.The instrumental method in psychology. In： Wertsch，J.V.（Ed）.The concept of activity in Soviet psychology[M]. Armonk：Sharpe，1981：134-143.

[16]? 李秀榮.兒童加減法認知結(jié)構(gòu)的整合性及發(fā)展的研究[J].心理發(fā)展與教育，1992，8（01）：9-16.

[17] 張景媛.數(shù)學(xué)文字題錯誤概念分析及學(xué)術(shù)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的研究[J].教育心理學(xué)報，1994（27）：175-200.

[18] Borasi，R.Exploring mathematics through the analysis of errors [J].For the Learning of Mathematics，1987，7（03）：2-8.

[19] Bell A.Principles for the design of teaching[J].Educational Studies in Mathematics，1993，24（01）：5-34.

[20] 吳志健.數(shù)學(xué)“糾錯”的有效性探析[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2012（11）：52-55.

[作者：鄒學(xué)紅（1984-），女，山東臨沂人，北京師范大學(xué)教師教育研究中心，博士生;周鈞（1965-），女，云南潞西人，北京師范大學(xué)教師教育研究中心，教授，博士。]

【責任編輯? 陳國慶】