“基本圖形”在立體幾何問題中的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

黃少龍

教學(xué)內(nèi)容：應(yīng)用“基本圖形”求解立體幾何中的一些常見問題，尤其是多面體的外接球問題。

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握課堂探究的 “基本圖形”結(jié)果，并應(yīng)用學(xué)習(xí)的“基本圖形”解決課堂問題;

2.通過課堂學(xué)習(xí)，使學(xué)生意識(shí)到“基本圖形”對(duì)解決立體幾何問題的幫助，并能積極主動(dòng)的探索“基本圖形”。

教學(xué)重點(diǎn)：

1.“基本圖形”——特殊的三棱錐;

2.應(yīng)用“基本圖形”求解。

教學(xué)難點(diǎn)：

1.學(xué)生的“基本圖形”知識(shí)儲(chǔ)備較少;

2.學(xué)生應(yīng)用“基本圖形”解題的主動(dòng)意識(shí)不足。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：同學(xué)們，在今年的6月17日上午9時(shí)22分，我們的神舟12號(hào)載人飛船成功發(fā)射，并且它與我們的中國(guó)空間站核心艙天和號(hào)也成功完成對(duì)接。未來的3個(gè)月里3位宇航員將進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)工作，為2022年中國(guó)空間站的建成做好準(zhǔn)備。這一偉大事件標(biāo)志著中國(guó)的航天技術(shù)已經(jīng)完成了歷史的飛躍！

師：（PPT展示中國(guó)空間站的結(jié)構(gòu)圖）請(qǐng)問同學(xué)們，看到中國(guó)空間站的結(jié)構(gòu)圖，你有所聯(lián)想嗎？

生：積木、樂高、變形金剛、十字架、魯班鎖……

師：（PPT展示孔明鎖與榫卯結(jié)構(gòu)圖）嗯！在我們?yōu)橹院赖耐瑫r(shí)也勾起了我們很多的童年回憶。我和同學(xué)們有同感，讓我想起了自己小時(shí)候玩過的魯班鎖，也叫孔明鎖。誰能說說它們有什么相似之處呢？

生A：都可以改變?cè)瓉淼臉幼印?/p>

生B：準(zhǔn)確地說是都可以組合成新的樣子。

師：嗯，兩位同學(xué)說得很好！第二位同學(xué)表達(dá)的更加準(zhǔn)確。雖然兩者不可同日而語(yǔ)，但它們都可以通過相互嵌入（榫卯）的方式構(gòu)成新的樣子和形狀，有著異曲同工之妙。我們可以看到，空間站由五個(gè)不同的部分組合而成，每個(gè)部分都有自己相對(duì)獨(dú)立的功能，組合在一起有更強(qiáng)大的作用。2024年后的10到20年，中國(guó)空間站將是太空中唯一的空間站，它將在空間技術(shù)探索以及空間技術(shù)合作方面發(fā)揮巨大的作用。想到這里，大家考慮一下，在立體幾何問題中我們常用的“割補(bǔ)法”——將一個(gè)圖形分割或彌補(bǔ)成形狀相對(duì)簡(jiǎn)單、性質(zhì)相對(duì)更好的“基本圖形”，在解決一些復(fù)雜問題時(shí)是否更加有效？

生：是的。

師：那么，今天老師帶著這個(gè)想法和同學(xué)們?cè)偬骄烤?。開始之前，我們?cè)俅蚊鞔_本節(jié)課所提出的“基本圖形”的概念——圖形相對(duì)簡(jiǎn)單且?guī)缀涡再|(zhì)較好，可以用來構(gòu)成（切割或彌補(bǔ)）復(fù)雜幾何體的圖形。

（板書課題：“基本圖形”在立體幾何問題中的應(yīng)用。）

二、解題探究，技能學(xué)習(xí)

“基本圖形”應(yīng)用的有效性由兩個(gè)因素決定：一是學(xué)生的知識(shí)體系中的“基本圖形”的儲(chǔ)備量;二是主動(dòng)應(yīng)用“基本圖形”的思維意識(shí)。為解決好這兩個(gè)難點(diǎn)，教師在課堂上的一個(gè)重要工作就是做好解題前的引導(dǎo)與鋪墊工作，因此課堂教學(xué)以問題串的方式展開與深入。

1.思考題1的探究學(xué)習(xí)

思考題1：已知在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60？紫，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.

師：平面圖形的折疊問題在立體幾何問題中常見，此類問題的解決核心在于將折疊前后的“變與不變”分析清楚，即前后的數(shù)量（線段長(zhǎng)度、角度等）和位置關(guān)系（平行、垂直、分點(diǎn)位置）是否發(fā)生改變要分析到位，為后續(xù)的進(jìn)一步求解做好切實(shí)的準(zhǔn)備。請(qǐng)問，本題中的等腰梯形折疊后得到了怎樣的圖形？

（學(xué)生進(jìn)行思考、討論，約1分鐘。）

生：是三棱錐（四面體）。

師：很好！那所得三棱錐的條件如何？折疊前后的“變與不變”有哪些？

生C：是一個(gè)正三棱錐。

生D：是一個(gè)正四面體，且棱長(zhǎng)為1。

師：兩個(gè)同學(xué)回答很好，都是對(duì)的！不過，第二位同學(xué)的判斷更加到位，折疊后的圖形確實(shí)是一個(gè)正三棱錐，不僅如此，它的條件更好，是正四面體，根據(jù)原有的數(shù)據(jù)判斷，它的棱長(zhǎng)為1。謝謝兩位同學(xué)。

師：接下來，我們要求解它的外接球體積了。這種多面體與球體的接（切）問題是近年考題中的常見問題，難度中上，一般都考查歐氏幾何的傳統(tǒng)方法的應(yīng)用。此類問題的關(guān)鍵是找到“球心”。這也是這道題的難點(diǎn)所在，請(qǐng)同學(xué)進(jìn)一步思考，努力突破它。

（學(xué)生獨(dú)立思考后同周圍學(xué)生展開合作討論，約3分鐘。）

師：哪位同學(xué)有解決辦法？

生E：我的方法如下：作AF⊥平面DEC，垂足為F，

F即為△DEC的中心.取EC的中點(diǎn)G，連接DG、AG，過球心O作OH⊥平面AEC.則垂足H為△AEC的中心.∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.在△AFG和△AHO中，根據(jù)三角形相似可知

師：這位同學(xué)的方法很好，他找球心的方法是利用正四面體的對(duì)稱性，確定外接球心即體對(duì)稱中心，然后應(yīng)用初中所學(xué)的相似三角形通過解三角形既完成了球心位置的確定，又計(jì)算出了外接球的半徑大小，進(jìn)而求出了外接球的體積，計(jì)算結(jié)果正確無誤。有哪位同學(xué)的方法比這位同學(xué)的更快呢？

生F：我有。我利用了“割補(bǔ)法”，將這個(gè)正四面體補(bǔ)形為一個(gè)正方體，然后求解的。這樣計(jì)算量更小，速度更快！如圖所示，把正四面體放在正方體中.可得，正四面體的外接球就是正方體的外接球。

師：大家鼓掌！大家看到了嗎？這位同學(xué)恰恰應(yīng)用了一個(gè)性質(zhì)更好的“基本圖形”——正方體，通過“割補(bǔ)”的方法將問題更有效的解決了！當(dāng)然，能想到這個(gè)方法需要你對(duì)正方體有足夠的掌握，所以說，想應(yīng)用好“基本圖形”有效解決立體幾何問題，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中就要多去留意這些功能很強(qiáng)的“基本圖形”。老師對(duì)這些“基本圖形”有一個(gè)整理，大概有16個(gè)，將來會(huì)教大家一個(gè)一個(gè)都找到并掌握它們，好嗎？

生：好。

師：將來大家手里有了這些“法寶”，做立體幾何題就會(huì)占得先機(jī)，事半功倍了！下面，請(qǐng)跟隨老師探索一個(gè)非常有用的“基本圖形”。

2.思考題2的探究學(xué)習(xí)

思考題2：（人教A版必修2第67頁(yè)練習(xí)題）過所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC.若PA=PB=PC，∠C=90？紫，則點(diǎn)O是AB邊的點(diǎn)？

師：之前有同學(xué)課下問到了這道題如何解答，和這位同學(xué)討論的過程中，我們發(fā)現(xiàn)這里隱藏著一個(gè)很有應(yīng)用價(jià)值的“基本圖形”，為了方便探究，老師將條件適當(dāng)做了改變，下面我們一起來看看變式探究，得到結(jié)果后再回頭研究這道練習(xí)題。

變式探究：已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA=PB=PC與底面所成角相等，試判斷點(diǎn)P在底面ABC的射影的位置？

師：本題所問的射影位置應(yīng)該是底面三角形的特殊位置，請(qǐng)同學(xué)們展開討論，看看它到底有多特殊？

（學(xué)生展開討論，約2分鐘。）

生G：老師，我們剛才討論出的結(jié)果是，這個(gè)射影是底面三角形的外心（外接圓的圓心）。

師：好的，其他同學(xué)們認(rèn)為這個(gè)結(jié)果對(duì)嗎？……看來，有同學(xué)可能對(duì)三角形的幾顆重要的“心”概念模糊了，沒關(guān)系，我們稍做一個(gè)回顧，明確概念……（教師引導(dǎo)學(xué)生將三角形的外心、內(nèi)心、垂心做了簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)，約2分鐘。）

師：同學(xué)們?cè)谝黄鹂纯催@幾位同學(xué)的結(jié)果對(duì)嗎？

生：對(duì)！

師：請(qǐng)這位同學(xué)把他的推證過程給我們說說吧。

生G：我主要是利用全等三角形做出了推證。連接OA，OB，OC，那么可以應(yīng)用初中平面幾何知識(shí)里的“HL公理”證明三個(gè)三角形全等，從而OA=OB=OC，所以它就是三角形的外接圓圓心。

師：很好！這個(gè)過程顯示出這位同學(xué)對(duì)“HL公理”有足夠的掌握，那么應(yīng)用這個(gè)“基本圖形”也就信手拈來。

師：看來，只要三棱錐（四面體）的側(cè)棱長(zhǎng)相等，頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面三角形的外心。反之成立嗎？同學(xué)們?cè)偎伎家幌滤哪婷}如何？

（學(xué)生繼續(xù)展開討論，約1分鐘。）

生：逆命題成立……還是用全等三角形證明……

師：（PPT展示探究成果）同學(xué)們很棒，一點(diǎn)就通！的確，逆命題也成立！那么，根據(jù)四種命題的關(guān)系，將來我們使用這個(gè)結(jié)論就很自如了！好了，現(xiàn)在我就可以將這個(gè)結(jié)論作為一個(gè)“基本圖形”收入囊中！

師：現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，請(qǐng)問同學(xué)們，思考題2的結(jié)果是什么？

生：中點(diǎn)。

師：對(duì)！因?yàn)轭}中的三棱錐滿足了我們這個(gè)“基本圖形”的條件，所以結(jié)論是外心，而底面三角形又是直角三角形，外心只能是斜邊（AB）的中點(diǎn)！接下來我們一起再用今天所學(xué)的“基本圖形”向一道題做出挑戰(zhàn)！

3.思考題3的探究

師：這道題的解答關(guān)鍵還是要確定好外界球球心的位置所在。請(qǐng)同學(xué)們悉心作答，獨(dú)立思考，看看有幾種方法求解？

（學(xué)生獨(dú)立思考，作答約3分鐘。）

師：請(qǐng)?jiān)诘谝粫r(shí)間找到解法的同學(xué)舉手示意。

（教師在課堂巡視，和已有解法或思路的學(xué)生簡(jiǎn)單交流，約3分鐘。）

師：好的，下面我們請(qǐng)幾位同學(xué)將自己的方法和大家做分享。

生H：我是建立了空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量解析法去求解的。因?yàn)檎郫B后達(dá)到體積最大值時(shí)，平面P 'AD一定是和底面垂直的，此時(shí)過P '點(diǎn)做底面的垂線垂足即為邊AD的中點(diǎn)，記作H點(diǎn)，這樣就可以H點(diǎn)為原點(diǎn)，HP '、HD、HE（過H在底面作HE⊥AD）為坐標(biāo)軸建系了，接下來應(yīng)用坐標(biāo)法去求解，但是計(jì)算量較大，幾分鐘時(shí)間里還未算出結(jié)果……

（其他學(xué)生主動(dòng)舉手，躍躍欲試，老師示意下一位學(xué)生發(fā)言。）

生I：我將折疊后的四棱錐補(bǔ)形為以△P 'AD為底面的直三棱柱后進(jìn)行求解的……

生J：我應(yīng)用了今天所學(xué)的“基本圖形”立即確定了外接球球心就在底面矩形的對(duì)稱中心（底面矩形對(duì)角線交點(diǎn)）……

生K：我也是補(bǔ)形做的。我是在I同學(xué)的補(bǔ)形基礎(chǔ)上再對(duì)稱補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，這樣就和J同學(xué)一樣可以迅速確定外接球球心就在矩形ABCD的對(duì)稱中心，實(shí)際就是這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)稱中心，然后就能容易求解出答案，選擇C.

師：同學(xué)們太棒了！各種解法思路百花齊放，效率高低大家也一目了然，尤其是后面發(fā)言的兩位同學(xué)的解法很精彩，通過“基本圖形”的應(yīng)用，立即化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到迅速求解的目的。通過剛才大家的一番交流，再次驗(yàn)證了“基本圖形”的作用不容小覷。謝謝這幾位同學(xué)，掌聲鼓勵(lì)！

三、課堂小結(jié)

師：今天，老師和同學(xué)們一起探究了一個(gè)命題，今后大家可以將它以“基本圖形”的方式補(bǔ)充在我們的立體幾何知識(shí)里，在一些多面體的外接球問題中，經(jīng)?？梢钥吹剿纳碛?，有了它的作用，我們必定能提高解答這類題的效率。

另外，老師想通過這堂課傳遞一個(gè)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的重要信息：在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多去積累一些作用類似“基本圖形”的二級(jí)結(jié)論，對(duì)于一些中高難度的題目，往往就可以通過這些結(jié)果尋求到最有效的解答途徑，這是數(shù)學(xué)高手常用的一種處理難題的思維方式，同學(xué)們不妨試一試。

最后，為了鞏固今天所學(xué)，老師給大家留一道課后思考題：試用今天探究的方法，在橫線上填入適當(dāng)?shù)臈l件，完成下面命題的研究。

命題：已知三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心（內(nèi)心）。其逆命題成立嗎？

反思：

本節(jié)課是基于人教A版必修2的一道練習(xí)題的探究。在探究過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了在側(cè)棱長(zhǎng)相等的條件下，頂點(diǎn)在底面的射影是底面多邊形的外心（外接圓圓心）這一結(jié)論。探討過程中，我們不僅解決了練習(xí)題的求解，而且衍生出了一組相關(guān)結(jié)論，可以改變條件后，得到三棱錐頂點(diǎn)在底面射影是底面三角形的垂心、內(nèi)心，這在解答立體幾何題，尤其是研究多面體與球體的切接問題上，有很大的幫助。

教師和學(xué)生探討問題的過程也是互相激發(fā)智慧的過程，筆者在課后進(jìn)行了進(jìn)一步的深入思考，意識(shí)到學(xué)生的這一點(diǎn)思維的火花可以引燃出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的一種思維方式——積累出有效的類似“基本圖形”的二級(jí)結(jié)論，高效解題。學(xué)生在進(jìn)入課堂聽課，走進(jìn)考場(chǎng)答題，乃至學(xué)習(xí)任何新知識(shí)時(shí)都不是頭腦空白的在完成任務(wù)，一定是基于頭腦中以前所形成的相關(guān)認(rèn)識(shí)和知識(shí)做出反應(yīng)，形成正確或不正確的認(rèn)識(shí)，整個(gè)學(xué)習(xí)過程就是新舊知識(shí)不斷地交互、積累形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)甚至體系。學(xué)生的知識(shí)掌握程度高低，往往就要通過學(xué)生解題的效率體現(xiàn)，而解題的成敗就要基于知識(shí)體系的完備狀況和解題能力的儲(chǔ)備狀況，這兩點(diǎn)就要靠平時(shí)的訓(xùn)練來達(dá)成。但是，多年的一線工作經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中往往是被動(dòng)接受知識(shí)，主動(dòng)探究形成知識(shí)的情況很少，而大部分類似“基本圖形”的二級(jí)結(jié)論都是隱藏在題目中，教輔資料里，甚至是一些閱讀材料里，不是作為教材主題內(nèi)容呈現(xiàn)出來的。因而，靠課堂和老師教給學(xué)生顯然是不夠的，尤其是學(xué)優(yōu)生更需要這方面的補(bǔ)充，以體現(xiàn)這些學(xué)生的優(yōu)勢(shì)。教師應(yīng)該有責(zé)任教給學(xué)生尤其是學(xué)優(yōu)生如何用科學(xué)的態(tài)度和方法去發(fā)現(xiàn)、整理、應(yīng)用這些二級(jí)結(jié)論。

■ 編輯/魏繼軍