從2021年高考一道圓錐曲線綜合問題談理性精神的培養(yǎng)

張國坤

2021年高考，云南省參與使用甲卷考試，學生普遍認為數(shù)學試題偏難，發(fā)揮不好;而許多數(shù)學教師認為，今年數(shù)學試題難度不是很高，但要考高分確實不容易.2021年高考數(shù)學甲卷中，理科第20題與文科第21題是相同的拋物線與圓的綜合問題，在試卷中發(fā)揮了“難”的作用.要順利解答這道題，學生需要有較強的理性精神.高考試題“引導教學”，培養(yǎng)學生的理性精神是高中數(shù)學教育的重要目標之一，數(shù)學教育要把培養(yǎng)學生理性精神滲透在教學工作的各個環(huán)節(jié)中.

二、試題的難點分析

基礎不牢，地動山搖.如果學生欠缺解析幾何的基本知識，要解答這樣的綜合性問題顯然是不可能的.然而，即使學生機械僵化地記住了一些相關知識，不牢固、不靈活，對于解題也是無濟于事的.高考之后，作者面對面地了解了20余位理科和文科不同層次的學生.他們反映本道試題第（2）小題沒做好，在考場上有思路但難以推進，高考后重做這道題，由于代數(shù)推算復雜，仍然很難順利推出結果.以上兩種解法，都是學生容易想到的，但在細節(jié)的處理上，如果理性思維不足，就很難順利推進.

在解法一中，非常容易推導出d1==1①，d2==1②，下一步，通常都是進行平方處理，之后無論是推理還是計算都會受到阻礙。如果學生具備較強的理性思維能力，要么一開始就對①②式審慎處理，要么是平方受阻后及時調整思維方向.我們要特別注意兩個式子的區(qū)別與聯(lián)系，觀察兩個式子一致的典型的結構特征：①式中含y1，y2，②式中含y1，y3，從①式到②式，y1及其位置不變，y2換成了y3，從方程思想（或函數(shù)思想）來看，y2，y3就是同一個變量（字母）的兩個取值.因此由①②可知，y2，y3就是關于y的方程=1的兩個實數(shù)根.這是難以想到的化繁為簡的關鍵環(huán)節(jié)，是數(shù)學理性思維的一種典型表現(xiàn).之后，學生就可以自然地平方整理并用韋達定理劃歸處理，水到渠成.

對于解法二，我們自然而然想到的一個思路是，首先設出點A1的坐標，求出☉M的切線A1A2，A1A3的方程，分別與拋物線C的方程y2=x聯(lián)立求出點A2，A3的坐標，再求出直線A2A3的方程，最后求出圓心M到直線A2A3的距離，由此判斷☉M與直線A2A3的位置關系.然而，由于較強的代數(shù)推理能力要求，許多學生想得到卻難做到，沒寫幾步就望而卻步了.

點A1在拋物線上，設A1（t2，t）（或者將t換作其他字母如y1表示），推寫出經(jīng)過A1且與☉M相切的直線方程時忽視對斜率不存在的情形的剖析，這就缺乏嚴謹性.作為一般情形，容易推出切線A1A2（或A1A3）的方程為kx-y+（t-kt2）=0，進而圓心與切線的距離為d==1，平方棄絕對值整理得（t4-4t2+3）k2-2t（t2-2）k+（t2-1）=0③.再往下走，學生明顯感到煩瑣，缺乏信心推演下去，即使在考場之外有足夠的時間，也不見得能夠順利進行下去.事實上，下面的處理確實有難度，如果把方程③的兩根k1、k2用求根公式表達出來，那是相當煩瑣的，之后對數(shù)學式子的書寫都是非常煩瑣的.此時，理性精神強的同學就容易想到宏觀整體處理，對③的兩根k1、k2設而不求，用韋達定理劃歸轉化.然而，即使學生想到設而不求與韋達定理，因為對代數(shù)推理技能的要求較高，要么推演難以進行，要么疏忽出錯.總之，要規(guī)范地寫出正確完備的解答，需要學生有扎實的基礎知識，特別需要有較強的邏輯推理能力、代數(shù)推理能力、計算能力和規(guī)劃設計能力，也就是需要具有較強的理性精神.

三、數(shù)學教育要培養(yǎng)學生的理性精神

教育部于2020年1月發(fā)布《中國高考評價體系》，體系由“一核”“四層”“四翼”組成.“一核”是指高考的核心功能：立德樹人，服務選材，引導教學;“四層”是指高考的考查內(nèi)容：核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識;“四翼”是指高考的考查要求：基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性.今年的高考數(shù)學試題，較好地體現(xiàn)了“一核”“四層”與“四翼”的基本要求，但要真正發(fā)揮“立德樹人”“引導教學”的功能價值，就需要對試題作深入的研究，思考怎樣由試題去“引導教學”.數(shù)學高考試題的命制，需要深入研究在高考評價體系視角下，數(shù)學試題怎樣對數(shù)學核心素養(yǎng)（數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析）進行考查，試題怎樣對數(shù)學課程目標之“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經(jīng)驗）和“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題）進行考查，再基于高考試題反觀數(shù)學課程標準，進一步熟悉和把握數(shù)學課程標準，進一步理解六大核心素養(yǎng)、“四基”和“四能”的內(nèi)涵實質.基于教育哲學的視角，數(shù)學教育的實質包括“知識”與“思維”兩大要素，數(shù)學教育就是要讓學生掌握數(shù)學知識、培養(yǎng)數(shù)學思維能力，提升數(shù)學素養(yǎng).數(shù)學教育的根本任務之一就是要培養(yǎng)學生的理性精神.

高考“引導教學”，“窺一斑而知全豹”，從上述分析的那道高考試題可以看出，這樣的試題考查的就是學生的理性精神.理性精神較強的學生，具有較強的基礎知識功底，具有較強的邏輯思維能力，善于聯(lián)系，善于質疑，善于窺探實質、把握規(guī)律、深入探究，特別是善于調整思路、規(guī)劃探究方案等，也就能比較準確地理解分析問題、探究問題，面對難題就能征善戰(zhàn)、攻堅克難.理性精神比較弱的學生，可能基礎不扎實，思維欠靈活，難以看透問題本質，對問題的探究效率不高，思維容易碰壁、推理常常受阻，于是畏縮不前，面對上述綜合性較高的試題時，往往是基礎不夠用、思維不靈活、推演難以順利進行.所以，試題考查的是數(shù)學的基本素養(yǎng)，考查的是學生的知識功底和理性精神，中學數(shù)學教育要在培養(yǎng)學生理性精神方面下足功夫.

理解和把握理性精神的實質和內(nèi)涵，是有效培養(yǎng)學生理性精神的前提.

什么是理性精神？理性可以認為是人的理智方面的能力和品格，理性精神是堅守并習慣遵循科學規(guī)律來學習、工作、研究、生活的一種優(yōu)秀品質.《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出，理性精神是指人們在學習、理解、運用科學知識和技能等方面形成的價值標準、思維方式和行為表現(xiàn).科學精神包括理性思維、批判質疑、勇于探究三個維度.理性精神是人非常珍貴的核心素養(yǎng)之一.

知識的積累與理性精神的增強是相輔相成的.知識與思維是軀體與靈魂的關系.知識是思維的載體，沒有知識就沒有思維的對象、路徑、方法、形式和成果;思維是知識的靈魂，沒有思維的參與，知識就不能被理解、不能被儲存和積累、不能被利用，知識就是僵死的、無意義的.所以，沒有思維參與的知識也就不成其為知識.沒有章法的胡思亂想，缺乏秩序規(guī)則的思考，以及反科學的編造和推理，可以屬于思維范疇，但他們不是科學理性的思維，往往是低效或無效的思維.探求客觀規(guī)律，學習科學知識與認識科學規(guī)律，遵循客觀規(guī)律來學習與研究，求實求是，探究創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)真理并利用真理服務于人類，這就是理性精神.數(shù)學是一個理性的大系統(tǒng)，是一座由概念、判斷與推理構筑起來的理性大廈，這個大廈包括傾向于知識的知識結構和傾向于思維的認知結構，良好的數(shù)學知識結構和數(shù)學認知結構，是數(shù)學高品質核心素養(yǎng)的基本要素.學習數(shù)學，死記硬背是低效、無效的.有效的數(shù)學學習要注重感性材料的積累，要注重感悟理解、注重邏輯思考，在理解基礎上的識記才是有效、有用的，這是理性精神的一種樸素體現(xiàn).針對數(shù)學的認知規(guī)律，要基于情境（現(xiàn)實情境和問題情境），基于感性材料，通過歸納、類比和演繹，進行抽象與概括、分析與綜合，形成概念，在概念的基礎上進行判斷和推理，尋找事物內(nèi)部本質規(guī)律，探究事物之間的本質聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，獲得新的結論，實現(xiàn)創(chuàng)新和拓展，這種認知的方法、習慣和品質，就是數(shù)學教育所要追求、所要培養(yǎng)的理性精神.這種理性精神的實質就是遵循規(guī)律、追求真理.獨立思考、思維有據(jù)、科學抽象、批判質疑、反思總結、探究思索、審慎判別、克服主觀臆斷、大膽猜想并小心求證、推陳出新、實踐創(chuàng)新、超越發(fā)展等都是理性精神的要求和表現(xiàn).通過數(shù)學教育，我們要使學生能“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界”，這是數(shù)學理性精神的應用和獨特表現(xiàn).

培養(yǎng)理性精神的數(shù)學教育，是用科學的教育理念和方法引導學生積累數(shù)學知識、增強理性思維的教育.剛修訂的數(shù)學新課標、剛出版的數(shù)學新教材，是培養(yǎng)學生理性精神的最重要的素材.基于新課標、新教材的教學，必須符合新時代中學生的年齡特征.教師要善于挖掘和利用實踐情境和問題情境，注重問題導向，從情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題;注重數(shù)學問題、數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程性教學，增強學生的問題意識，豐富學生的數(shù)學過程性體驗;要激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，幫助學生增強學好數(shù)學的勇氣和毅力.有效的數(shù)學學習活動是理性思維的活動，有效的數(shù)學教學是思維活動的教學.數(shù)學教學要“在游泳中學習游泳”，發(fā)揮教師的主導作用，真正形成學生的主體作用，以數(shù)學情境、數(shù)學問題、數(shù)學知識為載體，通過數(shù)學的理性思維活動來幫助學生形成理性精神，指導督促學生學會自主閱讀教材、鉆研教輔資料，課堂上積極參與思維互動，既善于獨立思考、自主探究，又善于合作研究，課后自主學習、自主復習鞏固.

從特殊到一般的歸納思維，從一般到特殊的演繹思維，從甲類到乙類的類比思維，構成數(shù)學推理和證明的重要形式，數(shù)學學習充滿著推理、證明（計算本質上也是一種推理和證明）.數(shù)學教學還應是充滿猜想和求證的思維活動的教學.學生每天的數(shù)學學習活動，都是歸納、演繹、類比、猜想、論證和計算的思維活動，數(shù)學教育要在歸納、演繹、類比、猜想的教學上狠下功夫.數(shù)學教學要注重實踐，追求真理，居于情境和問題，引導學生自主地探究發(fā)現(xiàn)、質疑思辨，洞悉事物的數(shù)學本質，堅持有理、有據(jù)、有序的推理和計算訓練.教師要搜尋、創(chuàng)設開放性、探索性的問題讓學生去進行開放性、發(fā)散性、創(chuàng)新性的思維訓練，以邏輯推理和科學計算為主渠道，指導學生進行分析與綜合、歸納與概括的思維訓練，培養(yǎng)學生的辯證思維能力.

總之，數(shù)學教育要培養(yǎng)學生的理性精神，要把理性精神的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學教學的始終.

◇責任編輯 邱 艷◇