二次開發(fā)教材習(xí)題 助力學(xué)生建構(gòu)新知

楊周榮麟

教材習(xí)題具有很強(qiáng)的示范性和代表性.在教學(xué)過程中，教師需要全面把握教材習(xí)題，精準(zhǔn)分析，根據(jù)學(xué)情進(jìn)行適當(dāng)?shù)亩伍_發(fā)，助力學(xué)生建構(gòu)新知.本文以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）中“26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)”第1課時(shí)的教學(xué)為例進(jìn)行闡述，通過對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行二次開發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)并解決問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、課前思考

本節(jié)課教材安排了兩個(gè)例題，例1的背景比較簡(jiǎn)單，抽象為數(shù)學(xué)問題就是圓柱的體積、底面積與高三個(gè)量之間的等量關(guān)系.例1中體積是個(gè)常數(shù)，底面積是高的反比例函數(shù)，確定解析式后，用待定系數(shù)法解決問題即可.例2與例1不同，沒有直接給出反比例函數(shù)中的常數(shù)，首先需要通過等量關(guān)系確定;例2第（2）問涉及不等關(guān)系，解決這個(gè)問題是本節(jié)課的重難點(diǎn).本節(jié)課的核心是學(xué)生會(huì)通過反比例函數(shù)模型的構(gòu)建解決實(shí)際問題.

思考1：本節(jié)課的本質(zhì)是什么？它在本單元學(xué)生的學(xué)習(xí)中起何種作用？

本節(jié)課是一節(jié)函數(shù)建模課，具體是利用反比例函數(shù)模型解決實(shí)際問題.它既是一節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思維的實(shí)際應(yīng)用探究課，也是一節(jié)單元知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)課.類比之前一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，本單元，筆者也是在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的概念、解析式的三種表達(dá)形式、圖象與性質(zhì)后，開啟了函數(shù)的應(yīng)用之旅.

思考2：數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)如何落實(shí)？

既然是應(yīng)用，首先便需落腳于實(shí)際生活的具體情境中，我們需考慮兩方面因素：一是學(xué)生自身所處生活環(huán)境及具備的生活認(rèn)知;二是現(xiàn)實(shí)生活中的問題往往不會(huì)單一出現(xiàn)，它必定是多維度以問題串的方式呈現(xiàn)的.其次，從實(shí)際要解決的問題中抽象出數(shù)學(xué)問題.第三，分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律.第四，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建模型.第五，借助數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法等解析模型，解決實(shí)際問題.本節(jié)課，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)際背景問題，借助問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生落實(shí)以上五個(gè)步驟.

思考3：選擇什么樣的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生學(xué)？

實(shí)踐表明，學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，在本質(zhì)上不是靠教師“教”出來的，而是靠學(xué)生“悟”出來的.本節(jié)反比例函數(shù)建模課，需要學(xué)生前面學(xué)過的基礎(chǔ)知識(shí)作為解決問題的鋪墊，對(duì)教材中的例1進(jìn)行二次開發(fā)，實(shí)現(xiàn)對(duì)反比例函數(shù)概念、三種表達(dá)形式、圖象與性質(zhì)的復(fù)習(xí).接下來，結(jié)合教材例2、本節(jié)練習(xí)第2題、習(xí)題26.2復(fù)習(xí)鞏固的第9題，創(chuàng)設(shè)一個(gè)實(shí)際問題下的問題串，突破本節(jié)課的重難點(diǎn).

二、教材習(xí)題的二次開發(fā)在教學(xué)中的運(yùn)用

教材呈現(xiàn)1：（教材第12頁例1）市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104 m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.

（1）儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500 m2，施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)多深？

（3）當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15 m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15 m.相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）？

設(shè)計(jì)開發(fā)1：同學(xué)們，若我們用數(shù)學(xué)的眼光看世界，會(huì)發(fā)現(xiàn)，你的身邊一直存在著許多數(shù)學(xué)模型.

（1）你每天喝水使用的水杯可以抽象為哪種立體圖形？

（2）這個(gè)立體圖形的體積、底面積、高三者之間存在著怎樣的等量關(guān)系？

（3）已知圓柱體體積V=100 m3，其底面積S與高h(yuǎn)具有一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)關(guān)系中的哪種函數(shù)關(guān)系？為什么？

（4）根據(jù)你的判斷，請(qǐng)寫出S與h的函數(shù)關(guān)系式，能寫幾種解析式的表達(dá)方式？分別是什么？

（5）當(dāng)h=10 m時(shí)，求S的值.

（6）請(qǐng)選擇圖1中表示關(guān)于S與h的正確函數(shù)圖象，并說明理由.

【設(shè)計(jì)意圖】教材中例1的題設(shè)背景是市煤氣公司在地下修建圓柱形煤氣儲(chǔ)存室的問題探究，離學(xué)生生活較遠(yuǎn)，故筆者修改了題設(shè)背景.第（1）問的設(shè)計(jì)意在引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問題.第（2）問意在引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系.第（3）問意在分析變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在初中學(xué)過的所有函數(shù)關(guān)系中明確本題變量間的函數(shù)關(guān)系;借此復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的概念，即兩變量乘積是一個(gè)非零常數(shù).第（4）問意在用數(shù)學(xué)符號(hào)語言即解析式表述模型，同時(shí)復(fù)習(xí)反比例函數(shù)解析式的三種表達(dá)形式，為后續(xù)解決實(shí)際問題進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)儲(chǔ)備復(fù)習(xí).第（5）問呼應(yīng)教材例1考查知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生能通過解析式，已知其中一個(gè)變量的具體值，求另一個(gè)變量的值.第（6）問意在復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并通過辨析，引導(dǎo)學(xué)生類比之前對(duì)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí)，歸納出實(shí)際問題自變量非負(fù)性這一特點(diǎn).同時(shí)，與教材習(xí)題26.2復(fù)習(xí)鞏固第5題的考查內(nèi)容形成呼應(yīng)，為學(xué)生突破例2的重難點(diǎn)做好數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的助力工作.

教材呈現(xiàn)2：（教材第13頁例2）碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.

（1）輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？

設(shè)計(jì)開發(fā)2：（裝卸貨模型探究）抗疫期間，云南各地均組織對(duì)湖北進(jìn)行物資援助。某地工人裝載一批物資，每天可裝載30噸，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.

（1）該物資到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）要求該物資5天卸載完畢，那么平均每天要卸載多少噸.

（3）接到上級(jí)命令，要求該物資不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？

（4）解決第（3）問，你還有哪些方法？請(qǐng)思考并與同學(xué)分享.

（5）一次物資運(yùn)輸援助，除考慮裝卸貨過程外，方案制定時(shí)還需考慮哪些環(huán)節(jié)？

【設(shè)計(jì)意圖】教材例2的題目背景是碼頭工人往輪船上裝卸貨情況探究，云南不是沿海城市，根據(jù)學(xué)情替換背景，更改為抗疫物資援助，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)立德樹人教育思想的滲透.原題中只有兩問，即開發(fā)設(shè)計(jì)后題目的第（1）（3）問.加入第（2）問的目的是為了對(duì)學(xué)生從等量關(guān)系到不等關(guān)系的解決搭建一個(gè)認(rèn)知的臺(tái)階，即方程思想的鋪陳.第（4）問的設(shè)計(jì)，意在引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)、二次函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)歷與方法，自主構(gòu)建方程、不等式、函數(shù)三者聯(lián)系助力實(shí)現(xiàn)不等關(guān)系的解決.也就是說，學(xué)生可以借助方程思想，先求臨界值再求范圍;或借助函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合得到范圍;或借助不等式組，代數(shù)運(yùn)算得到范圍，助力學(xué)生自我構(gòu)建新知.第（5）問的設(shè)計(jì)，意在引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際思考問題，除裝卸貨過程外，運(yùn)輸方面也需要考慮路程、速度、時(shí)間、運(yùn)輸車輛本身的性能等實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生在通過模型構(gòu)建解決問題的同時(shí)，感受“戰(zhàn)疫”時(shí)方案制定的科學(xué)性與必要性.教師借由問題串的現(xiàn)實(shí)條件分析，讓學(xué)生有身臨其境之感，引導(dǎo)其體會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析問題的優(yōu)越性.

教材呈現(xiàn)3：（教材第15頁練習(xí)2）一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到達(dá)目的地.

（1）當(dāng)他按原路勻速返回時(shí)，汽車的速度v與時(shí)間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）如果該司機(jī)必須在4 h之內(nèi)回到甲地，那么返程時(shí)的平均速度不能小于多少？

設(shè)計(jì)開發(fā)3：（運(yùn)輸貨模型探究）云南文山在抗疫期間多次向湖北運(yùn)輸“文山三七”這一中草藥，要運(yùn)向湖北，需要首先到達(dá)云南省會(huì)城市昆明.已知一司機(jī)駕駛汽車從文山去昆明，記汽車行駛時(shí)間為t（單位：小時(shí)），平均速度為v（單位：千米/小時(shí)），根據(jù)經(jīng)驗(yàn)v，t的一組對(duì)應(yīng)值如下表：

（1）當(dāng)他按原路返回時(shí)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，平均速度v（單位：千米/小時(shí)）關(guān)于行駛時(shí)間t（單位：小時(shí)）的函數(shù)表達(dá)式是? ? ?.

（2）若該司機(jī)必須在4小時(shí)內(nèi)回到文山，那么返程時(shí)的平均速度不能小于多少？

（3）若返程汽車行駛速度不超過100千米/小時(shí)，最快多長(zhǎng)時(shí)間可以返程？

（4）若返程時(shí)，司機(jī)車速控制在80≤v≤100（km/h）范圍內(nèi)，求返程所用時(shí)間t的取值范圍.

（5）若返程行駛時(shí)間需滿足4≤t≤4.8（h），則司機(jī)需要將車速控制在哪個(gè)范圍？

【設(shè)計(jì)意圖】教材原題考查內(nèi)容為開發(fā)設(shè)計(jì)后題目的第（1）（2）問.開發(fā)設(shè)計(jì)后題目增加第（3）至（5）問，意在強(qiáng)化學(xué)生解決不等關(guān)系的三種思想方法，即方程思想、函數(shù)最值思想、不等式（組）思想的應(yīng)用強(qiáng)化，實(shí)現(xiàn)“已知一變量變化規(guī)律，求對(duì)應(yīng)變量相應(yīng)取值范圍”這個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的突破，開展有階梯性、有針對(duì)性的課堂訓(xùn)練.同時(shí)，設(shè)計(jì)中題設(shè)呈現(xiàn)的等量關(guān)系借助表格的形式，意在提示學(xué)生解析式中常數(shù)的獲得，可通過文字、符號(hào)、圖形三種數(shù)學(xué)語言提供求解條件.

教材呈現(xiàn)4：（教材第17頁習(xí)題26.2復(fù)習(xí)鞏固第9題）某汽車油箱的容積為70 L，小王把油箱加滿油后駕駛汽車從縣城到300 km外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.請(qǐng)回答下列問題：

（1）油箱加滿油后，汽車行駛的總路程S（單位：km）與平均耗油量b（單位：L/km）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）小王以平均每千米耗油0.1 L的速度駕駛汽車達(dá)到省城.返程時(shí)由于下雨，小王降低了車速，此時(shí)平均每千米的耗油量增加了一倍.若小王始終以此速度行駛，不需加油能否回到縣城？如果不能，至少還需加多少升油？

設(shè)計(jì)開發(fā)4：（運(yùn)輸過程個(gè)體因素探究）某司機(jī)駕駛的是一輛江鈴貨車進(jìn)行該次物資運(yùn)輸.

（1）油箱加滿油后，如圖2所示，貨車行駛的總路程S（單位：km）與平均耗油量b（單位：L/km）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）在這段相距480 km的路上，貨車以平均每千米耗油0.1 L的速度前往昆明，返程時(shí)由于下雨，降低了車速，此時(shí)平均每千米的耗油量增加了一倍.若司機(jī)始終以此速度返程，不加油能否回到文山？如果不能，至少還需加多少升油？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)開發(fā)后題目變化的主要是第（1）問，借助圖象語言求解析式.同時(shí)，介于實(shí)際生活中運(yùn)輸車的油箱容量，承接問題串中“戰(zhàn)疫”運(yùn)輸?shù)穆烦?，?duì)原題進(jìn)行了計(jì)算數(shù)字的改編，起到完善這個(gè)實(shí)際生活中運(yùn)輸問題的作用.

三、教學(xué)反思

在認(rèn)真研讀教材的情況下，結(jié)合學(xué)情，筆者才會(huì)考慮對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行二次開發(fā)，目的在于為學(xué)生搭建突破知識(shí)重難點(diǎn)的臺(tái)階，助力學(xué)生自主構(gòu)建新知，直抵學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，在充分了解學(xué)生原有學(xué)習(xí)水平、學(xué)習(xí)規(guī)律和學(xué)習(xí)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，方便學(xué)生在寬松的氛圍中進(jìn)行探究.

在實(shí)際教學(xué)中，本節(jié)課容量大，有梯度，需要學(xué)生具備一定的能力與素養(yǎng)，也需要教師在教育教學(xué)中的長(zhǎng)期積累與內(nèi)化.教師借由解決一個(gè)時(shí)代背景下的問題串展開的實(shí)際問題，完成立德樹人的根本任務(wù)，讓學(xué)生更有身臨其境之感，體會(huì)數(shù)學(xué)建模在生活中的應(yīng)用性;通過模型的建立、問題的解決，讓學(xué)生切身感受借助數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的方式方法，讓數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)慢慢融入學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)日常.

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)知識(shí)，還要學(xué)解決問題的思路與方法;培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要每節(jié)課的有機(jī)配合，更加需要教師的潛心研究與不懈嘗試.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇