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    網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下“數(shù)學(xué)分析”混合式教學(xué)設(shè)計(jì)研究
    ——以連續(xù)函數(shù)的概念為例

    2021-10-27 00:51:26陶玉杰段麗芬程亞煥于梅菊
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)分析連續(xù)性定義

    陶玉杰,段麗芬,程亞煥,于梅菊

    “數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是后繼課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),具有極強(qiáng)的理論性、邏輯性和系統(tǒng)性[1].而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)分析知識(shí)體系中重要的一環(huán),是深入學(xué)習(xí)、理解一切的基礎(chǔ),因此做好概念教學(xué)是十分必要的.在以往的概念教學(xué)中,通常是直接給出定義,這種教學(xué)方式硬性灌輸,忽略了學(xué)生認(rèn)知形成過(guò)程和參與體驗(yàn),使得原本就抽象的概念更加枯燥乏味難以理解,不能有效激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣.因此,在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí),要充分利用現(xiàn)代信息技術(shù),借助超星學(xué)習(xí)通平臺(tái),大膽嘗試、精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程,采取線上線下混合式教學(xué)模式,從生活現(xiàn)象、生活實(shí)際出發(fā),利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法讓學(xué)生直接參與定義得出的過(guò)程,親自嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行刻畫,這樣學(xué)生對(duì)定義的理解一定會(huì)更深刻,有益于后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí).

    1 教學(xué)?內(nèi)容分析

    1.1 內(nèi)容分析

    連續(xù)函數(shù)是“數(shù)學(xué)分析”中著重討論的一類函數(shù),連續(xù)函數(shù)概念是學(xué)生進(jìn)入連續(xù)函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的第一道門檻,由于定義很抽象,初學(xué)的學(xué)生在理解上會(huì)有一定的難度.本節(jié)主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容為:

    (1)函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義;

    (2)函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式;

    (3)定義的應(yīng)用.

    1.2 學(xué)情分析

    “數(shù)學(xué)分析”的授課對(duì)象為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)大一學(xué)生,經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)對(duì)極限思想有了充分的了解;由于剛剛步入大學(xué)校門,學(xué)生還未完全適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活,沒(méi)有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,課前自主預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)沒(méi)有成為學(xué)習(xí)常態(tài),課后只是為了完成作業(yè)而做作業(yè);學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)參差不齊,差異性較大,有的學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)分析不感興趣.

    1.3 目標(biāo)分析

    知識(shí)目標(biāo):從生活現(xiàn)象出發(fā),通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置使學(xué)生了解連續(xù)性概念的實(shí)際背景,建構(gòu)對(duì)連續(xù)性的認(rèn)知基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生思考,給出連續(xù)性概念,掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的精確定義及等價(jià)形式.

    能力目標(biāo):通過(guò)學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象、發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)化的思維能力;培養(yǎng)學(xué)生課前、課后自主學(xué)習(xí)能力及課上合作探究能力.

    思想目標(biāo):通過(guò)學(xué)生親自參與知識(shí)建構(gòu),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,使學(xué)生真正理解連續(xù)性定義,并能認(rèn)識(shí)到在生活中,凡事不能急于求成,必須遵循事物原本的規(guī)律.

    1.4 重點(diǎn)難點(diǎn)分析

    (1)利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法引導(dǎo)學(xué)生探索連續(xù)性的本質(zhì).

    (2)通過(guò)小組合作,師生共同討論完善對(duì)連續(xù)性的理解.

    (3)通過(guò)典型例題進(jìn)一步加深和拓展對(duì)概念的理解,掌握極限存在與函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系.

    2 教學(xué)設(shè)計(jì)策略

    “數(shù)學(xué)分析”中的概念具有抽象性,不易理解,所以在教學(xué)過(guò)程中依據(jù)先行組織者策略,打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式,積極采用現(xiàn)代信息技術(shù),通過(guò)超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)將線上線下混合式教學(xué)融入傳統(tǒng)教學(xué)模式中,以學(xué)生為中心,提高課堂效率.在課堂實(shí)施過(guò)程中,采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法,借助小視頻、PPT等輔以講授法、小組討論等形式完成對(duì)函數(shù)連續(xù)性概念的感知、提煉、形成、鞏固和應(yīng)用,提高學(xué)生對(duì)概念的理解和運(yùn)用能力.

    3 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

    “數(shù)學(xué)分析”中連續(xù)函數(shù)的概念與高中階段學(xué)習(xí)的概念相比較,“數(shù)學(xué)分析”中連續(xù)函數(shù)的定義不僅僅是定性的描述,而重要的是要從定性描述中抽象出定量的描述.如何從具體教學(xué)中抽象出連續(xù)函數(shù)的概念,引導(dǎo)學(xué)生明晰其各種等價(jià)形式是連續(xù)函數(shù)概念教學(xué)的重點(diǎn).本節(jié)內(nèi)容以課前(線上)—課中(線下)—課后(線上)為主線,利用超星學(xué)習(xí)通完成教學(xué)任務(wù).

    3.1 課前(線上)準(zhǔn)備

    課前,通過(guò)線上超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù),讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)目標(biāo).第一步,教師線上發(fā)布學(xué)習(xí)資源,比如課件、小視頻等,小視頻中主要給出植物的生長(zhǎng)過(guò)程、潺潺的流水、溫度的變化、舞者手中的飄帶等生動(dòng)的畫面,讓學(xué)生從鮮活的畫面中去感知連續(xù)性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)欲望,促使學(xué)生進(jìn)行在線預(yù)習(xí);第二步,布置查閱任務(wù):通過(guò)所發(fā)布的小視頻,結(jié)合生活實(shí)際,讓學(xué)生再查找一些與連續(xù)相關(guān)的生活現(xiàn)象,加深對(duì)連續(xù)性的認(rèn)知.連續(xù)來(lái)源于生活,反過(guò)來(lái)又怎么樣應(yīng)用于生活中呢?引導(dǎo)學(xué)生查閱連續(xù)性的應(yīng)用,在查閱過(guò)程中讓學(xué)生感受到抽象的數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)的,激發(fā)他們繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣;第三步,教師與學(xué)生進(jìn)行線上互動(dòng)交流,收集學(xué)生課前預(yù)習(xí)中所遇到的疑難問(wèn)題,以備課堂上進(jìn)行探究釋疑.課前的線上教學(xué)是學(xué)生自主完成的學(xué)習(xí)活動(dòng),是上好一節(jié)課的關(guān)鍵.

    3.2 課中(線下)課堂實(shí)施

    線上學(xué)習(xí)活動(dòng)是作為線下教學(xué)的補(bǔ)充,根據(jù)線上學(xué)習(xí)反饋,完成知識(shí)的鞏固、拓展和提升.在這一環(huán)節(jié)中,通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法完成連續(xù)函數(shù)的概念教學(xué),重點(diǎn)是抽象出連續(xù)函數(shù)定義及其等價(jià)形式,按課前回顧、問(wèn)題引入、分組探究、歸納總結(jié)、課堂小結(jié)這五個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行展開(kāi).

    (1)課前回顧.教師首先檢驗(yàn)線上自主學(xué)習(xí)效果,設(shè)計(jì)幾個(gè)關(guān)于函數(shù)極限問(wèn)題作為課前小測(cè),這為后面解答函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)之間的關(guān)系做準(zhǔn)備.利用學(xué)習(xí)通統(tǒng)計(jì)小測(cè)結(jié)果,可以快速掌握預(yù)習(xí)情況.其次讓學(xué)生代表展示其查閱的與連續(xù)性相關(guān)的生活現(xiàn)象,讓學(xué)生快速融入課堂氣氛之中.

    (2)問(wèn)題引入.首先,借助學(xué)生查閱的生活現(xiàn)象提出問(wèn)題:“一提到連續(xù),你會(huì)想到什么詞匯?”學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)肯定會(huì)答出:“連綿不斷”.教師可補(bǔ)充說(shuō)明連續(xù)描述的就是連綿不斷的現(xiàn)象.

    其次,通過(guò)與連續(xù)相關(guān)的生活現(xiàn)象設(shè)計(jì)問(wèn)題:“我手里有一根斷開(kāi)的繩子,那么怎么樣把他們連接起來(lái),使兩段繩子看起來(lái)是連綿不斷的一根繩子呢?”這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單,很容易引導(dǎo)學(xué)生得出簡(jiǎn)單的方法,就是將斷開(kāi)的繩子湊到同一個(gè)點(diǎn),然后用膠水粘住即可,這樣斷開(kāi)的繩子便連接起來(lái).

    最后,引導(dǎo)學(xué)生從這一現(xiàn)象出發(fā)嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行刻畫,進(jìn)一步抽象出函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義.將斷開(kāi)的繩子湊到一起,也就是這兩段繩子從兩側(cè)向同一個(gè)點(diǎn)湊近,在數(shù)學(xué)上解釋這一現(xiàn)象可以用左右極限刻畫.這兩段繩子的斷點(diǎn)湊在一起并用膠水粘住,在數(shù)學(xué)上描述就是這一點(diǎn)處左右極限存在且相等,而且還要等于函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值,這就給出了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義,用數(shù)學(xué)符號(hào)表述如下:

    (3)分組探究.在給出函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義后,設(shè)計(jì)以下4個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行分組合作探究,通過(guò)探究性問(wèn)題可實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

    探究1:針對(duì)上述抽象出來(lái)的f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義,你是否能用其他形式來(lái)表達(dá)這個(gè)定義?

    探究2:函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的定義是用極限定義的,那么函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在和f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)之間有什么聯(lián)系呢?

    探究3:函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)如何定義?

    探究4:怎樣證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)?

    在小組合作探究的時(shí)候,教師可以與各小組進(jìn)行交流,了解同學(xué)們的掌握情況.幫助他們盡快實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

    (4)歸納總結(jié).經(jīng)過(guò)小組合作探究,讓各組學(xué)生代表進(jìn)行歸納總結(jié),小組之間也可以進(jìn)行互評(píng),教師在此期間進(jìn)行補(bǔ)充、糾錯(cuò),最后對(duì)所提問(wèn)題進(jìn)行總結(jié).

    對(duì)于探究問(wèn)題1:設(shè)函數(shù)f(x)在某U(x0)內(nèi)有定義,若滿足下列條件之一,函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù).

    對(duì)于探究問(wèn)題2:函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在,則f(x)在x0點(diǎn)不一定連續(xù),反之函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù),則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在.即函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)極限存在是f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的必要條件.

    對(duì)于探究問(wèn)題3:函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都連續(xù),則f(x)為I上的連續(xù)函數(shù).對(duì)于閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間的端點(diǎn),函數(shù)在這些端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù).

    對(duì)于探究問(wèn)題4:若要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),依據(jù)定義,只需證明區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)均連續(xù),即?x0∈I,證明f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)即可.若區(qū)間I是閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間,還需證明在端點(diǎn)處左連續(xù)或右連續(xù).

    (5)課堂小結(jié).教師對(duì)整個(gè)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng),對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)做進(jìn)一步梳理,強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)、難點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后學(xué)習(xí).

    3.3 課后(線上)提升

    通過(guò)超星學(xué)習(xí)通平臺(tái),教師布置課后任務(wù),引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和應(yīng)用.課后任務(wù)要有層次,以滿足不同層次學(xué)生的需求,使學(xué)生在課后得到進(jìn)一步提升.

    教師可以在平臺(tái)上批閱學(xué)生提交的作業(yè),通過(guò)作業(yè)情況掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,對(duì)于個(gè)別接受較差的同學(xué)或接受能力強(qiáng)的同學(xué)可以進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo).

    在(0,1)內(nèi)任何無(wú)理點(diǎn)處都連續(xù),任何有理點(diǎn)處都不連續(xù).

    4 教學(xué)效果

    線上線下混合式教學(xué)有效拓展了教學(xué)時(shí)空,極大地豐富了教學(xué)資源,充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,最大限度實(shí)現(xiàn)了預(yù)期教學(xué)目的.課前通過(guò)學(xué)習(xí)通平臺(tái)向?qū)W生發(fā)布自學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)資料,為課上討論做好前期準(zhǔn)備;課上從植物的生長(zhǎng)、潺潺流水、溫度的變化、舞者手中的飄帶等生活現(xiàn)象入手,讓學(xué)生感受到抽象的連續(xù)函數(shù)概念有著豐富生動(dòng)的生活背景.課上通過(guò)斷開(kāi)的繩子設(shè)計(jì)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生給出函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義,并用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行刻畫,使學(xué)生對(duì)抽象的概念有了直觀認(rèn)識(shí).再通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題,讓學(xué)生分組進(jìn)行討論并匯報(bào)討論結(jié)果,教師進(jìn)行補(bǔ)充、糾錯(cuò),使學(xué)生完成知識(shí)的遷移,使相關(guān)認(rèn)知得到升華;課后布置階梯式練習(xí),滿足各個(gè)層次學(xué)生的需要,真正做到全員參與學(xué)習(xí)“一個(gè)也不能少”.整個(gè)教學(xué)過(guò)程層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣,內(nèi)容一氣呵成,通過(guò)學(xué)生親歷定義的給出過(guò)程,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,函數(shù)連續(xù)的概念教學(xué)在匠心獨(dú)運(yùn)的教學(xué)設(shè)計(jì)和意趣盎然的教學(xué)環(huán)節(jié)中完美收官.

    “信息化教學(xué)手段引入數(shù)學(xué)課堂,有助于走出一支粉筆、一塊黑板、一本書的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式”[3].線上線下混合式教學(xué)模式避免了傳統(tǒng)教學(xué)中“填鴨式”式教學(xué)方法的枯燥與單一,課堂上,通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題,讓學(xué)生分組討論,教師從旁輔助、糾錯(cuò),克服了線上教學(xué)模式中教師與學(xué)生溝通不便的弊端,實(shí)現(xiàn)了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng),這不僅能夠發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用,又能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性與創(chuàng)造性.信息化教學(xué)已成為現(xiàn)代教育發(fā)展的必然趨勢(shì)[4?5].但是要想實(shí)現(xiàn)高效的線上線下相結(jié)合的課堂教學(xué),教師必須要掌握現(xiàn)代信息技術(shù),具備較高的業(yè)務(wù)水平,這對(duì)教師提出了極大的挑戰(zhàn).本文以“函數(shù)的連續(xù)性概念”為例,充分發(fā)揮了線上的優(yōu)勢(shì),通過(guò)超星學(xué)習(xí)通平臺(tái),學(xué)生自主學(xué)習(xí),打破了時(shí)間和空間的界限,線下采用分組討論研究式學(xué)習(xí),真正調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,構(gòu)建了以學(xué)生為主體的線上線下相結(jié)合的課堂教學(xué)方式,但如何在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中全面實(shí)踐線上線下混合式教學(xué)模式還需要更多的探索.

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