分數(shù)Brown運動驅(qū)動的Levy-Heston模型下金融理財產(chǎn)品定價問題研究

董 艷

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學院，陜西 渭南 714000）

一、目的意義

1.研究目的

金融衍生產(chǎn)品定價是金融數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是近年來人們在金融數(shù)學領(lǐng)域研究的一個重要課題。此外本課題的研究也具備一定的實踐意義，本課題所得結(jié)果方便投資者和金融機構(gòu)量化各種金融衍生產(chǎn)品的價值，對金融市場上的投資活動具有指導意義。

此外在生活中，期權(quán)也有諸多應(yīng)用，期權(quán)與人們的日常生活息息相關(guān)。雖然“期權(quán)”二字沒能出現(xiàn)在每個人的生活當中，但是期權(quán)的觀念早已深入人心。除了上面論述的理財產(chǎn)品和定期存款問題以外，按揭買房和抵押貸款問題也可以通過期權(quán)找到合理解釋[1-2]。

2.研究意義

近年來，金融理財產(chǎn)品得到了長足發(fā)展，針對人們不同的風險偏好和投資回報期望，一些金融機構(gòu)推出一系列金融理財產(chǎn)品以滿足人們投資理財?shù)男枰姳?。

表1羅列了農(nóng)業(yè)銀行公布的諸多理財產(chǎn)品，總計6500多項，受篇幅的限制，這里只列出其中比較有代表性的8項。理財產(chǎn)品大概分為以下三類：非保本浮動收益型、保本浮動收益型和保本固定收益型。保本固定收益型理財產(chǎn)品，其收益率是固定不變的，投資者按照實現(xiàn)約定好的利率、投資期限和本金金額進行投資，到期之后領(lǐng)取約定的本金和利息。保本浮動收益型理財產(chǎn)品在國內(nèi)外風行多年，不論市場走空還是走多，其本金是可以保證的，不會因為市場的變動影響生活，但是其收益是得不到保證的，其收益率往往隨著金融市場發(fā)生變動。相比之下，非保本浮動收益型理財產(chǎn)品的本金和利息完全暴露在風險之下，其本金和利息都不是固定的（非保本浮動收益型理財產(chǎn)品的期望收益率高），可能要面臨一定的本金虧損。

表1 農(nóng)業(yè)銀行部分理財產(chǎn)品

（1）理財產(chǎn)品中歐式期權(quán)的嵌入

對比保本浮動收益型理財產(chǎn)品和非保本浮動收益型理財產(chǎn)品：①對于保本浮動收益型理財產(chǎn)品，理財產(chǎn)品公司承諾本金的同時，還事先約定一個最低的收益率，這樣一來，投資人在到期日T 是可以保證本金和最低的收益的，同時還可以保留因理財產(chǎn)品溢價而帶來的意外獲利的機會；②對于非保本浮動收益型理財產(chǎn)品，其本金和利息都是有風險的，其價值由市場決定。

因此，保本浮動收益型理財產(chǎn)品相當于在非保本浮動收益型理財產(chǎn)品的基礎(chǔ)之上嵌入了一個歐式期權(quán)。對于這兩種理財產(chǎn)品如果到期日相同，那么其單位本金的利息之差就應(yīng)當恰好是一個歐式期權(quán)。

本文具體分析嵌入期權(quán)的種類。一方面，由于理財產(chǎn)品只有到期之后才可以獲得利息和本金，從而理財產(chǎn)品中嵌入的期權(quán)只能是歐式類型。另一方面，大部分理財產(chǎn)品只與到期日的風險資產(chǎn)價格有關(guān)，與風險資產(chǎn)在理財產(chǎn)品合同續(xù)存期內(nèi)的價格無關(guān)，那么此類理財產(chǎn)品中嵌入應(yīng)當是標準歐式期權(quán)；有些理財產(chǎn)品（例如表1第一項和第二項）則規(guī)定了觀察日，使得理財產(chǎn)品的收益依賴觀察日風險資產(chǎn)的價格，那么此類理財產(chǎn)品中嵌入應(yīng)當是歐式重置期權(quán)；最后還有一些理財產(chǎn)品（例如表1中第八項）其收益還依賴風險資產(chǎn)的價格在某個區(qū)間停留的天數(shù)，此類理財產(chǎn)品中嵌入應(yīng)當是歐式階梯期權(quán)。

（2）金融理財產(chǎn)品中美式期權(quán)的嵌入

這三種類型理財產(chǎn)品還有一個共同的特征：在投資期限內(nèi)，擁有100%的資金使用權(quán)，通常不允許投資人提前支取理財產(chǎn)品，即便允許，也面臨著高額的提前支取費用。相比之下，銀行存款就便利許多，儲戶在以定期存款的形式將本金存入銀行之后，如因為個人原因急需使用該本金時可以提前支取，但是提前支取的錢款按支取當日的活息利率計息。因此，定期存款相當于在理財產(chǎn)品的基礎(chǔ)之上嵌入了一個美式期權(quán)。

（3）國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及分析

由于定期存款和理財產(chǎn)品中所嵌入的期權(quán)分別為歐式期權(quán)和美式期權(quán)，本節(jié)對這兩種期權(quán)的研究進展以及發(fā)展現(xiàn)狀做一個簡要的說明。期權(quán)定價問題的研究始于 20 世紀 70 年代初。首先研究的是幾何布朗運動情形下的期權(quán)定價。Panini和Srivastav使用Mellin變換將期權(quán)適合的拋物方程轉(zhuǎn)化為常微分方程并求解，然后利用Mellin逆變換給出了歐式期權(quán)的定價公式并給出了美式期權(quán)價格適合的積分方程。由于Mellin變換僅僅在波動率和利率為常數(shù)時候才可以進行，F(xiàn)rontczak和Sch?bel在Panini和Srivastav結(jié)論的基礎(chǔ)之上，考慮有連續(xù)紅利支付情形下的歐式期權(quán)定價問題。通過 Mellin變換方法，得到了相應(yīng)的歐式期權(quán)和美式期權(quán)定價結(jié)論。Company等人則對Panini和Srivastav的結(jié)論做了另一種推廣，假定期權(quán)在到期日的收益是原生資產(chǎn)價格的一般函數(shù)，甚至允許收益函數(shù)包含有限個第一類間斷點，利用傅里葉變換方法得到了歐式期權(quán)定價公式。Chanane用變量分離方法代替Mellin變換方法研究了歐式期權(quán)定價問題。Chanane提供的方法允許收益函數(shù)存在有限個間斷點（第一類和第二類間斷點均可），得到了更為一般情形下的期權(quán)定價結(jié)論。由于美式期權(quán)沒有解析定價結(jié)論，除了采用數(shù)值方法（有限差分、有限元，Monte-Carlo）以外，易法槐老師及其研究團隊采用懲罰方法研究了美式期權(quán)定價的自由邊界問題，給出了美式期權(quán)弱解的存在性和唯一性，并研究了自由邊界的光滑性。

分數(shù)布朗運動或者混合分數(shù)布朗運動驅(qū)動的Black-Scholes模型下的期權(quán)定價問題研究相對較晚。有學者研究了時變分數(shù)布朗運動驅(qū)動的B-S模型下的歐式期權(quán)定價問題，他們提供了一種新的隨機微分展開方法用以代替Ito公式，據(jù)此給出了歐式期權(quán)滿足的偏微分方程及其精確解的表達式。Chen.W研究了混合分數(shù)布朗運動情形下的美式期權(quán)定價問題。第一種是利用迎風差分格式研究了美式期權(quán)滿足的變分不等式，給出了美式期權(quán)定價的數(shù)值算法。由于混合分數(shù)布朗運動情形下的美式期權(quán)變分不等式是分數(shù)階的，第二種采用Liouville導數(shù)定義了變分不等式的弱解，并采用懲罰方法證明了該弱解的存在性。同時第二種還給出了美式期權(quán)價格的若干估計。

Levy模型適合用于模擬那些突發(fā)事件引起的風險資產(chǎn)價格變動。因此期權(quán)定價之Levy模型的提出受到了眾多學者的歡迎。很多學者研究了Levy模型下的歐式期權(quán)定價問題，都將歐式期權(quán)轉(zhuǎn)化成了一種Integro-differential型拋物偏微分方程。由于Integro-differential型拋物偏微分方程是非線性的，沒有解析解，M.C.Mariania、M.Fakharany等采用數(shù)值方法研究了Levy模型下的歐式期權(quán)和美式期權(quán)定價問題。M.C.Mariania采用有限差分方法，得到了歐式和美式期權(quán)的一個二階差分格式。此外，他還重點研究了差分格式的誤差估計問題。M.Fakharany采用鞅方法研究了美式期權(quán)定價問題，得到了美式期權(quán)價格的一個半解析近似公式。

近些年來，CEV模型已經(jīng)成功地應(yīng)用于期權(quán)定價問題。J.Lee采用鞅方法研究了CEV模型下的歐式期權(quán)定價問題，采用無窮多個Bessel函數(shù)的線性組合表示出了歐式期權(quán)的價格公式，實際上其結(jié)果是半解析的。文獻J.Lee也間接表明，由于CEV模型下的B-S方程不是常系數(shù)的，期權(quán)定價問題是不可能有精確解析解的。F.Kleinert利用有限差分方法研究了美式看跌期權(quán)的價格，Y.L.Hsu則研究了美式期權(quán)自由邊界的位置。

隨機波動模型也是學者研究的一個重要方向。隨機波動模型克服了傳統(tǒng)Black-Scholes模型中波動率為常數(shù)的假設(shè)。在金融實踐中波動率常常呈現(xiàn)一定的隨機因素，隨機波動模型正好解決了這一問題。R.Griego通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，給出了某些風險資產(chǎn)的波動率遵循的特定分布，并在此基礎(chǔ)之上研究了隨機波動率下的期權(quán)定價問題。文獻引入了各種形式的隨機微分方程刻畫波動率，形成了一系列的隨機波動方程，也研究了期權(quán)定價問題。Heston模型用CIR方程來刻畫隨機波動率，預示著波動率在一定的水平上進行隨機擾動，當波動率偏離平均水平后很快會恢復。S.Fallah研究了雙隨機項下Heston模型解的存在性和收斂性，A.Aghda則研究了延遲Heston模型解的收斂性，并且構(gòu)造了一種Euler網(wǎng)格劃分方法，在此差分格式下研究了解的非負性。E.Berthe在Heston模型下，研究了外匯期權(quán)定價問題，利用攝動方法給出了期權(quán)的近似定價結(jié)果。S.Corsaro構(gòu)造了Heston模型網(wǎng)格查分的平行算法，并研究了亞式期權(quán)定價問題。 F.Soleymani研究了帶有Hull-White隨機率項的Heston模型，利用Feymann-Kac公式獲取了相應(yīng)的拋物偏微分方程，并給出了一種自Heston模型的適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法。

二、目標任務(wù)

本課題在Levy噪聲和分數(shù)Brownian運動驅(qū)動的市場環(huán)境下對金融市場上存在的理財產(chǎn)品進行數(shù)值定價分析，所得研究結(jié)果方便投資者和金融機構(gòu)量化各種金融衍生產(chǎn)品的價值。本課題針對理財產(chǎn)品適合的偏微分方程初邊值問題，進行網(wǎng)格差分，以期在特定的偏微分方程初邊值問題的差分方法上獲取更高精度的差分格式。

在Levy噪聲和分數(shù)Brown運動驅(qū)動的Heston隨機利率模型（以下簡稱“分數(shù)Levy-Heston模型”）下，本項目嘗試以理財產(chǎn)品的定價問題為研究對象，以理財產(chǎn)品價值的網(wǎng)格劃分為研究手段，找出理財產(chǎn)品價值的一個有效的差分格式，既能進行理論分析，也便于數(shù)值模擬。

三、主要內(nèi)容

本項目主要研究那些分數(shù)Levy-Heston模型的金融理財產(chǎn)品的定價問題。具體地講，我們將采理論推導和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究理財產(chǎn)品的定價問題。

首先，基于網(wǎng)格差分方法，討論分數(shù)Levy-Heston模型下、不附帶提前實施條款的理財產(chǎn)品的定價問題，給出精度更好的迎風差分格式以及相應(yīng)的穩(wěn)定性、收斂性和相容性分析。

其次，討論分數(shù)Levy-Heston模型下可自動續(xù)期類型的理財產(chǎn)品的定價問題。建立相應(yīng)的變分不等式模型，計算其差分格式并討論其自由邊界（最佳實施邊界）的性質(zhì)。

最后，構(gòu)造一種不依賴人工邊界的并行算法。通常情況下，不依賴人工邊界的差分算法只有顯式差分格式，而顯式差分格式往往是條件穩(wěn)定的，本課題嘗試構(gòu)造一種并行差分格式，既滿足無條件穩(wěn)定又無需人工邊界。

四、可行性分析

近年來，項目申請者一直從事期權(quán)定價方面的研究工作，并密切跟蹤國內(nèi)外在期權(quán)定價理論方面的研究現(xiàn)狀，收集了豐富的數(shù)據(jù)資料，對相關(guān)期權(quán)定價理論和方法都進行了細致的分析，比較了解同類問題的研究現(xiàn)狀和存在的問題。同時，項目申請者經(jīng)常與項目成員進行討論，對網(wǎng)格差分方法和Levy-Heston模型有了一定的了解，其研究思路已經(jīng)基本熟悉。

本項目的研究思路是在以往期權(quán)定價理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合網(wǎng)格差分方法提出的，涉及的關(guān)鍵研究內(nèi)容和研究路線是可行的，具體分析如下。

首先，用網(wǎng)格差分方法研究理財產(chǎn)品定價問題是可行的：許多理財產(chǎn)品定價問題經(jīng)過Feymann-Kac公式或者金融資產(chǎn)的復制策略可以轉(zhuǎn)化成各種形式的偏微分方程初邊值問題。目前，項目申請人已經(jīng)掌握了這些偏微分方程初邊值問題的網(wǎng)格差分方法。

其次，對理財產(chǎn)品適合的偏微分方程的空間變量進行必要的轉(zhuǎn)換是可行的： 項目申請人對這些偏微分方程的初邊值問題已經(jīng)有了細致的分析，通過何種方式進行轉(zhuǎn)換，達到空間變量降維的效果，已有一定的了解。

最后，對差分格式進行穩(wěn)定性、收斂性和相容性分析是可行的：網(wǎng)格差分有相對完善的穩(wěn)定性、收斂性和相容性理論，項目申請人對這些也已掌握。