多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_概率分布計(jì)算方法

高 樂， 于全毅， 魏慶麗， 刁 庶

（吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院，長春130061）

0 引 言

實(shí)驗(yàn)設(shè)備中存在大量可視為多導(dǎo)體傳輸線（multiconductor transmission lines，MTLs）的平行多導(dǎo)線、微帶線等，隨著實(shí)驗(yàn)設(shè)備的大量使用，近年來實(shí)驗(yàn)設(shè)備中傳輸線的電磁兼容問題越來越受到研究人員的重視，其中串?dāng)_是多導(dǎo)體傳輸線之間由于電磁相互作用而產(chǎn)生的電磁干擾，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響設(shè)備的正常工作。針對多導(dǎo)體傳輸線的電磁兼容問題，Antonini等［1］、Paul［2］在多導(dǎo)體傳輸線理論的創(chuàng)建和完善方面做出了杰出的貢獻(xiàn)。Tesche等［3］基于電磁結(jié)構(gòu)分析提出了Beam-Liu-Tesche（BLT）方程，實(shí)現(xiàn)了對傳輸線的終端響應(yīng)分析。針對多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的不確定性問題，傳統(tǒng)的蒙特卡洛法［4-6］已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了對傳輸線串?dāng)_的概率分布預(yù)測，但是蒙特卡洛法（Monte Carlo，MC）的計(jì)算成本十分昂貴。為了解決這一問題，Larbi等［7］采用可靠度法對多導(dǎo)體傳輸線的失效概率與靈敏度進(jìn)行了分析。Fei等［8］結(jié)合隨機(jī)降階法對多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的不確定性進(jìn)行了量化分析。另外還有最大熵法［9］、隨機(jī)配置法［10］和干涉式混沌多項(xiàng)式法［11］等其他統(tǒng)計(jì)學(xué)方法成功應(yīng)用于傳輸線電磁耦合的不確定性問題分析。

本文提出采用非干涉式的廣義混沌多項(xiàng)式展開法計(jì)算實(shí)驗(yàn)設(shè)備中傳輸線串?dāng)_響應(yīng)的概率密度函數(shù)，廣義混沌多項(xiàng)式展開法能夠有效地建立代理模型，基于代理模型對多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并高效準(zhǔn)確地得到多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_概率分布函數(shù)。

1 廣義混沌多項(xiàng)式展開法（Generalized Polynomial Chaos Expansions Method，gPCE）

Wiener［12］最早提出了混沌多項(xiàng)式理論，并基于Hermite正交多項(xiàng)式構(gòu)建了混沌多項(xiàng)式，最初的混沌多項(xiàng)式中的變量均服從于正態(tài)分布，當(dāng)輸入變量不服從正態(tài)分布時(shí)，Wiener混沌多項(xiàng)式的計(jì)算速度較慢，且計(jì)算得到的結(jié)果也不夠準(zhǔn)確。Xiu等［13-14］通過Askey方案將輸入變量的分布類型推廣至更多傳統(tǒng)的分布類型，相較于最初的混沌多項(xiàng)式，該方法能夠有效地應(yīng)用于其他分布類型，得到了應(yīng)用范圍更加廣泛的廣義混沌多項(xiàng)式。非干涉式的廣義混沌多項(xiàng)式能夠?qū)⒛Ｐ鸵暈楹谙?，僅需關(guān)注輸入變量與輸出變量間的映射關(guān)系，不需要對黑箱內(nèi)部的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行改動(dòng)，因此得到了廣泛的應(yīng)用。

令原始模型Y＝y(tǒng)()ξ，采用gPCE對該模型進(jìn)行展開：

式中：Φi()ξ為各個(gè)隨機(jī)變量所對應(yīng)的一維標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式基函數(shù)的乘積；ci為各個(gè)展開項(xiàng)Φi()ξ的系數(shù)。

當(dāng)采用廣義混沌多項(xiàng)式法對模型進(jìn)行展開計(jì)算時(shí)，混沌多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)是無窮的，為保證計(jì)算準(zhǔn)確度與計(jì)算效率，應(yīng)當(dāng)人為的設(shè)定一個(gè)適當(dāng)?shù)慕財(cái)嚯A數(shù)，將展開式中多項(xiàng)式的最高階數(shù)設(shè)置為P，減少混沌多項(xiàng)式展開項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。因此令截?cái)嚯A數(shù)為P，截?cái)嗪蟮膅PCE模型為：

令P階截?cái)嗪蟮幕煦缍囗?xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為Q，Q隨著截?cái)嚯A數(shù)P與輸入變量維度d的增加而增長：

當(dāng)構(gòu)建好混沌多項(xiàng)式展開模型后，可以采用不同的計(jì)算方法對展開后的多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算非干涉式混沌多項(xiàng)式時(shí)比較常用的方法為回歸法。本文采用回歸法中的隨機(jī)響應(yīng)面法對展開項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

隨機(jī)響應(yīng)面法首先需要在標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)空間中選取有效的N個(gè)樣本點(diǎn)，式中S為被標(biāo)記的量為樣本點(diǎn)。常用的采樣方案為Sobol采樣與拉丁超立方采樣以及蒙特卡洛采樣，Hosder等［15］認(rèn)為采用兩倍于多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的過采樣方案即可達(dá)到滿意的計(jì)算準(zhǔn)確度。本文采用拉丁超立方采樣方案。

進(jìn)行采樣后將標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量空間ξ中轉(zhuǎn)換至原隨機(jī)空間X，得到原隨機(jī)變量空間中的樣本點(diǎn)：XS＝，在X空間中調(diào)用原函數(shù)的響應(yīng)模型g()

X，計(jì)算得到樣本空間X中的函數(shù)響應(yīng)值為

采用最小二次回歸法對多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行估算。令多項(xiàng)式系數(shù)向量為將樣本空間ξ與相應(yīng)的函數(shù)響應(yīng)值G分別代入式（2），可以得到

式中：

根據(jù)線性最小二次回歸法對多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行求解，可以得到：

計(jì)算得到多項(xiàng)式系數(shù)后，即可通過蒙特卡洛法對廣義混沌多項(xiàng)式代理模型的相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其中模型響應(yīng)的平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ為：

2 數(shù)值算例

結(jié)合上一節(jié)中介紹的非干涉gPCE對多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的數(shù)值算例進(jìn)行計(jì)算，多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_模型如圖1（a）、（b）所示。

圖1 以地面為參考導(dǎo)體的傳輸線結(jié)構(gòu)

該模型是典型的多導(dǎo)體傳輸線模型，由參考導(dǎo)體與傳輸線組成，其中參考導(dǎo)體為無限大的地面，傳輸線均為無耗均勻傳輸線，其中傳輸線a上帶有激勵(lì)源Es，且Es＝1 V。圖中：d為兩根傳輸線之間的橫向距離；h1、h2分別為兩根傳輸線距離地面的高度；R為傳輸線兩端的負(fù)載阻抗；r為傳輸線的半徑。為了方便進(jìn)行仿真計(jì)算，令2根傳輸線的半徑相等，并且傳輸線的遠(yuǎn)端與近端的端接阻抗也相同，均為50 Ω。

在實(shí)驗(yàn)設(shè)備的生產(chǎn)與加工中，設(shè)備中的傳輸線的捆扎與布置具有一定的隨機(jī)性，導(dǎo)致上述的傳輸線對地高度h1、h2、傳輸線之間的橫向距離d以及傳輸線的半徑r具有不確定性，可能導(dǎo)致系統(tǒng)的電磁兼容性出現(xiàn)嚴(yán)重的問題，結(jié)合第1節(jié)中介紹的非干涉gPCE建立多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的代理模型并對相關(guān)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。針對實(shí)驗(yàn)設(shè)備中傳輸線可能存在的不確定性，本文將上述的傳輸線對地高度h1、h2、傳輸線之間的橫向距離d以及傳輸線的半徑r 4個(gè)變量設(shè)為隨機(jī)輸入變量，即變量維度n＝4，并令不同的變量服從對應(yīng)的隨機(jī)分布：h1、h2服從服從服從N（0.4 mm，0.1 mm）。

以傳輸線b的遠(yuǎn)端感應(yīng)電流i2為例，采用非干涉gPCE建立圖中多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的代理模型，對i2的相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。本文采用采樣點(diǎn)數(shù)為400的拉丁超立方采樣法。在采用gPCE進(jìn)行計(jì)算時(shí)，模型的計(jì)算準(zhǔn)確度與計(jì)算成本也會(huì)隨著截?cái)嚯A數(shù)P的增加而增加。為了平衡計(jì)算準(zhǔn)確度與計(jì)算效率之間的關(guān)系，需要選取合適的混沌多項(xiàng)式的截?cái)嚯A數(shù)P，因此本文將選取部分截?cái)嚯A數(shù)與MC的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。接下來分別令截?cái)嚯A數(shù)P為2、4以及6，對多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的均值與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算。將傳輸線所處的入射場的頻率范圍設(shè)置為10 MHz～1 GHz，將不同截?cái)嚯A數(shù)P情況下gPCE的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的MC法進(jìn)行對比，MC的仿真次數(shù)為20 000次。對比結(jié)果如圖2（a）、（b）所示。

圖2 感應(yīng)電流i2平均值與標(biāo)準(zhǔn)差對比

由圖2可見，對于傳輸線b的遠(yuǎn)端感應(yīng)電流i2的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算結(jié)果來說，當(dāng)多項(xiàng)式的截?cái)嚯A數(shù)P＝2時(shí)，gPCE的計(jì)算結(jié)果與20 000次蒙特卡洛法的計(jì)算結(jié)果基本一致，并且隨著截?cái)嚯A數(shù)P的增加，兩種方法之間的計(jì)算結(jié)果并沒有明顯的差異，說明當(dāng)截?cái)嚯A數(shù)P＝2時(shí)，gPCE的計(jì)算結(jié)果便達(dá)到了傳統(tǒng)的MC法的計(jì)算準(zhǔn)確度，在接下來的計(jì)算分析中，將截?cái)嚯A數(shù)P設(shè)置為2。

在計(jì)算得到10 MHz～1 GHz頻段中i2的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差之后，針對該頻段中50、200以及800 MHz 3個(gè)頻點(diǎn)處i2的概率密度函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，同上文中一樣，將計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的MC法進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖3所示。由圖3可見，利用gPCE計(jì)算得到的不同頻點(diǎn)處的概率密度函數(shù)與MC的計(jì)算結(jié)果基本一致，并且同時(shí)對比不同頻點(diǎn)處的計(jì)算時(shí)間，見表1。

表1 不同頻點(diǎn)處2種方法計(jì)算時(shí)間對比

圖3 不同頻點(diǎn)處感應(yīng)電流i2概率分布函數(shù)對比

由此可見，gPCE不僅能夠有效地計(jì)算得到多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的概率密度函數(shù)，并且相較于20 000次MC，gPCE所需要的計(jì)算時(shí)間更少，大幅提高了計(jì)算效率。同理，多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_各個(gè)頻點(diǎn)上的概率分布都可以通過上述的方法得到，并且在10 MHz～1 GHz區(qū)間，[μ＋3σ，μ－3σ]也可以作為串?dāng)_響應(yīng)值的上下限，如圖4中的紅色曲線所示。

由圖4可見，MC法仿真得到的曲線大部分都包含在[μ＋3σ，μ－3σ]中，證明[μ＋3σ，μ－3σ]能夠有效地作為串?dāng)_響應(yīng)值的上下限。通過上述計(jì)算分析，證明本文所采用的非干涉gPCE能夠準(zhǔn)確、高效地計(jì)算多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_不確定性問題中涉及到的相關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)，如串?dāng)_感應(yīng)電流（感應(yīng)電壓）的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差與概率分布函數(shù)，在工程應(yīng)用中，可以結(jié)合本文所用方法，對實(shí)驗(yàn)設(shè)備中的傳輸線位置進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)或調(diào)整，盡量減少實(shí)驗(yàn)設(shè)備中傳輸線發(fā)生的電磁兼容現(xiàn)象。

圖4 感應(yīng)電流i2變化范圍

3 結(jié) 語

本文采用非干涉gPCE法對多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_的不確定性進(jìn)行了研究，并得到了準(zhǔn)確的串?dāng)_的相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)，驗(yàn)證了非干涉gPCE的有效性。針對傳輸線對地高度h1、h2，傳輸線間的橫向距離d以及傳輸線半徑r等隨機(jī)輸入變量，建立傳輸線串?dāng)_的代理模型，并利用代理模型計(jì)算得到頻段10 MHz～1 GHz中感應(yīng)電流的均值與標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)參數(shù)，同時(shí)也計(jì)算得到不同頻點(diǎn)處的串?dāng)_概率分布情況。通過與傳統(tǒng)的MC對比可知，本文采用的方法能夠達(dá)到MC的計(jì)算準(zhǔn)確度，并且明顯縮短了計(jì)算時(shí)間，證明本文提出方法在多導(dǎo)體傳輸線串?dāng)_概率分布計(jì)算方面是正確、高效的。