立體幾何問題教學(xué)之我見

喻多彩

摘 要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，其考查了學(xué)生對(duì)空間幾何“點(diǎn)、線、面”的認(rèn)知能力和想象能力，學(xué)生需要有較強(qiáng)的邏輯思維、空間思維，才能清晰地分析相關(guān)的問題題意，進(jìn)行解答，學(xué)習(xí)難度不低。而對(duì)于教師而言，立體幾何問題的教學(xué)也較為棘手，相較于純粹的立體幾何知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，如何能引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建立體幾何的知識(shí)系統(tǒng)，能將空間中立體幾何與數(shù)量關(guān)系反射在腦海中，促使學(xué)生形成空間幾何問題意識(shí)，是教育者教學(xué)的重要目標(biāo)。在新課改推進(jìn)的背景下，有關(guān)立體幾何問題的教學(xué)方式也開始尋求突破，改善原有的教學(xué)模式，提升教學(xué)效果勢(shì)在必行。

關(guān)鍵詞：新課改;高中數(shù)學(xué);立體幾何;空間;平面;教學(xué)

高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)繁雜，涉及各種數(shù)學(xué)定理、空間向量、空間數(shù)量等重點(diǎn)知識(shí)，這類知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生的空間直觀能力、空間想象能力有一定要求。在立體幾何的教學(xué)中，不少高中生反映，僅僅是理解學(xué)習(xí)立體幾何基礎(chǔ)的理論公理，都受到了一定的阻礙，導(dǎo)致許多高中生對(duì)立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)過程產(chǎn)生畏難心理，學(xué)生對(duì)于立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度復(fù)雜。立體幾何的教學(xué)問題也體現(xiàn)在基礎(chǔ)入門難、學(xué)生能力培養(yǎng)難、知識(shí)運(yùn)用實(shí)踐難等各方面，基于此，為了突破立體幾何問題教學(xué)的壁壘，結(jié)合個(gè)人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談一談立體幾何問題教學(xué)的有效措施。

一、聯(lián)系生活實(shí)際增強(qiáng)立體幾何的“點(diǎn)、線、面”基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)

高中生在學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)時(shí)，大多卡在對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)掌握得不夠透徹這一環(huán)節(jié)，沒有建模的意識(shí)，不能準(zhǔn)確理解“點(diǎn)、線、面”空間幾何知識(shí)之間存在的聯(lián)系，容易混淆“點(diǎn)、線、面”等空間幾何的定理、公理、性質(zhì)，導(dǎo)致高中生學(xué)習(xí)過于被動(dòng)，入門難。而導(dǎo)致這一問題的原因在于兩點(diǎn)：一是學(xué)生沒有將立體幾何知識(shí)與生活聯(lián)系，學(xué)生難以在腦海中構(gòu)建立體幾何“模型”，對(duì)于基礎(chǔ)的公理細(xì)節(jié)抓取得不夠精準(zhǔn);二是學(xué)習(xí)任務(wù)較重，高中生即將面臨高考，需要學(xué)習(xí)的科目較多，給予學(xué)生自主思考的時(shí)間較少，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間不足。而針對(duì)這兩點(diǎn)問題，教師也同樣可以從兩個(gè)方面改善：一方面是在課堂教學(xué)中，根據(jù)課標(biāo)和教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置一定的生活化情景，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己的生活，構(gòu)建“點(diǎn)、線、面”的基礎(chǔ)“模型”，即引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步建模，樹立建模思想，更快地理解立體幾何知識(shí)的基礎(chǔ)公理;另一方面，教師適當(dāng)?shù)亓舫鲆欢ǖ恼n堂思考時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生自己羅列、理清立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，透徹地掌握理論要點(diǎn)，踏實(shí)地入門立體幾何的學(xué)習(xí)。

例如：在人教B版高中數(shù)學(xué)必修四“構(gòu)成空間幾何體的基本元素”的教學(xué)中，這節(jié)課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生能夠掌握空間中點(diǎn)、線、面之間的相互關(guān)系及位置關(guān)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度在于用集合的角度、運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度解釋點(diǎn)、線、面相互關(guān)系，而學(xué)生理解的前提是能夠在腦海中構(gòu)建有關(guān)“點(diǎn)、線、面”的模型，教師可以先利用多媒體展示一個(gè)生活中常見的幾何體圖片，如長方體的建筑，紙巾盒等，展示幾何體的空間透視圖，通過具象化的幾何體，來理解空間幾何體的基本元素“點(diǎn)、線、面”，讓學(xué)生聯(lián)系自己的生活進(jìn)行建模，并在建模中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、線、面與“集合”知識(shí)點(diǎn)的共性，能夠運(yùn)用集合角度解釋點(diǎn)、線、面之間的互相關(guān)系。之后留出一定的時(shí)間，讓學(xué)生思考生活中常見的幾何體中點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系有哪些？平行、垂直、相交等，促使學(xué)生逐漸從形象思維建模轉(zhuǎn)化為空間思維建模。最后，結(jié)合新課程的教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生站在運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度解釋“點(diǎn)、線、面”關(guān)系，結(jié)合自己的建模意識(shí)，在腦海中構(gòu)建“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”的模型，促使學(xué)生對(duì)立體幾何初步知識(shí)有深刻的認(rèn)知和掌握，初步形成立體幾何的建模思想，更快速地學(xué)習(xí)理論知識(shí)，提高立體幾何的教學(xué)質(zhì)量。

二、通過畫圖加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生立體幾何的空間想象、空間思維能力

立體幾何的學(xué)習(xí)難度還體現(xiàn)在其“三維空間”的性質(zhì)，學(xué)生如果沒有較強(qiáng)的空間想象、空間思維能力，很難對(duì)立體幾何知識(shí)的相關(guān)問題進(jìn)行一個(gè)直觀的理解和分析，不利于高中生之后遇到更為復(fù)雜幾何體的學(xué)習(xí)。結(jié)合數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想，分析幾何的三維空間問題，是高中立體幾何教學(xué)的重要方式，引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)畫圖，是培養(yǎng)學(xué)生立體幾何直觀能力、促使學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)、解題的重要舉措。在課標(biāo)立體幾何初步的教學(xué)目標(biāo)中，針對(duì)空間幾何體的畫法還有專門的課時(shí)授課，由此可見，訓(xùn)練學(xué)生的空間幾何的畫圖能力的重要性。教師在具體的立體幾何問題教學(xué)中，可以針對(duì)學(xué)生的畫圖能力設(shè)置一定的任務(wù)，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)高中生仔細(xì)觀察幾何體的空間性質(zhì)，能夠自主完成幾何體的圖形繪制，在學(xué)生畫圖的過程中，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生立體幾何的空間思維能力，形成一定的立體空間感，讓學(xué)生能夠直接針對(duì)立體幾何問題畫出直觀示意圖，為學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想打好基礎(chǔ)，簡(jiǎn)化立體幾何問題的難度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如：在人教B版高中數(shù)學(xué)必修四“空間幾何體與斜二測(cè)畫法”的教學(xué)中，專門針對(duì)幾何體的空間畫法進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)的重點(diǎn)目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)斜二測(cè)畫法，并能運(yùn)用畫法繪制平面圖形和幾何體的直觀圖，提升學(xué)生的直觀想象、空間思維能力，融合數(shù)形結(jié)合的思想學(xué)習(xí)立體幾何的知識(shí)，分析立體幾何空間性質(zhì)和表現(xiàn)。教師可以展示教學(xué)學(xué)具——長方體，讓學(xué)生先根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，在紙上試著繪制一個(gè)長方體，談一談自己如何繪制長方體的平面圖？啟發(fā)學(xué)生思考，從不同的角度觀察學(xué)具，觀察長方體一個(gè)側(cè)面圖形在不同的視角下發(fā)生的變化？教師展示運(yùn)用斜二測(cè)畫法繪制長方體側(cè)面“長方形”圖形直觀圖過程，引導(dǎo)學(xué)生操作，促使學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握平面圖形直觀圖的具體方法。隨后教師讓學(xué)生根據(jù)斜二測(cè)畫法建立坐標(biāo)x、y、z軸，并設(shè)置任務(wù)課題，讓學(xué)生探究長方體的直觀圖的畫法，促使學(xué)生掌握用斜二測(cè)畫法繪制幾何體直觀圖的具體步驟，逐漸構(gòu)建一定的空間思維能力。為了訓(xùn)練學(xué)生立體幾何空間畫圖能力，教師可以最后展示幾個(gè)“組合幾何體的三視圖”，讓學(xué)生試著運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合斜二測(cè)畫法繪圖步驟繪制組合幾何體，通過實(shí)際的畫圖操作，提升學(xué)生空間思維能力。

三、通過合作交流引導(dǎo)學(xué)生多角度思考立體幾何問題

高中立體幾何教學(xué)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)難度高，傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，教師為了加快學(xué)生的學(xué)習(xí)速度，節(jié)省教學(xué)時(shí)間，增加學(xué)生的練習(xí)時(shí)間。教師在實(shí)施教學(xué)時(shí)，擅長“擠壓式”的教學(xué)，推著學(xué)生先“囫圇吞棗”式的學(xué)習(xí)新知，然后通過大量的刷題來提高學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)的掌握程度，這種模式無疑是拔苗助長，不利于學(xué)會(huì)構(gòu)建立體幾何知識(shí)系統(tǒng)，要知道高中生對(duì)于立體幾何問題的學(xué)習(xí)，存在著較大的差異性，這與學(xué)生的思維方式、學(xué)習(xí)能力的不同有著直接的關(guān)系，“擠壓式”的學(xué)習(xí)可能會(huì)直接限制了學(xué)生多向思維的發(fā)展，不利于高中生自主化的學(xué)習(xí)，這與課標(biāo)倡導(dǎo)的“學(xué)生主體學(xué)習(xí)”的理念相背離。而要改善這類問題，必定要為學(xué)生提供一個(gè)和諧交流的環(huán)境，讓學(xué)生能夠在立體幾何教學(xué)的課堂上各抒己見，相互探討，教師可以將“教師主導(dǎo)練習(xí)式”的教學(xué)轉(zhuǎn)化為“學(xué)生自由式學(xué)習(xí)”的教學(xué)模式，引導(dǎo)高中生建立合作關(guān)系，能夠針對(duì)立體幾何知識(shí)、問題提出各種思考，促使學(xué)生多角度思考立體幾何問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。

例如：在人教B版高中數(shù)學(xué)必修四“棱錐與棱臺(tái)”的教學(xué)中，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生能夠掌握棱錐與棱臺(tái)的有關(guān)定義、性質(zhì)，這一課時(shí)是一個(gè)重要的考點(diǎn)，尤其是有關(guān)正棱錐、正棱臺(tái)的面積計(jì)算問題容易變化出現(xiàn)。教師為了提升學(xué)生的解題能力，會(huì)讓學(xué)生大量的刷題，而忽視了學(xué)生思考過程，教學(xué)中缺乏互動(dòng)，但是無論是否有關(guān)考點(diǎn)問題，教師都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生一步一步打好基礎(chǔ)，先對(duì)棱錐與棱臺(tái)基礎(chǔ)立體幾何概念、定義、截面、表面積等知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，然后設(shè)置相關(guān)的練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系課堂所學(xué)的知識(shí)，進(jìn)行討論。教師在教學(xué)中要善于拓展例題，讓學(xué)生對(duì)例題展開多方面的思考，如針對(duì)正棱錐的計(jì)算問題，教師設(shè)置例題：“正四棱錐P-ABCD中（圖一），設(shè)底面邊長為2，側(cè)棱長為3，求棱錐的斜高與高”，同樣一道例題，讓不同的學(xué)生解答，會(huì)有不同的解題思路，教師引導(dǎo)學(xué)生組成小組合作的模式，共同探討這道例題的解決方法。在討論中學(xué)生交流思想，發(fā)現(xiàn)可以通過在直角三角形PBM中，先計(jì)算PM的值，再結(jié)合直角三角形POM，得出PO的值。而其他學(xué)生則另辟蹊徑，通過直角三角形ABD中的視角，先求解出BD的長度，再結(jié)合直角三角形POB，求解PO的值。正棱錐的特殊性質(zhì)，讓例題的解答思路多樣，學(xué)生在交流合作中逐漸學(xué)會(huì)多角度思考立體幾何問題，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

四、設(shè)置分層問題提升學(xué)生對(duì)幾何立體知識(shí)的運(yùn)用能力

設(shè)置問題是測(cè)驗(yàn)學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)程度的重要手段，是考查學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)運(yùn)用能力的方式。教師在立體幾何問題教學(xué)中，隨堂設(shè)置問題，可以促使學(xué)生對(duì)所學(xué)的立體幾何知識(shí)進(jìn)行回顧和鞏固，提升學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力。設(shè)置拓展問題，則可以提升學(xué)生的立體幾何解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題能力。教師可以在立體幾何問題教學(xué)之后，利用信息技術(shù)工具布置相關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主的思考，歸納出適合自己的解題思路。需要注意的是，教師設(shè)置的問題要關(guān)注學(xué)生之間的差異性，結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容，針對(duì)學(xué)生學(xué)生能力的差異性，布置層次化的數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生的立體幾何解題能力都能得到加強(qiáng)。

仍以人教B版高中數(shù)學(xué)必修四“棱錐與棱臺(tái)”的教學(xué)為例，在進(jìn)行完整的授課結(jié)束之后，教師可以在進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)講解時(shí)，布置一些隨堂的練習(xí)例題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用。而在課時(shí)結(jié)束之后，教師針對(duì)本課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，可以設(shè)計(jì)一套練習(xí)專題。結(jié)合學(xué)生立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的層次差異，教師可在專題中設(shè)置三個(gè)層次化的模塊，分別是“合格基礎(chǔ)訓(xùn)練”“難度提升訓(xùn)練”“拓展變式訓(xùn)練”。“合格基礎(chǔ)訓(xùn)練”難度較低，主要是針對(duì)棱錐與棱臺(tái)的概念、性質(zhì)判定、簡(jiǎn)單的表面積、長度的計(jì)算;“難度提升訓(xùn)練”則是針對(duì)學(xué)生是否能將“立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形，靈活運(yùn)用棱錐與棱臺(tái)相關(guān)知識(shí)”這方面能力進(jìn)行設(shè)計(jì)，難度提升;“拓展變式訓(xùn)練”則是比較綜合性的問題，主要為一些拓展棱錐棱臺(tái)與其他幾何體的組合幾何體問題，難度高，而這三個(gè)模塊的題量分別占據(jù)練習(xí)專題60%、30%、10%。通過設(shè)置層次化專題練習(xí)題，提升學(xué)生的立體幾何知識(shí)的運(yùn)用能力。

結(jié)束語

立體幾何教學(xué)一直是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)，對(duì)于廣大的教育者而言都是一個(gè)挑戰(zhàn)，教育者需要融合課標(biāo)教育要求，針對(duì)學(xué)生制訂創(chuàng)新的教學(xué)策略，在不斷地實(shí)踐中，找出一條適合高中生學(xué)習(xí)的教學(xué)道路，從而能夠改善教學(xué)中存在的諸多問題，提升學(xué)生空間思維、知識(shí)遷移能力，訓(xùn)練學(xué)生的直觀能力，提高學(xué)生立體幾何知識(shí)的運(yùn)用能力，促使立體幾何教學(xué)行之有效。

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