基于邊值關系的面電流定義的重構

曹宏遠，宋玲玲

（合肥工業(yè)大學 微電子學院，安徽 合肥230009）

0 引言

在場論中，電流I是一個通量，描述的是單位時間內(nèi)通過某導體截面的電荷量。為了描述導電媒質(zhì)中不同點的電荷運動情況，還需要引入電流密度的概念［1］。電流依據(jù)分布形態(tài)可分為體電流、面電流和線電流，相應地有（體）電流密度、面電流密度［1］。其中，體電流密度出現(xiàn)在麥克斯韋方程組第一式（），是磁場的渦旋源；而面電流密度出現(xiàn)在磁場強度的邊值關系上（），它是導致場強切向分量在分界面上發(fā)生突變的場源。

然而，教材中在介紹面電流時，只是由體電流進行類比，然后直接給出面電流密度的公式，并沒有講述引入面電流的原因以及面電流與體電流之間的聯(lián)系［1～3］。上述做法導致學生們認為：面電流就是存在于二維幾何面上的電流，完全不同于體電流，是一個獨立的物理量；當涉及到不同媒質(zhì)分界面處存在切向電流密度突變時，媒質(zhì)分界面上面電流密度等于切向電流密度之差。此外，教材中還曾提到，只有理想導體表面存在面電流，那么工程中應用的面電流又是什么呢［4～6］？

關于這些不準確的認識和困惑，本質(zhì)上是初學者對面電流的定義沒有形成清晰的物理圖像。本文將從場強?邊值關系的推演及面電流應用兩個方面，構建面電流的物理圖像，指出它與體電流的關聯(lián)，為初學者及相關的工程技術人員的正確應用提供理論依據(jù)。

1 磁場強度邊值關系的推演

圖1所示是媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的分界面。 為分界面法向單位矢量，由介質(zhì)1指向介質(zhì)2。場強由1區(qū)穿過分界面進入2區(qū)，在分界面周圍取一個矩形閉合回路，兩個長邊分別在兩種介質(zhì)內(nèi)并且與界面平行，長度為Δl（是一個小量，在這個小量上，場強視為常量），兩個短邊與界面垂直，長度為Δh（是一個高階無窮小量）。

圖1 磁場切向分量邊界條件

圖上，與分界面平行的方向都可以稱之為切向，在有面電流存在的情況下，矩形回路所在平面并不一定與垂直，為推導方便，取矩形回路的法向單位矢量為，此處要求垂直，但不要求平行，可寫成［7］。把積分形式的麥克斯韋方程組第一式應用于此閉合路徑，有：

物理上，Δh→0描述的是一個無限靠近二維分界面的鄰域，它是一個空間域，如圖2（a）所示，對應到微觀結構，這個空間域指的是1區(qū)、2區(qū)靠近分界面的幾個分子層厚度的薄層，是媒質(zhì)分界面的真實形態(tài)。若ΔI≠0，電流是分布在這個薄層里，從微觀看，仍然是體電流，不是分布在二維幾何面（Δh=0）上的電流。由于實驗上所能測量的是宏觀小微觀大的一個區(qū)域內(nèi)的物理量的平均值，可以將薄層內(nèi)電荷的運動等效為集中在二維分界面（Δh=0）上的電流，如圖2（b）所示。

圖2 分界面處面電流的形態(tài)

為了更細致的描述它在分界面上運動的特點，引入面電流密度定義：

依據(jù)上述分析可知面電流是一種特殊形式的體電流，二者并不完全獨立，因此，在分界面處不存在電流突變，這是與工程上的認識是一致的。那么，在分界面處是否存在電流密度突變？電流密度突變會是否導致面電流密度的產(chǎn)生？通過對在兩種導電媒質(zhì)分界面上電場強度的邊值關系再推演，進一步闡述這些問題。

2 兩種導電媒質(zhì)的分界面

推導電場切向邊值關系時用到了麥克斯韋方程組第二式的積分形式：

（11）式可視為麥克斯韋方程組第一式的特例，即相當于第一式中=0的情況，于是可得：

圖3 電導率有限的導電媒質(zhì)分界面

積分結果可以表示為I，代表從分界面的鄰域流出的電流。當Δh→0時，被積函數(shù)為有限值，I=0，因此沒有電流從分界面上流出，即不存在面電流。通過上述證明可知切向電流密度突變并不一定會導致面電流密度產(chǎn)生，兩者之間沒有因果關系。

事實上，切向電流密度的突變以及面電流的產(chǎn)生都是由于在物理上常常將分布在媒質(zhì)表面鄰域內(nèi)的薄層等效為二維平面所導致的，兩者的區(qū)別在于切向電流密度的突變在兩種導電媒質(zhì)的分界面必然存在，而面電流必須在理想導體表面才會存在。

3 面電流的應用

電導率σ→∞的理想導體表面，切向電流密度之差趨于無窮大，由（13）式可知理想導體表面存在面電流。雖然理想導體實際上是不存在的，但它卻是一個非常有用的概念，例如電磁波入射到金屬表面時，幾乎是全反射，如果忽略折射到金屬內(nèi)部的電磁波功率，則金屬表面可以用理想導體表面代替，簡化邊值問題的分析［9］。此時，依據(jù)場強的邊值關系，電磁波在金屬表面就會感應出面電流密度。這種簡化過程，也符合物理實際-趨膚效應。當導體中有交流電或者交變電磁場時，導體內(nèi)部的電流分布不均勻，若頻率足夠高，且電導率足夠大，電流就會集中在導體外表的薄層，導線內(nèi)部實際上電流幾乎為0，在宏觀上，可以將其看成面電流分布［1］。

在工程上，面電流是一個廣泛使用的物理量，例如，一個密繞的螺線管中的電流可以看成面電流；通過面電流傳感器測試和研究金屬殼體的電流；構建精確的面電流分布模型實現(xiàn)螺旋線行波管的優(yōu)化設計等等［5～6］。

面電流分布的另一個例子是磁性物質(zhì)表面的磁化電流［2］。當介質(zhì)被磁化后，內(nèi)部分子磁矩都有一定的取向，在磁介質(zhì)內(nèi)部，分子電流相互抵消；靠近磁介質(zhì)表面，分子電流則構成宏觀的磁化電流面分布。磁化面電流實際上是靠近表面相當多分子電流的平均宏觀效應。

4 結語

本文針對現(xiàn)有的一些電磁場教材在講述面電流時有所含混不清的情況，從相關場強的邊值關系的推導出發(fā)，詳細梳理了面電流的由來，構建了面電流清晰的物理圖像，并澄清了不同媒質(zhì)分界處存在切向電流密度突變時，分界面上面電流密度的情況，有助于讀者對相關知識的深入理解與應用。

物理上常常將媒質(zhì)表面鄰域的薄層等效為二維平面，將分布在薄層內(nèi)的體電流等效為二維面電流，面電流密度則強調(diào)電荷在面空間上的運動和分布。在不同媒質(zhì)的分界面上雖然存在切向電流密度突變，但并不一定存在面電流，只有當切向電流密度之差趨于無窮大，即理想導體表面上存在面電流。因此在學習過程中絕不能把切向電流密度之差當作面電流密度的值。雖然理想導體實際上并不存在，但它卻是一個非常有用的概念。在工程上合理使用面電流這一物理量，將簡化實際電磁現(xiàn)象問題的分析。