鐘愛瓊
【摘要】靈活運(yùn)用運(yùn)算定律可以對(duì)較復(fù)雜的算式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)從四年級(jí)下冊(cè)開始安排了加法運(yùn)算定律、乘法運(yùn)算定律以及減法和除法性質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容,內(nèi)容全面,難度也較大。學(xué)好這部分知識(shí),不僅能夠幫助學(xué)生輕松靈活地解決一些較復(fù)雜的整數(shù)四則運(yùn)算,也為后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。而簡(jiǎn)便計(jì)算作為一種計(jì)算方法,它不僅能夠提高學(xué)生的計(jì)算能力和解決實(shí)際問題的能力,還能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感和數(shù)學(xué)意識(shí)。因此,怎樣提高簡(jiǎn)便計(jì)算能力值得我們思考和研究。本文主要分析當(dāng)前筆者所教的小學(xué)四年級(jí)學(xué)生整數(shù)簡(jiǎn)便計(jì)算的現(xiàn)狀,并提出了有關(guān)教學(xué)策略。
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);簡(jiǎn)便計(jì)算;運(yùn)算定律;能力;策略
簡(jiǎn)便計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的基本內(nèi)容,能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和提高學(xué)生的運(yùn)算速度。人教版數(shù)學(xué)小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第三單元《運(yùn)算定律》安排了加法運(yùn)算定律、乘法運(yùn)算定律以及減法和除法性質(zhì)等教學(xué)內(nèi)容。其中,加法運(yùn)算定律有交換律和結(jié)合律,乘法運(yùn)算定律有交換律、結(jié)合律以及分配律,還有連減、連除性質(zhì)各兩條,總共有九條。對(duì)于剛接觸簡(jiǎn)便計(jì)算的小學(xué)生來說,難度還是很大的。根據(jù)筆者對(duì)所教學(xué)生的了解,他們主要會(huì)出現(xiàn)以下幾種錯(cuò)誤。
一、乘法結(jié)合律與分配律容易混淆
乘法結(jié)合律的定義是:三個(gè)數(shù)相乘,先乘前兩個(gè)數(shù),或者先乘后兩個(gè)數(shù),積不變。用字母表示為:(a×b)×
c=a×(b×c);乘法分配律的定義是:兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘,可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘,再相加。用字母表示為:(a+b)×c=a×c+b×c。從定義上看,結(jié)合律和分配律是有明顯的區(qū)別。但是,學(xué)生往往在做題時(shí)容易混淆。例如,125×48,這道題比較開放,可以將48轉(zhuǎn)化為6×8,也可以是40+8,目的都是要出現(xiàn)8。
125×48? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 125×48
=125×8×6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=125×(8+40)
=1000×6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=125×8+125×40
=6000? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =1000+5000
=6000
顯然,前者是乘法結(jié)合律的做法,后者是分配律的做法,都是正確的,結(jié)果都是一樣。但是,有學(xué)生會(huì)這樣做:
125×48? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或者? 125×48
=125×(8×6)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=125×(8+40)
=125×8×125×6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =125×8×40
=1000×750? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=1000×40
=750000? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =40000
很明顯,這是將乘法結(jié)合律和乘法分配律混淆。造成混淆主要還是對(duì)兩個(gè)運(yùn)算律的定義和特征理解模糊,單憑記憶,往往就覺得差不多。因此,在遇到這類開放式的題目時(shí)就容易亂套公式了。
二、對(duì)乘法分配律的概念理解不透徹
筆者認(rèn)為,乘法分配律在眾多的運(yùn)算律中難度是最大的,不僅是它的公式最長(zhǎng),還在于它是最靈活多變的,而且公式兩邊的變化也是最大的。原始的公式是(a+b)×c=
a×c+b×c。還可以延伸為多個(gè)變形公式:(a-b)×c=
a×c-b×c;(a+b+d)×c=a×c+b×c+d×c;a×c+c=(a+1)×c,
等等。對(duì)于剛接觸乘法分配律的四年級(jí)小學(xué)生來說,大部分學(xué)生對(duì)于這些公式還是會(huì)很模糊。學(xué)生常會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤:
① 56×102? ? ? ? ②? 35×67+35×34-35? ? ?③? 99×87
=56×(100+2)? ? ?=(67+34)35-35? ? ? ? ? ?=(99+1)87
=56×100+2? ? ? ? ? ? =101×35-35? ? ? ? ? ? ? ? ? =100×87
=5600+2? ? ? ? ? ? ? ? ? =3535-35? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =8700
=5602? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =3500
此外,還有些基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生遇到這些題目時(shí)更是不知從何入手。對(duì)這些順向的乘法分配律形式和變式題,出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤主要原因是學(xué)生對(duì)乘法分配律的概念理解不透徹,只記住了部分形式,沒有完全理解,對(duì)于題目的差別缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎迹瑢?dǎo)致運(yùn)用時(shí)錯(cuò)漏百出。
三、減法性質(zhì)特征不明晰
減法性質(zhì)有兩個(gè),用字母表示分別為a-b-c=a-c-b,a-b-c=a-(b+c),對(duì)于前面一個(gè)性質(zhì),學(xué)生基本能掌握。但是,如果算式中還有加法的話,學(xué)生又會(huì)出錯(cuò)了。第二個(gè)性質(zhì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤往往是忘記改變符號(hào)。常出現(xiàn)的錯(cuò)誤如下:
① 672-36+64? ? ? ? ?② 65+35-65+35? ? ? ? ? ? ③ 879-(379-236)
=672-(36+64)? ? ? ?=65+35-(65+35)? ? ? ? ?=879-379-236
=672-100? ? ? ? ? ? ? ? ? =100-100? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=500-236
=572? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =264
出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的主要原因還是對(duì)減法的性質(zhì)掌握不夠,對(duì)性質(zhì)的基本特征不明晰,急于計(jì)算。例如,上面列舉的① ②,學(xué)生一看到“36+64,65+35”就馬上忘乎所以了,急于湊百,卻沒看到前面的“-”號(hào),對(duì)題目的觀察不仔細(xì)。
針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的這些錯(cuò)誤,對(duì)于如何提高學(xué)生簡(jiǎn)便計(jì)算的能力,筆者作了一些思考,并根據(jù)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的心理特點(diǎn),提出了幾點(diǎn)策略:
策略一:巧記關(guān)鍵組合,幫助計(jì)算
眾所周知,簡(jiǎn)便計(jì)算是為了將復(fù)雜的算式通過適當(dāng)變形簡(jiǎn)單化,而簡(jiǎn)便計(jì)算的關(guān)鍵還在于湊整、湊百。記住幾個(gè)關(guān)鍵的組合,25與4,125與8,50與2,會(huì)對(duì)解決乘法結(jié)合律起到很大的作用。如,當(dāng)看到125×64這個(gè)算式時(shí),應(yīng)當(dāng)馬上想到“125與8”是組合,因此,就想到在64里面能否變成與8有關(guān)的式子“8×8=64”。于是,寫成125×64=125×8×8。這樣,答案口算就能出來了。再如,16×25×5×4,看上去數(shù)字很多、很復(fù)雜,但是不要心慌,只要再仔細(xì)觀察,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),25與4是組合,相乘是100。那么,則可以寫成:16×25×5×4=(25×4)×(16×5),那接下來的計(jì)算也是很容易的事情了。
策略二:借助數(shù)形結(jié)合,理解分配律的算理,構(gòu)建模型
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,可以使抽象思維變成形象思維,使得某些抽象復(fù)雜的問題直觀化、生動(dòng)化,從而起到優(yōu)化解題思路的目的。在理解乘法分配律方面,我們也可以借助數(shù)形結(jié)合。
1.用組合圖形的面積表示乘法對(duì)加法的分配律
如圖所示:求整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積。
方法一:先分別求出兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積,再相加。
列式:a×c+b×c
方法二:先求出組合圖形的長(zhǎng),即大長(zhǎng)方形的長(zhǎng),再求大長(zhǎng)方形的面積。
列式:(a+b)×c
因?yàn)閮蓚€(gè)式子都是求同一圖形的面積,所以a×c+b×c=(a+b)×c.
2.用陰影部分的面積表示乘法對(duì)減法的分配律
如圖所示:
方法一:先分別求出大長(zhǎng)方形面積和小長(zhǎng)方形面積,面積差即為陰影部分的面積。
列式:a×c-b×c
方法二:先求出陰影部分的長(zhǎng),再與寬相乘,直接求出陰影部分的面積。
列式:(a-b)×c
因?yàn)閮蓚€(gè)式子都是求同一陰影部分的面積,所以a×c-b×c=(a-b)×c
而對(duì)于另外兩個(gè)變式,也是在以上等式基礎(chǔ)上做變化的,可以對(duì)上圖稍作變化,如下圖,求大長(zhǎng)方形的面積。
即得:(a+b+d)×c=a×c+b×c+d×c,而a×c+c=(a+1)×c,可以看作是(a+b)×c=a×c+b×c中當(dāng)b=1的時(shí)候而成的。
數(shù)形結(jié)合能及時(shí)恰當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生提供形象材料,把抽象的知識(shí)直觀化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,很多問題就會(huì)迎刃而解。
策略三:結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn),領(lǐng)悟減法性質(zhì)
《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)聯(lián)系生活,關(guān)注數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)背景,體現(xiàn)數(shù)學(xué)回歸生活。例如,在理解減法性質(zhì)時(shí)可以與買東西聯(lián)系一起。
創(chuàng)設(shè)情景:你和媽媽拿著100元去文具店買東西,買了一個(gè)筆盒15元,你們先去付錢,還剩多少錢?列式是100-15=85元,但是你們沒有馬上離開,繼續(xù)看了一下,發(fā)現(xiàn)一本很漂亮的筆記本,媽媽又買給你,筆記本售價(jià)5元。這時(shí),你們還剩多少錢呢?列式是85-5=80元。綜合算式為:100-15-5。接著,教師再引導(dǎo)學(xué)生們回想整個(gè)事件,發(fā)現(xiàn)除了這樣付錢,還可以怎樣呢?學(xué)生很快想到,想買筆盒的時(shí)候可以先不用急著付錢,再逛一下,發(fā)現(xiàn)還想買本筆記本,然后兩樣文具一起付錢。商店老板肯定是算筆盒和筆記本的總價(jià)的:15+5=20元。所以,媽媽拿100元付錢,則列式為100-(15+5)。因此,我們得到了100-15-5=100-(15+5),即一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù),等于一個(gè)數(shù)減去這兩個(gè)數(shù)的和,用字母表示為a-b-c=a-(b+c)。減法性質(zhì)可以通過生活中的例子理解掌握了。這讓學(xué)生體會(huì)了為什么加小括號(hào),括號(hào)里面的算式要不要改變符號(hào)。
簡(jiǎn)便計(jì)算的樣式多種多樣,若想能正確解決,最主要還是要理解、掌握每個(gè)運(yùn)算定律的特征和意義。巧記關(guān)鍵組合,借助數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建模型,結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)、領(lǐng)悟性質(zhì)等策略可以幫助學(xué)生理解并在理解的基礎(chǔ)上記住。這樣不僅能靈活解決簡(jiǎn)便計(jì)算,也為后續(xù)學(xué)習(xí)的小數(shù)、分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)便計(jì)算做好鋪墊。同時(shí),有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā),使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿樂趣。
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責(zé)任編輯? 溫鐵雄