基本事實(shí)的教學(xué)實(shí)踐與思考*
——以“探索直線平行的條件(1)”為例

鐘 鳴 (江蘇省無錫市西漳中學(xué) 214171)

初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的9條基本事實(shí)的教學(xué)，在一線教學(xué)中給執(zhí)教者帶來很大的困惑.這9條基本事實(shí)是反映“圖形與幾何”領(lǐng)域最基本的規(guī)律或特點(diǎn)的、經(jīng)過長期實(shí)踐的檢驗(yàn)得到普遍認(rèn)可的、無需證明的事實(shí).正因如此，它們的教學(xué)不同于常見的幾何內(nèi)容教學(xué).無需證明怎樣讓學(xué)生理解？怎樣設(shè)計(jì)教學(xué)才能讓學(xué)生理解其基本內(nèi)容、基本作用和基本地位？筆者在設(shè)計(jì)和執(zhí)教蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七下“7.1探索直線平行的條件(1)”時，進(jìn)行了兩次不同的教學(xué)實(shí)踐，通過對比，對此有了一些基本認(rèn)識，作一分享，求教方家.

1 對基本事實(shí)的分析

基本事實(shí)是“公理”的演變.公理是經(jīng)過人類長期反復(fù)的實(shí)踐檢驗(yàn)為真實(shí)的、不需要由其他命題證明的命題和原理.從本質(zhì)上看，公理是某個演繹系統(tǒng)的初始命題，是推出該系統(tǒng)內(nèi)其他命題的基本命題，在該系統(tǒng)內(nèi)不需要其他命題來證明它.為了降低教學(xué)難度適應(yīng)初中生認(rèn)知水平，在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中，把一些重要的但證明的難度較大的定理也作為公理，并且用“基本事實(shí)”一詞代替“公理”，體現(xiàn)了“教育數(shù)學(xué)”的理念.初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”部分的“基本事實(shí)”在蘇科版教材中的分布如表1：

表1 蘇科版初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中基本事實(shí)分布表

從“基本事實(shí)”的來源看，它具有可感知性(借助于感覺器官可以感知)、真實(shí)性(借助于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)或動手操作可以驗(yàn)證其合理性)、基礎(chǔ)性(能作為數(shù)學(xué)某個子系統(tǒng)的初始命題)[1].這就要求基本事實(shí)的教學(xué)要注重：設(shè)計(jì)自然有效的探究活動,經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)化過程；目標(biāo)定位側(cè)重于“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”；重視基本思想的感悟和基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累.

2 教材解讀

“探索直線平行的條件(1)”是蘇科版教材七年級下冊第7章第一節(jié)第一課時，主要知識內(nèi)容是“同位角概念”和“基本事實(shí)5”.

“同位角”的產(chǎn)生有著確定的根源.兩直線相交產(chǎn)生4個角，區(qū)分為兩組對頂角、4個平角，他們之間存在確定的數(shù)量關(guān)系，“知一求三”是其典型特點(diǎn)，所以只要選擇一個角作為代表即可.兩條直線被第三條直線所截，當(dāng)我們關(guān)注兩個交點(diǎn)處的時候，就可以選擇2個角作為代表來進(jìn)行研究.這2個角相對于三條直線的相對位置的特點(diǎn)，就決定了“同位角”“同旁內(nèi)角”“內(nèi)錯角”三類角的產(chǎn)生.本節(jié)課主要研究第一類角——同位角.

“基本事實(shí)5”的“可感知性”“真實(shí)性”有著現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生所熟悉的用三角尺和直尺畫平行線，其數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)就是構(gòu)造“同位角相等”的基本圖形.木條作為學(xué)具使用，學(xué)生具身參與，更突出了“可感知性”和“真實(shí)性”.教材先以“用三角尺和直尺畫平行線”為問題情景1，讓學(xué)生感受對應(yīng)角的相等數(shù)量關(guān)系可以得到兩直線平行，再以“轉(zhuǎn)動木條”為問題情景2，強(qiáng)化感受不等的兩角不能得平行，相等的兩角可以得到兩直線平行，從而對這兩角進(jìn)行觀察、比較、認(rèn)識，在命名這組角的基礎(chǔ)上歸納直線平行的第一個條件，即基本事實(shí)5：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.”

3 問題困惑

在實(shí)際教學(xué)中，很多教師往往感到很無奈，在問題情景1中學(xué)生從畫平行線到注意到對應(yīng)角的關(guān)系很困難，最后還是由教師給出.更甚者，認(rèn)為這就是一個基本事實(shí)，直接告訴就好，把時間花在對同位角的辨別以及基本事實(shí)的應(yīng)用上更實(shí)在、更有用.

事實(shí)上，我們需要深入思考：

①本節(jié)課探究的意義何在？因?yàn)?，哪怕直接給出這一事實(shí)，然后讓學(xué)生多練練，掌握這個基本事實(shí)是沒有問題的.

②對于這節(jié)課而言，課時目標(biāo)定位重點(diǎn)是“知識技能”層面還是“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”層面？

4 教學(xué)實(shí)踐

4.1 教學(xué)實(shí)踐1

活動1 請你用三角尺和直尺畫出兩條平行的直線.

設(shè)計(jì)意圖此前學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中利用三角尺和直尺畫平行線，在初一第二學(xué)期學(xué)習(xí)第六章《平面圖形的認(rèn)識(一)》時也經(jīng)歷過用三角尺和直尺畫出平行線，操作經(jīng)驗(yàn)豐富，以此作為生長點(diǎn)探索直線平行條件更加自然.

實(shí)際狀況：學(xué)生能很快畫出平移直角的圖形，平移其他角的情形需要教師提醒.出現(xiàn)這樣的狀況說明學(xué)生沒有把兩直線平行跟平移角的類型聯(lián)系起來，只是憑著以往的經(jīng)驗(yàn)直覺以及直角的方便，而忽略了平移角的其他類型.如果此時就問為什么兩直線平行，學(xué)生會一頭霧水.

問題1剛才的操作過程中，如果要保留一些必要的幾何元素，你認(rèn)為保留哪些呢？能畫出圖形嗎？

設(shè)計(jì)意圖從數(shù)學(xué)活動中抽象出幾何圖形，是培養(yǎng)“空間觀念”的具體方式，是“數(shù)學(xué)化”的過程.從情景中抽象出數(shù)學(xué)元素，然后尋找突破口解決問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要本領(lǐng).

實(shí)際狀況：學(xué)生只保留了兩條平行線.此時需要教師還原操作過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直尺的作用，從而能完成“兩條直線被第三條直線所截”的幾何圖形的抽象過程.

問題2有了直尺所代表的第三條直線的加入，這個圖形中多了哪些幾何對象？

設(shè)計(jì)意圖將學(xué)生的觀察點(diǎn)向角的方向轉(zhuǎn)移，也為同位角的產(chǎn)生前提(兩直線被第三條直線所截)做好鋪墊.同時有了上述兩個問題的鋪墊，學(xué)生自然而然地想到了與角有關(guān)，即直尺不動，三角尺在平移過程中，其對應(yīng)角的大小不變.也就是說畫平行線的過程實(shí)際上是畫相等角的過程.

問題3圖中的∠1=∠2(即對應(yīng)角相等，圖略)，它們的度數(shù)分別是60°，30°，90°，45°，那對于其他角度的這樣的對應(yīng)角相等，是否也有上面的結(jié)論呢？

設(shè)計(jì)意圖從特殊到一般地進(jìn)行推廣，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷歸納猜想的過程，體驗(yàn)歸納推理，在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

活動2 (操作驗(yàn)證)如圖1，三根木條相交成∠1，∠2，固定木條b和c，逆時針轉(zhuǎn)動木條a,觀察：在木條a的轉(zhuǎn)動過程中，∠1與∠2的大小關(guān)系發(fā)生了什么變化？木條a和b的位置關(guān)系發(fā)生了什么變化？

圖1

設(shè)計(jì)意圖活動1是從正面、從特殊角度去感受對應(yīng)角相等、兩直線平行.活動2的目的從反面感受當(dāng)任意角∠1與∠2不相等時，兩直線a，b會有交點(diǎn)，只有∠1與∠2相等時，兩直線a，b才平行.如果說學(xué)生在活動1的感受還是模糊的，那么到活動2時感受應(yīng)該是很強(qiáng)烈的：直線a，b是否平行，與∠1，∠2的大小關(guān)系有關(guān).

活動3 (認(rèn)識兩角)下略.

4.2 教學(xué)實(shí)踐2

活動1 (擺一擺、畫一畫)教師手里有兩根木條，演示不同的擺放方式.

問題1從數(shù)學(xué)的角度，畫出對應(yīng)的幾何圖形，你有何發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課是第7章《平面圖形的認(rèn)識(二)》的章始課，有著“瞻前顧后”的作用，“瞻前”是指找到本節(jié)課的生長點(diǎn)，“顧后”是指本節(jié)課為后續(xù)學(xué)習(xí)提供什么.本節(jié)課的生長點(diǎn)可以認(rèn)為是七下第6章《平面圖形的認(rèn)識(一)》中基本幾何元素的認(rèn)識和表示，兩直線的位置關(guān)系：兩直線相交出現(xiàn)對頂角，而且對頂角相等，這里其實(shí)已經(jīng)隱含了兩直線和對頂角之間的關(guān)系，特別是兩直線相交的四個角中有一個角為直角，那么這兩條直線垂直，更是由角的數(shù)量特征得到了兩直線之間的特殊的位置特征，這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備.

實(shí)際狀況：學(xué)生能夠根據(jù)教師的不同擺放方式，順利畫出兩條直線的不同位置圖形.也能夠自然地意識到位置與夾角有關(guān)，但是在清晰表達(dá)上需要教師的引導(dǎo)和糾正：兩條直線的位置關(guān)系與它們相交產(chǎn)生的角的數(shù)量特征有關(guān).

問題2再加入一根木條b，畫出對應(yīng)的幾何圖形(圖2)，請問木條a與b有怎樣的位置關(guān)系？(平行或是相交)

圖2

設(shè)計(jì)意圖不斷地由實(shí)際物體抽象出幾何圖形，就是對學(xué)生空間觀念的一種強(qiáng)化，也為學(xué)生建立位置關(guān)系和角數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系提供了暗示.一方面多了一條直線，就多產(chǎn)生了另外兩組對頂角，總共4組對頂角8個角；另一方面，木條a與木條b不同位置關(guān)系的時候，四組對頂角關(guān)系也不同.這樣就在兩條直線的位置關(guān)系和四組對頂角的數(shù)量關(guān)系之間，設(shè)計(jì)了一種暗示：它們之間有聯(lián)系.

問題3什么時候直線a,b是平行的，什么時候又是相交的呢？

問題4在四組對頂角里各選擇一個代表，如圖3，不妨記木條a,c相交成∠1，并固定木條a，c，木條b與c相交成∠2，在轉(zhuǎn)動木條b的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3

設(shè)計(jì)意圖木條轉(zhuǎn)動過程帶來了角的大小變化，這樣的一個設(shè)計(jì)更直觀地讓學(xué)生感受到正是∠1與∠2的大小關(guān)系影響了兩木條a與b的位置關(guān)系，基本事實(shí)呼之欲出，從而自然地要對這組對應(yīng)角進(jìn)行研究.

活動2 (認(rèn)識兩角)

問題5從上圖抽象出幾何圖形，∠1與∠2產(chǎn)生的前提是什么？(直線a,b都與直線c相交)

問題6形成幾個角？(8個)

問題7這8個角對于這三條直線來講又有不同的位置，為了便于說明，我們把直線c稱為截線，直線a與b稱為被截線.說說∠1與∠2有怎樣的位置特征？8個角中還有這樣的角嗎？

問題8你能用同位角敘述剛才得到的結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)意圖從探究需求中自然引入兩角，觀察位置特征，需要對三條直線進(jìn)行描述，自然地，給出三條直線的名稱會比較好描述，根據(jù)對應(yīng)角的位置特征取名同位角也是水到渠成.至此基本事實(shí)已經(jīng)得出：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.

活動3 (想一想、議一議)

問題9我們在小學(xué)以及初一下學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，都經(jīng)歷過用三角尺和直尺畫平行線的過程，你現(xiàn)在能告訴我為什么這么畫兩直線就平行嗎？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)習(xí)往往是螺旋式上升的過程，之前對兩直線平行的認(rèn)識只是停留在操作層面和直觀感受上.通過獲得的基本事實(shí)再反觀之前的學(xué)習(xí)，驗(yàn)證之前操作的正確性，學(xué)會利用基本事實(shí)解釋畫圖操作的有條理說理.

3.3 對比思考

顯然，兩種不同的教學(xué)實(shí)踐都沒有直接給出基本事實(shí)，課堂教學(xué)的目標(biāo)重點(diǎn)都不是純粹地在概念和基本事實(shí)的知識層面，而是通過探究讓學(xué)生感受基本事實(shí)的合理性，通過設(shè)計(jì)自然有效的活動，讓學(xué)生學(xué)習(xí)活動的數(shù)學(xué)和再創(chuàng)造的數(shù)學(xué).“個體發(fā)展過程是群體發(fā)展過程的重現(xiàn)”，活動設(shè)計(jì)的自然是指既要符合個體的心理特點(diǎn)、認(rèn)識規(guī)律，也要符合群體發(fā)展的基本規(guī)律；活動設(shè)計(jì)的有效是指只有經(jīng)過學(xué)生自己的具身探索、體驗(yàn)，經(jīng)過自己的“再創(chuàng)造”才能被真正地接受和掌握[2].就如同在游泳中學(xué)會游泳、在騎自行車中學(xué)會騎自行車，應(yīng)該讓學(xué)生在“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)中學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).在這節(jié)課中，兩種實(shí)踐都是在這樣的過程中讓學(xué)生真實(shí)地經(jīng)歷和感受形與數(shù)之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度參與，這就是本節(jié)課探究的意義所在.

兩種實(shí)踐都是通過數(shù)學(xué)活動、對數(shù)學(xué)活動的數(shù)學(xué)抽象、特殊到一般的歸納猜想和操作驗(yàn)證的過程去感悟基本事實(shí)的合理性，在這個過程中形成幾何直觀、建立空間觀念、發(fā)展合情推理與演繹推理能力、發(fā)展形象思維與抽象思維.學(xué)生在獨(dú)立思考、合作探究、觀察演示和操作畫圖中，體會了數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，思維參與是深度的.目標(biāo)定位都側(cè)重于“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”和“情感態(tài)度”層面.

教學(xué)實(shí)踐1與教學(xué)實(shí)踐2的設(shè)計(jì)差異主要是同樣的教學(xué)素材出現(xiàn)的順序不同，順序的不同有著不同的實(shí)際效果.教學(xué)實(shí)踐1更能讓學(xué)生對“基本事實(shí)5”經(jīng)歷“從‘初步感知’開始逐步明晰，到最終‘深刻認(rèn)同’”的過程，但是對“為什么非得選取這樣的角”卻始終心存疑問，無法滿足初中生好奇心的天性需求.教學(xué)實(shí)踐2解釋了“同位角”的產(chǎn)生根源，解決了“為什么非得選取這樣的角”的疑惑，更能貫通學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前后聯(lián)系，形成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體理解，但是對“基本事實(shí)5”的理解體驗(yàn)的深切程度卻沒有教學(xué)實(shí)踐1高.

事實(shí)上如果將兩種教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕M合，同時在時間控制上作出合理安排，將會有更好的效果.例如，將教學(xué)實(shí)踐2的活動1替換到教學(xué)實(shí)踐1的活動3，或者將教學(xué)實(shí)踐1的活動1中的問題1和問題2替換到教學(xué)實(shí)踐2的活動3中.

4 基本事實(shí)的教學(xué)建議

由此看來，基本事實(shí)的教學(xué)不能因?yàn)榛臼聦?shí)的不證自明和直觀真實(shí)就一帶而過、直接給出，必須重視以下幾點(diǎn).

4.1 重視深切體驗(yàn)

基本事實(shí)教學(xué)要重視探索過程中的深切體驗(yàn).基本事實(shí)中蘊(yùn)含著基本的數(shù)學(xué)思想，“基本思想”是最能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的思想，包括數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想.在基本事實(shí)的探索過程中，從生活實(shí)踐的現(xiàn)實(shí)抽象成數(shù)學(xué)事實(shí)的抽象思想，通過數(shù)學(xué)推理確認(rèn)數(shù)學(xué)事實(shí)合理性的推理思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)事實(shí)解釋生活現(xiàn)實(shí)的建模思想，構(gòu)成了一個從生活到數(shù)學(xué)再回歸生活的完整閉環(huán).

基本事實(shí)的“可感知性”和“真實(shí)性”正是在這一閉環(huán)中獲得深切體驗(yàn)，數(shù)學(xué)基本思想也得以滲透，學(xué)生的思維參與必然是深度的.這樣的經(jīng)歷，最終沉淀為寶貴的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，成為學(xué)生后繼數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，成為數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)成長的重要滋養(yǎng).

4.2 重視具身認(rèn)知

基本事實(shí)教學(xué)要重視“做數(shù)學(xué)”的具身感知.認(rèn)知是包括大腦在內(nèi)的全身心的認(rèn)知，顧泠沅先生的四個基本教學(xué)原理告訴我們，學(xué)習(xí)絕不僅僅是思維過程，而是外周行為結(jié)構(gòu)和中樞的心理結(jié)構(gòu)之間的互化過程，來自環(huán)境的知識、經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)可以轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、情意狀態(tài)和行為結(jié)構(gòu).

將學(xué)生熟悉的工具轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)具，學(xué)生在動手操作中思考操作背后的數(shù)學(xué)原理，充分發(fā)揮學(xué)生活動的自主性，在親身參與中獲得成長，在寬松和諧的氛圍中全身心投入，增強(qiáng)學(xué)生對基本事實(shí)的“可感知性”和“真實(shí)性”的確認(rèn)，在內(nèi)心深深錨定，為“基礎(chǔ)性”奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4.3 尊重學(xué)生天性

基本事實(shí)教學(xué)要重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的自然天性.學(xué)生天性總喜歡問“為什么”，而對“為什么”的解釋必然涉及一些公認(rèn)的事實(shí)，總有邏輯起點(diǎn).但是基本事實(shí)本身就是邏輯起點(diǎn)，尊重學(xué)生天性，給出滿足學(xué)生天性需求、為學(xué)生所接受的解釋，顯得尤為重要.

在為學(xué)生揭示基本事實(shí)從生活實(shí)踐中自然提煉的過程中，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程.通過設(shè)計(jì)邏輯自然的探索過程，在每一個數(shù)學(xué)專用語(概念或原始概念)出現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生思考或者為學(xué)生提供合乎情理的解釋，滿足學(xué)生的好奇心和求知欲，解答學(xué)生天性中“為什么”的疑問.

當(dāng)然，本文是表1中基本事實(shí)5的教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上作出的思考，其他基本事實(shí)的教學(xué)如何實(shí)施，還需要后繼逐一實(shí)踐研究.也希望能引起同行關(guān)注，共同探討.