可視化視角下的數(shù)學解題教學：取勢、明道、優(yōu)術(shù)*
——以高三二輪微專題復習課“與導數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題”為例

張志勇 (江蘇省常州市第五中學 213001)

張加紅 (江蘇省常州市田家炳高級中學 213001)

解題可以幫助學生深刻理解數(shù)學概念、掌握數(shù)學方法進而錘煉數(shù)學思維，正如波利亞所言，“掌握數(shù)學就意味著學會解題”.解題教學無疑是數(shù)學教學的重點，對于高三數(shù)學復習而言，更可謂是主旋律．如何開展解題教學？不能只有“數(shù)”(計算推理)而不見“形”(想象直觀)，不能只有解題方法的簡單堆積而沒有對解題策略的思考，不能只有“怎么解”的具體操作而沒有“為什么這樣解”的不斷追問．有鑒于章建躍博士提出的數(shù)學教育要“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”[1]，我們以為，數(shù)學解題也需要“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”；在可視化技術(shù)的支持下，通過直觀想象指引解題方向(取勢)、深度挖掘明晰本質(zhì)屬性(明道)，達成模型構(gòu)建優(yōu)化解題方案(優(yōu)術(shù))的解題教學目標．在此過程中，不僅有解題思路的過程展示，解題策略的形成解構(gòu)，更有解題觀念的實質(zhì)突破和“原來如此”的美妙感悟．本文謹以一節(jié)高三微專題復習課“與導數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題”為例，與讀者分享可視化視角下的數(shù)學解題教學．

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自四星級高中普通班，數(shù)學基礎一般，已經(jīng)歷過高三一輪復習，掌握基本的數(shù)學運算和簡單的邏輯推理，如求導、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、判斷零點的個數(shù)等；有一定的閱讀表達能力，對數(shù)形結(jié)合的解題思路較熟悉，能判斷函數(shù)變化趨勢進而討論漸近線的存在性，并能結(jié)合單調(diào)性和可能有的漸近線繪制函數(shù)示意圖；基本掌握GeoGebra的常見操作要領，能簡單應用軟件開展數(shù)學探究活動．

1.2 內(nèi)容分析

縱觀近幾年的高考、模考試題，與導數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題是函數(shù)壓軸題中的?？?，此類問題將函數(shù)、不等式、方程等知識綜合在一起，能有效區(qū)分學生數(shù)學能力的水平差異，故而廣受命題者青睞．從知識層面看，導數(shù)和零點存在性定理是解決這類問題必不可少的工具，應用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性沒有多少障礙，難點在于零點存在性定理的應用，而此中關(guān)鍵在于“找點”，即構(gòu)造異號的函數(shù)值，這是頗具技巧又很有計算難度的一步．如何突破運算的難點？“數(shù)形結(jié)合”無疑是一可行路徑.繪制函數(shù)圖象，借助圖象能直觀幫助學生認識結(jié)果、明辨解題方向；進一步地，圖象更可以揭示真相，最終幫助學生優(yōu)化解題方法、形成解題模式．

據(jù)此，本節(jié)專題復習課擬采用的教學策略為：一是重視數(shù)形結(jié)合，借助單調(diào)性和變化趨勢繪制函數(shù)圖象，以圖象直觀來判定參數(shù)范圍及取點方向；與此同時，借助GeoGebra開展數(shù)學實驗，讓學生在動態(tài)觀察中把握數(shù)學本質(zhì).二是重視問題引導，在思維“關(guān)節(jié)點”與“關(guān)鍵點”處駐足停留，對于為什么這樣“取點”、怎樣放縮等問題，通過問題串的方式不斷地追問，以引導、幫助學生認識數(shù)學本質(zhì)并掌握數(shù)學方法．

1.3 教學目標

(1)經(jīng)歷完整的數(shù)學解題方法的探求過程，感悟數(shù)形結(jié)合的解題價值，在取勢、明道、優(yōu)術(shù)中讓自己的數(shù)學理解和思考從模糊走向深刻．

(2)能在準確把握函數(shù)特征(單調(diào)性、漸近線等)的基礎上繪制較復雜的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷零點的存在、參數(shù)的范圍；把握零點存在定理的應用要求，采用按圖索驥、函數(shù)放縮、結(jié)構(gòu)化簡等不同方法“找點”證明零點的存在．

教學重難點：函數(shù)放縮與“找點”．

2 教學過程

2.1 歸類辨析，聚焦問題

問題1(改編自2020年蘇錫常鎮(zhèn)一模13題)若ax=x2在(1,+∞)上有兩解m,n，求a的取值范圍．

圖1

圖2

2.2 按圖索驥，初解取勢

2.3 函數(shù)放縮，再解明道

根據(jù)圖象趨勢“找點”，雖然可以解決問題，但這樣的嘗試理由并不顯然，有必要進一步探究以明了個中奧妙．我們將其中的關(guān)鍵不等式換元處理后可得到如下簡化的不等式：

圖3

圖4

圖5

說明本例中，關(guān)鍵“點”在直線上方，因此構(gòu)造的函數(shù)圖象在原函數(shù)下方．

2.4 結(jié)構(gòu)化簡，三解優(yōu)術(shù)

例1(2019年南京三模試題19改編)關(guān)于x的方程lnx+1=bx2有兩個不等的實數(shù)根，求b的取值范圍．

圖6

練習：(1)已知函數(shù)f(x)=ax2-x-lnx有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

(2)已知函數(shù)f(x)=mex-(x-1)2有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

2.5 梳理總結(jié)，形成范式

結(jié)合課堂教學中涉及的案例，梳理問題解決過程，可總結(jié)出下列要點：

(2)放縮方法有章可循．放縮的目標是將不易解的不等式轉(zhuǎn)化為易解的不等式，通常做法是將指對數(shù)函數(shù)化為多項式函數(shù)．由兩個簡單基本不等式lnxx出發(fā)，可演繹出不簡單的放縮形式；

(3)放縮千萬,趨勢為要．不同函數(shù)的“變化趨勢”不同，放縮不能改變函數(shù)整體的相對變化趨勢(極限一致)，原函數(shù)圖象的變化趨勢需要結(jié)合導數(shù)整體辨析．

簡而言之，就是“零點判定有講究，圖象觀察辨趨勢；函數(shù)變換是根本，放縮有度分主次”．

3 回顧與反思

因為運算難度大，面對與導數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題，多數(shù)學生望而生畏、止步不前．本節(jié)課在“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”的思路指引下，三次求解零點問題，形成三種不同解法(按圖索驥法、函數(shù)放縮法、結(jié)構(gòu)化簡法)，不同水平層次的學生可選擇不同的解法．更為重要的是，可以改善學生拿筆就算的解題習慣，回歸數(shù)學直觀探究先行，促使計算推理也能返璞歸真，在幫助學生掌握一類題的解法過程中讓學生學會數(shù)學地思維．

3.1 數(shù)學解題中的取勢明道優(yōu)術(shù)

將“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”用于數(shù)學教育中，章建躍博士是強調(diào)教育要明確方向、把握規(guī)律、辦事有方[1]；用于解題中，則是指直觀想象指引解題方向(取勢)、深度挖掘明晰本質(zhì)屬性、模型構(gòu)建優(yōu)化解題方案(優(yōu)術(shù))．具體而言，“術(shù)”多指抽象的數(shù)學方法、繁雜的計算技巧，如本例中的“取點”.如果只是為術(shù)而術(shù)、停留于“知其然”層面，一方面會因難以理解而不為學生所接受和優(yōu)化，另一方面也會因“見木不見林”而難以生成和旁通．因此解題不應只囿于解題技巧的獲得，而應走向“知其所以然”，讓學生理解其中的函數(shù)放縮．明道就需要追本溯源，首先得聚焦關(guān)鍵環(huán)節(jié)、分析問題特征，然后才是豐富表征手段、找尋聯(lián)系通道，在抽象的“數(shù)”之間架設具象的“形”作為橋梁，無疑是幫助學生問道明理的重要情境．解題也需要看清方向，方向不對則多做多錯，而“形”正可以揭示“大勢所趨”，讓最終結(jié)果在解題前就“觀念性地存在著”，而不再是摸著石頭過河．事實上，當我們繪制出圖2所示的函數(shù)圖象后，問題2的結(jié)果已經(jīng)水落石出，跟進的只是數(shù)學的解釋和證明罷了．解題中的取勢明道優(yōu)術(shù)，告訴我們的是不僅要埋頭趕路，更要抬頭看路；優(yōu)術(shù)的前提在于明道，取勢方能明道．

3.2 數(shù)形結(jié)合與深度學習

提及數(shù)形結(jié)合，耳熟能詳?shù)氖侨A羅庚先生說過的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．雖然數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想方法，然而解題時(特別是主觀題)多數(shù)時候卻有“數(shù)”無“形”．究其原因，一方面當然有評價更重視嚴謹?shù)挠嬎阃评淼木壒?，另一方面也因為對?shù)學對象的本質(zhì)特征把握不全面，難以繪制準確的圖象，如圖2中f(x)的圖象刻畫離不開對單調(diào)性、最值、漸近線的考量．“形”可意會取勢，“數(shù)”為優(yōu)術(shù)言傳，我們這兒強調(diào)“形”的價值不只是為了得到結(jié)果，更重要的是為“數(shù)”的推理提供方向直觀，如由圖2發(fā)現(xiàn)找點方向(足夠大、在直線下方、與變量有關(guān))，由圖5思考函數(shù)放縮(趨勢一致，放縮有度)，“形”的展示不僅有想象直觀，更有深透的理解、深入的思維和深切的體驗．

3.3 GeoGebra與數(shù)學可視化

數(shù)學可視化就是“看見不可見”，即將抽象的數(shù)學對象用可看見的表征形式清楚直白地呈現(xiàn)出來，從而得到一個形象、直觀、整體的認識和理解．作為一款數(shù)學學科軟件，GeoGebra實現(xiàn)了“形”(幾何)與“數(shù)”(代數(shù))的完美融合，可以將抽象的數(shù)學知識直觀化，使數(shù)學的關(guān)聯(lián)性變得可見甚至可操作，從而幫助學習者洞悉數(shù)學本質(zhì)．如圖6中“作差”與“分參”兩種思路的比較呈現(xiàn)，圖4中切線放縮的動態(tài)呈現(xiàn)等．GeoGebra帶給我們的不僅是更加方便快捷的數(shù)學，更是理想的深度學習平臺和深度教學工具．

數(shù)學解題，不僅是解決問題，更重要的是觀點的提高和思維的啟迪．“形”可意會取勢，“數(shù)”為優(yōu)術(shù)言傳，“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”的思路為當下數(shù)學解題教學提供了一個全新的思路，而可視化恰可讓學生將更多的精力集中在高層次的數(shù)學思考和問題解決上．