逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

紀(jì)紅芳

(江蘇省南通市通州區(qū)金郊初級中學(xué) 226300)

思維模式主要有兩種：一種是正向思維，即根據(jù)現(xiàn)成的資源，正向推進(jìn)，穩(wěn)扎穩(wěn)打，逐步發(fā)展；一種是逆向思維，即倒推資源配置，從目標(biāo)出發(fā)逆向而行，借助已知條件逐步推進(jìn).初中數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，涵蓋面廣，邏輯性強(qiáng)，在學(xué)習(xí)過程中常常會(huì)碰到一些難題，在用正向思維難以解決的時(shí)候，不妨引導(dǎo)學(xué)生采用逆向思維來“奪取勝利”.本文通過例析逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，談?wù)勗诮虒W(xué)實(shí)踐中一些具體做法.

一、逆向推導(dǎo)

學(xué)習(xí)平方差公式是通過多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行計(jì)算正向推導(dǎo)得出結(jié)論，如果解題時(shí)采用逆向推導(dǎo)的方法去運(yùn)用公式，可以激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣心，促進(jìn)課堂教學(xué)的順利開展.

例1簡便計(jì)算5512-4492

師：請大家觀察這條算式的特點(diǎn)，聯(lián)系學(xué)過的公式，看看是不是能利用公式來計(jì)算呢？

生：我想到了平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.(教師板書公式)

師：你的思維很活躍.我們一起來觀察這條平方差公式具有哪些特征.

生1：等式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中的第一項(xiàng)完全相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù).

生2：右邊是兩項(xiàng)的平方差，也就是相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方的差.

師：把這條公式反過來就是a2-b2=(a+b)(a-b)(教師板書公式)

師：你能用一句話把這條公式解釋一下嗎？

生：求兩項(xiàng)的平方差就等于求這兩項(xiàng)的和與這兩項(xiàng)的差的積.

師：再來看算式5512-4492，這里的兩項(xiàng)分別是指什么？

生：數(shù)字551和數(shù)字449.

師：5012-4992可以分解為哪兩個(gè)因式的積？

生：可以分解為(551+449)與(551-449)的積.

師：現(xiàn)在你能把這道題非常簡便地計(jì)算出來嗎？

生：能.5512-4492=(551+449)×(551-449)=2000.

師：從運(yùn)用平方差公式進(jìn)行來簡便計(jì)算的過程中，你得到了什么啟發(fā)？

生：把平方差公式逆向思考，就得出了“兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積”的結(jié)論，這樣計(jì)算起來就非常簡便.

這個(gè)課例中，教師引導(dǎo)學(xué)生逆向思考平方差公式，透過深入分析其內(nèi)涵，深化了學(xué)生的理解與記憶.

二、逆向計(jì)算

學(xué)生計(jì)算題目時(shí)，往往會(huì)按部就班，根據(jù)常規(guī)的計(jì)算法則進(jìn)行運(yùn)算.實(shí)際上，數(shù)學(xué)中的許多計(jì)算法則都具有可逆性，在解題的時(shí)候教師就要充分利用這種可逆性，引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用公式法則尋求題目的簡捷解法.

師：你準(zhǔn)備怎么計(jì)算這道題？

師：大家覺得這種方法可行嗎？

生：太方便了，而且很容易計(jì)算到正確的結(jié)果.

如果按照常規(guī)方法無法解決的時(shí)候，應(yīng)該及時(shí)轉(zhuǎn)換思路，嘗試采用逆向思維的方法去解題，即由題目中所給條件的可逆性，思考逆轉(zhuǎn)后會(huì)出現(xiàn)什么情況，能否再回到原來的題目中，如果可行的話，那就大膽地另辟蹊徑去解決問題.

三、逆向分析

有些數(shù)學(xué)題，從已知條件直接入手去思考，會(huì)得到多個(gè)結(jié)論，導(dǎo)致在解題過程中“迷失方向”，不知道該如何繼續(xù)下去.此時(shí)如果逆向分析，從題目的結(jié)論出發(fā)，逐步往回逆推，往往可以找到滿意的解題途徑.

例4已知x、y是不相等的正數(shù)，求證：x3+y3>x2y+xy2.

師：觀察這條不等式，你想到了什么解題思路？

生：我看到不等式左邊是x3+y3，馬上就想到了公式：x2+y2=(x+y)(x2-xy+y2)，我就想能不能用這條等式來解題呢？

師：先請大家把不等式兩邊分解因式.

生：x2+y2=(x+y)(x2-xy+y2)，x2y+xy2=xy(x+y).

師：題目中要求證的不等式就轉(zhuǎn)化為(x+y)(x2-xy+y2)>xy(x+y)，仔細(xì)觀察，要使這道不等式成立，只需知道什么條件？

生：轉(zhuǎn)化后的不等式兩邊都有因式(x+y)，因?yàn)閤和y都是正數(shù)，x+y>0，所以只需知道x2-xy+y2>xy就可以了.

師：你真愛動(dòng)腦筋！我們再用這樣的思路去逆向分析題目.

生1：把不等式的右邊項(xiàng)移到左邊，轉(zhuǎn)化為x2-2xy+y2>0，即求出(x-y)2>0就可以了.

生2：因?yàn)閤、y是不相等的正數(shù)，所以(x-y)2>0是成立的.

這個(gè)課例中，學(xué)生采用“順推不行則逆推”的方法進(jìn)行逆向思考，打破了解題思路中的僵局，結(jié)合已學(xué)知識順利地迎來了“新局面”.如果經(jīng)常進(jìn)行此類習(xí)題的練習(xí)，學(xué)生的創(chuàng)造性思維將會(huì)有飛躍的進(jìn)步.

四、逆向證明

反證法因其遵循“由果溯因”的思維模式在學(xué)習(xí)某些基本的性質(zhì)、定理和結(jié)論中經(jīng)常被運(yùn)用，因此在教學(xué)時(shí)教師也要將此作為解題的重要方法，引導(dǎo)學(xué)生在解決難度較大的題目時(shí)有意識地去嘗試運(yùn)用.

例5勾股定理的證明

師：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三個(gè)邊長分別為a、b、c，求證：a2+b2=c2.

師：可以用量出AB、AC、BC的長度后直接計(jì)算的方法來證明嗎？

生：當(dāng)然不行.

師：那怎么來求證兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？

生：試一試用反證法.

師：好辦法.說說你的思路.

生：假設(shè)a2+b2≠c2.

師：即BC2+AC2≠AB2.

生：如圖2過C點(diǎn)作斜邊AB上的垂線，垂足為O.

(教師在圖形上添加輔助線CO)

生：斜邊AB被分為兩條線段AO和OB，由AB2=AB·AB=AB(AO+BO)=AB·AO+AB·BO

師：為什么要考慮這一步呢？

生：根據(jù)剛才的假設(shè)，可以推測出：BC2≠AB·BO，AC2≠AB·AO，即BO：BC≠BC：AB，或者AO：AC≠AC：AB.

師：可以看出BO和BC是Rt△BOC中的一條直角邊和一條斜邊；AO和AC是Rt△AOC中的一條直角邊和一條斜邊.

生：在△AOC和△ACB中，因?yàn)椤螦=∠A，則當(dāng)AO：AC≠AC：AB時(shí)，∠AOC≠∠ACB；在△BOC和△BCA中，因?yàn)椤螧=∠B，則當(dāng)BO：BC≠BC：AB時(shí)，∠BOC≠∠ACB，又因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠AOC≠90°，∠BOC≠90°，這與添加的輔助線CO⊥AB相矛盾，所以BC2+AC2≠AB2不成立.

師：你利用反證法證明出了AC2+BC2=AB2，即a2+b2=c2.

從這個(gè)課例中可以看出，反證法從假設(shè)命題結(jié)論的反面入手，將相反的判斷作為已知條件，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐茖?dǎo)出與已知題設(shè)條件相矛盾的結(jié)論，從而證明原命題成立.