求同存異 縱橫思考

馬華

教材不僅是教師上課的工具，也是教師用來鉆研教學內容體系、把握知識本質聯(lián)系的工具。那么怎樣才能把握教學本質，真正理解教材呢？筆者將以小學數學簡便計算教學的相關內容為例，從“同課異版教材解讀”和“小、中學教材銜接思考”兩方面來進行探究與嘗試。

一、同課異版教材研讀

簡算教學中“運算定律”的教學是非常重要的，為了能更好地深入研究，筆者以“交換律”一課內容為例展開研究。“交換律”是人教版四年級下的教學內容，教材中的安排是將加法交換律和乘法交換律分開來的，但由于對交換律形式的思考，很多教師將兩者整合在一起教學，具體如下：

【傳統(tǒng)案例】

1. 新課導入：對“朝三暮四”的理解

2. 探究新知

（1）3+4=4+3，通過對算式的觀察，探究加法交換律，練習鞏固。

（2）在加法交換律的基礎上繼續(xù)猜想驗證，探究乘法交換律，練習鞏固。

3. 課堂小結

整個過程切入點足夠新穎，學生在課堂上的回答也是頻頻出彩——“我發(fā)現(xiàn)3+4的和與4+3的和是一樣的，所以交換加數的位置，和不變。”“我覺得乘法和加法一樣，比如說3×4=4×3。”“我也同意，不過0不可以……”“我發(fā)現(xiàn)加法交換律和乘法交換律其實是一樣的?！?/p>

確實，在該案例中，教師對教材進行了一定的處理，既變換了情境，也整合了教學內容，調整呈現(xiàn)方式。教學后的課堂評價也不錯，但是仔細思考會發(fā)現(xiàn)，雖然教師將加法交換律和乘法結合律整合在一起教學，可是在實際課堂中展開還是有先后順序的，先學加法交換律，后學乘法交換律，某種程度還是將這兩個內容割裂開來，并沒有從本質上進行溝通。從課堂上學生的回答也可以發(fā)現(xiàn)，學生對于這兩者的內在聯(lián)系已經有所體會，覺得是可以“相通”的。

對于學生“出乎意料”的表現(xiàn)與“熱鬧非凡”的課堂氛圍，就能認為這樣的教學設計是有助于學生學習的嗎？其實這樣的設計只是知識表面的聯(lián)結，并沒有觸及運算定律本質的教學，鑒于這樣的思考，筆者再次從教材入手展開研究。

筆者將“人教版”和“北師大版”關于《運算定律和簡便計算》這一單元的知識編排整理如下：

人教版 北師大版

編排位置 四年級下冊 四年級上冊

已有知識基礎 筆算多位數加減法

筆算三位數乘兩位數

筆算多位數除以兩位數 筆算多位數加減法

筆算三位數乘兩位數

呈現(xiàn)方式 獨立單元 三位數乘兩位數乘法單元內

知識編排順序 加法交換律

加法結合律

乘法交換律

乘法結合律

乘法分配律

簡便計算（運算定律的應用及算法多樣化） 乘法結合律

乘法交換律

加法交換律與結合律

乘法分配律

是否有問題情境的呈現(xiàn) 全部 乘法結合律

乘法分配律

通過以上的對比，可以看出：

1.兩個版本教材都把“運算律”的內容放在了四年級，知識點的內容都包含加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律的五大定律及運算定律的應用。從知識點編排的緊湊程度上看，兩個版本的編排都非常緊湊，尤其是人教版，知識點編排非常密集。

2.兩個版本明顯的不同表現(xiàn)在五大定律呈現(xiàn)的順序上。人教版是先學加法運算律后學乘法運算律；北師大版是先學習乘法結合律，然后在其鞏固練習中直接呈現(xiàn)乘法交換律，接著過渡到加法交換律與加法結合律上，最后出現(xiàn)乘法分配律。雖然說這樣安排可能是出于順應某些學生的已有知識經驗的考慮，比如說，雖然我們沒有進行系統(tǒng)的交換律的學習，但是在以前的學習過程中，實際上學生已經對這兩個規(guī)律有所體驗，甚至還有所應用，像解決“有5個盤子，每個盤子里有3個蘋果，一共有多少個蘋果？”學生回答5×3和3×5都是對的，這說明他們已經在利用乘法交換律來解決問題了，但是這不代表學生已經學過了兩個交換律了?！皩W生不僅要學習結果性內容，也要學習過程性內容”。如果教師認為學生已經有了相關經驗就等同于學會了某個知識的話，那么教學就進入了只重視學習結果的誤區(qū)。因此，筆者還是認為先學習加法運算定律比較符合學生知識結構的構建。

仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，如果能夠抓住知識點的聯(lián)系和遷移，又能緩解學生學習節(jié)奏過于緊密的情況，顯然是兩全其美的。因此，筆者嘗試將這個單元的內容重新進行調整：

將單元內容重新整理后，不再是按照運算來分，而是按照“運算律”的共同點來劃分，這樣更可以挖掘運算律的本質內涵，也可以緩解學生學習知識點過于緊湊的弊端?；谶@樣的考量，筆者重新設計了“交換律”這一課。

【改進案例】

師：同學們，我們已經學過了哪些運算？

生：加、減、乘、除。

師：這都是我們已經學過的運算?，F(xiàn)在老師這里有一個式子，我們一起看：a★b=b★a（課件出示），你覺得這個★可能是哪些運算符號呢？

學生猜測：+、-、×、÷……

師：看來同學們有不同的想法，到底★表示什么運算符號呢，你能不能想辦法來驗證一下。在想辦法之前我們先來看一下要求（課件出示要求）：

（1）你認為★可能代表哪種運算符號？或者不可能是哪種運算符號？

（2）自己想辦法來說明你的猜想。

（3）把你的想法寫在作業(yè)紙上。

學生靜靜地在課堂上思考著，動筆寫下自己的想法。

……

整節(jié)課學生都圍繞著“★表示什么運算符號，自己想辦法驗證”來展開。討論到“+”時就有了加法交換律，討論到“×”時就有了乘法交換律，討論到“-”和“÷”時也明白了為什么沒有減法和除法的交換律。真正從本質上理解交換律的內在含義，并學會運用加法意義和乘法意義來解釋驗證交換律的正確性。讓學生不斷地在思維上突破并融合，相信學生經歷了這樣的學習過程，對于交換律的本質屬性應該有了進一步的了解。endprint

同一節(jié)課研讀不同版本的教材，是為了更好地理解知識點在體系中的地位和結構，可以將單獨的知識點放入單元體系中去觀察和對比，通過求同存異的比較方法來分析教材，讓自身對教材中知識點前后的邏輯關系和知識點的本質有更好的理解，同時，這樣研讀不同的教材所收獲的內容，也可以作為教師自身的知識儲備。

二、基于小、中學教材銜接的思考

同一教學內容在小學階段不同版本教材中雖然編排順序和體系會有所不同，但是對學生小學階段所需掌握的要求是差不多的，課標里明確了第一、二學段簡算內容的掌握要求。但許多教師有時也會遇到這樣的情況——在教學有些簡算內容時，對于算理無法給出恰當的解釋，或者能夠給出的解釋超出了學生的知識范圍。面對這種情況，大多數教師的做法就是回避這些問題，如以下這個案例。

【傳統(tǒng)案例】

五年級上冊，要求怎樣簡便就怎樣算：

（1）4.25-1.64+8.75-9.36

（2）0.9+9.9+99.9+999.9

習題（1）教學：要求學生仔細觀察習題，引導發(fā)現(xiàn)數據特征，學生很快發(fā)現(xiàn)有兩組數據能湊整，分別是4.25和8.75，1.64和9.36。于是解答此題為：（4.25+8.75）-（1.64+9.36）。隨后教師反問學生，這道題用到了什么運算定律，學生會說用到加法結合律還有減法的性質，教師聽到學生這樣的答案也挺滿意，覺得學生掌握得還不錯了。

習題（2）教學：引導學生觀察算式特征，學生快速發(fā)現(xiàn)這里每個數的末尾都是9，教師引導學生思考，看到9會想到什么，學生經過思考會說出再加1就能湊整，于是解答此題為：（0.9+0.1）+（9.9+0.1）+（99.9+0.1）+（999.9+0.1）-0.4。隨后教師反問學生，為什么要減去0.4，學生有了之前的引導思考，也能順利回答出之前加了4個0.1，所以后面要減去0.4，多加了要減去。

仔細思考教師對于這兩題的教學，從表面來看似乎沒什么問題，但深入研究就會發(fā)現(xiàn)還是有問題存在的。在做了這兩題后，筆者曾經進行過一次學生的課后訪談：

（1）4.25-1.64+8.75-9.36 （2）0.9+9.9+99.9+999.9

師：這題中，為什么1.64和8.75交換位置后加減符號也變了呢？（即變成4.25+8.75-1.64-9.36）

生1：這個……我也不知道，老師這么說的。（猶豫不確定）

生2：我知道，這是在用加法交換律，后面的使用減法交換律……（篤定的語氣）

生3：不對！這里使用減法的性質，沒有減法交換律。（馬上反駁） 師：那這題你是怎么想到這樣去做？

生4：因為末尾有個0.9啊。（自信的口吻）

生5：因為它要湊整，加上0.1最方便。（思辨過后的語氣）

生6：因為這樣簡便呀。（籠統(tǒng)的回答）

從學生的訪談結合之前教師通常的教學，我們就可以發(fā)現(xiàn)：學生對于這兩題為何這樣簡便來計算并沒有真正掌握，只是看到外表數的形式的變化，而沒有真正理解為何這樣變化的本質。其實這兩題對于小學生來說要求算出正確的結果并不是很困難，只要教師進行專項訓練加以鞏固就能達到要求?？墒俏覀兊暮喫憬虒W并不只是停留在會生搬硬套上就可以了，更要挖掘簡算的本質。

要深入挖掘知識本質，作為教師不妨把視角放寬一些，來看看第三學段中對相關內容的要求及初中階段的教材，或許能有一些幫助。

第一學段 第二學段 第三學段

數的運算（簡算相關內容要求） 認識小括號，能進行簡單的整數四則混合運算（兩步） 探索并了解運算律（加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法對加法的分配律），會應用運算律進行一些簡便運算 理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算

從《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求來看，可以看出小學階段重在掌握簡便計算的基本方法和技能，能夠靈活運用解決一些簡單的簡便運算；初中階段重在簡便計算的靈活運用，隨著數的范圍的擴大，將小學階段所運用的運算律全部納入到有理數的計算中。

此時，我們來研讀初中教材中有理數簡便計算的內容可以知道，簡便計算的靈活運用主要包括以下幾個方面：

（1）互為相反數的兩個數可以先加。

（2）符號相同的兩個數可以先加。

（3）幾個數相加得整數可以先加。

（4）同分母的分數可以先加。

（5）能湊整時可以加括號先分組求和。

習題（1）如果按照初中的運算思路就是符號相同的兩個數可以先加，而且減法是加法的逆運算，算式就是4.25+（-1.64）+8.75+（-9.36），這樣一來就很清楚，這里用到的就是加法交換律和加法結合律。習題（2）就是體現(xiàn)初中“分組求和”湊整的思想。有了這些銜接的思考，可以進行重新設計。

【改進案例】

（1）4.25-1.64+8.75-9.36

師：大家知道在加法中我們交換位置，結果不變，其實在計算中，只要是同一級運算，改變運算順序，它的結果也是不變的。加、減是同級運算，乘、除也是同級運算，比如說這里減1.64加8.75交換位置后就是加8.75減1.64，結果是不變的，再利用加法結合律和減法的性質巧妙解答這題。

在常規(guī)教學的基礎上，教師巧妙地引導學生將加法交換律拓展到了同級運算的交換律，學生在中年級四則運算的學習中，已經知道加、減法是同級運算，所以學生也不難理解。同時又化解了學生對于減法是加法的逆運算、帶著符號搬家的理解，注重了中小學銜接的關注，也更為深入地理解了交換律在運算中的本質。

（2）0.9+9.9+99.9+999.9

師：觀察算式當中每個數的尾數都是9，這時候我們通常會想到與9湊整的方法，在湊整時也要考慮湊成最方便計算的整數，還要注意“多加要減，多減要加”的規(guī)則。像這樣特征的算式，我們可以考慮用湊整分組求和的方法來算，可以使計算得到簡便，這也是我們常用的一種簡便技巧。

在學生基本掌握運算律的前提下，教師對學生的回答要有適當小結，在小結過程中還要滲透中小學銜接的要求，其實這種湊整分組的方法也就是以后初中有理數分組求和的基本技巧，這里提前滲透。如果教師能及時點撥、抓住要領，相信學生能夠通過一定的訓練來掌握靈活運用運算律的方法的。

要提高簡算教學的有效性，讀懂教材、理解教材、鉆研教材是對教師的基本要求。在教學中設計一堂課的教學內容時，可以通過橫向的不同版本教材對本課的編排進行解讀，也可以通過縱向中小學教材掌握目標的銜接進行解讀，從而提高課堂教學的效果。除此以外，還可以通過理解算理、培養(yǎng)學生計算品質、評價簡算教學等方面進行思考和實踐，相信也會對簡算教學有所幫助。

（浙江省湖州市愛山小學教育集團 313000）endprint