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    對偶分裂四元數的表示矩陣的棣莫弗定理

    2021-10-18 00:46:54孔祥強趙培臣
    東北師大學報(自然科學版) 2021年3期
    關鍵詞:數集求根對偶

    孔祥強,趙培臣

    (菏澤學院數學與統計學院,山東 菏澤 274015)

    分裂四元數是非交換的結合代數,且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].文獻[4-5]研究了分裂四元數及雙曲型交換四元數的極表示.文獻[6-7]定義了新的非交換環(huán)并給出2階實矩陣的棣莫弗定理.文獻[8-11]研究了對偶四元數表示矩陣及分裂半四元數的棣莫弗定理.有關對偶分裂四元數的研究已取得部分成果[12-16].本文將對偶分裂四元數的研究轉化為對其四階表示矩陣的研究,通過引入極表示,給出對偶分裂四元數表示矩陣的不同形式的棣莫弗定理,同時得到對偶分裂四元數表示矩陣方程的求根公式.

    符號R、D、H、HD分別表示實數集、對偶數集、分裂四元數集、對偶分裂四元數集,I4表示4階實單位矩陣.

    1 對偶分裂四元數

    2 對偶分裂四元數的表示矩陣

    定理1 任一對偶分裂四元數均可表示為D上的4階矩陣.

    由此可定義對偶分裂四元數集合為D上4階對偶矩陣集合

    3 對偶分裂四元數表示矩陣的棣莫弗定理

    3.1 Nq>0,NVq<0時的情形

    證明由數學歸納法,設對任意的正整數n,有

    所以

    故對任意的整數n,結論成立.

    3.2 Nq>0,NVq>0時的情形

    證明根據歸納法,設對任意的正整數n,有

    故對任意的整數n,結論成立.

    3.3 Nq<0,NVq<0時的情形

    且:

    (1) 當n為奇數時,

    (2) 當n為偶數時,

    定理4的證明與定理2—3的方法類似,此處不再贅述.

    (1) 當n為奇數時,

    (2) 當n為偶數時,

    4 對偶分裂四元數表示矩陣的方程的根

    其中k為整數.

    其中k=0,1,2,…,n-1.

    當k=0時,第1個根為

    當k=1時,第2個根為

    依次可求出其余根.

    5 結語

    對偶分裂四元數及其表示矩陣是四元數領域研究的重要課題.本文從對偶分裂四元數的極表示出發(fā),分3種情形分別介紹了對偶分裂四元數表示矩陣的棣莫弗定理,推廣了歐拉公式.當對偶角為實數角時,得到了表示矩陣方程的求根公式.以本文為基礎,可進一步研究對偶分裂四元數的其他問題.

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