圓中的多解問(wèn)題探析

曹新江

[摘 要]文章結(jié)合例題，分析圓中的多解問(wèn)題，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生解題的多解意識(shí)，拓寬學(xué)生的思維度，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]圓;多解;初中數(shù)學(xué);對(duì)稱(chēng)性

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）29-0031-02

圓是初中階段學(xué)習(xí)的重要圖形，其中圓中的多解問(wèn)題，是學(xué)生最容易忽略與出錯(cuò)的地方，必須引起我們教師的高度關(guān)注.圓中的多解問(wèn)題，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

一、圓的軸對(duì)稱(chēng)性引起的多解問(wèn)題

已知圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，且已知這兩條弦的長(zhǎng)度，求這兩條平行弦之間的距離時(shí)，存在這樣兩種不同的情況，一是已知兩弦在圓心的同一側(cè);二是已知兩弦在圓心的兩側(cè).這就造成了平行弦之間的距離不一樣的情況，其原因在于，在一個(gè)圓中，一條定長(zhǎng)的弦有無(wú)數(shù)條，它們可以處于圓內(nèi)的不同位置.

評(píng)注：垂徑定理使用頻率較高的是“平分弦”這一結(jié)論，且題中并沒(méi)有作出直徑，而過(guò)圓心作了一條弦心距，這條弦心距就是直徑的代表.另外，垂徑定理常與勾股定理結(jié)合使用，因?yàn)榇藭r(shí)常會(huì)形成弦的一半、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形.

二、一弦對(duì)二弧引起的多解問(wèn)題

已知圓的一條弦長(zhǎng)及半徑，求這條弦所對(duì)的圓心角時(shí)，只有一種情況，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓心角只有一個(gè);但是求這條弦所對(duì)的圓周角時(shí)，就有兩種情況，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的弧有兩種，即優(yōu)弧與劣弧，而圓周角是指頂點(diǎn)在圓周上，且兩邊與圓相交的角，當(dāng)圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，與圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上時(shí)形成的圓周角是不一樣的，且這兩個(gè)圓周角是互補(bǔ)關(guān)系.當(dāng)且僅當(dāng)已知弦為直徑時(shí)，這條弦所對(duì)的圓周角只有一種情況，即直角.

三、點(diǎn)與圓位置關(guān)系的多樣性引起的多解問(wèn)題

已知一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)圓，及點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離，求這個(gè)圓的半徑.這樣的題通常沒(méi)有圖形，正是因?yàn)閹缀螁?wèn)題只有文字?jǐn)⑹鰶](méi)有圖形對(duì)照，造成了問(wèn)題答案的多樣性.因?yàn)辄c(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，所以這個(gè)已知點(diǎn)可能在已知圓內(nèi)，也可能在已知圓外，在已知圓內(nèi)時(shí)，顯然已知圓要大一些，在已知圓外時(shí)，顯然已知圓要小一些.

[例2]已知點(diǎn)P到圓的最大距離為11，最小距離為7，則此圓的半徑為多少？（要求作圖解答）

解析：點(diǎn)P應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部、位于圓的外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論.如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直徑AB，則PA就是點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離11，PB就是點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最小距離7，這兩個(gè)距離的和就是直徑，所以直徑是18，因而半徑是9;如圖5所示，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)P、O作直線與圓O交于點(diǎn)C、D，則PC就是點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離11，PD就是點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最小距離7，這兩個(gè)距離的差就是直徑，所以圓的直徑是4，因而半徑是2.故此圓的半徑為2或9.

評(píng)注：這里還有一個(gè)問(wèn)題很關(guān)鍵，即在圓內(nèi)一點(diǎn)P，如何尋找點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離與最小距離.在圓外一點(diǎn)P，如何尋找點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)的最大距離與最小距離.方法都是過(guò)已知點(diǎn)及圓心作直線，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)是最大距離的點(diǎn)，一個(gè)最小距離的點(diǎn).

四、動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的直線與圓位置關(guān)系的多解問(wèn)題

已知一個(gè)圓位置固定，當(dāng)一條直線沿一個(gè)方向平移時(shí)，這條直線與圓的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種情況，其中相離的情形有無(wú)數(shù)種，相交的情形有無(wú)數(shù)種，但直線與圓相切的情形只有兩種，即左邊一種右邊一種，或上邊一種下邊一種，這是由圓的軸對(duì)稱(chēng)性決定的.已知一條直線固定，當(dāng)一個(gè)圓沿一個(gè)方向平移時(shí)，同樣會(huì)出現(xiàn)上述類(lèi)似的情形，這里不再贅述.

圓中的多解問(wèn)題還有兩圓相切（包含內(nèi)切與外切）時(shí)引起的多解問(wèn)題.兩圓相交時(shí)，已知公共弦與兩圓半徑，求圓心距時(shí)也有兩種情況;已知圓的半徑及兩弦長(zhǎng)求兩弦的夾角時(shí)仍有兩種情況;等等.對(duì)于沒(méi)有圖形的圓問(wèn)題以及直線與圓、點(diǎn)與圓、圓與圓的問(wèn)題，均要注意多解的情況.

（責(zé)任編輯 陳 昕）