“APOS”理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

卞家海

[摘 要]在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)與重點(diǎn).把“APOS”理論運(yùn)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，提高教學(xué)效率.文章結(jié)合“一元二次方程”的教學(xué)，對(duì)“APOS”理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探索.

[關(guān)鍵詞]APOS理論;概念教學(xué);一元二次方程

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）29-0014-02

著名教育學(xué)家杜賓斯在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過(guò)程中，架構(gòu)了一種全新的理論模型——AOPS模型.這一模型的基本流程是“活動(dòng)階段—過(guò)程階段—對(duì)象階段—圖式階段”.在這四個(gè)階段中，其核心目標(biāo)就是創(chuàng)設(shè)良好的情境，使學(xué)生可以在這一過(guò)程中實(shí)現(xiàn)自覺(jué)發(fā)現(xiàn)、自主建構(gòu)，準(zhǔn)確把握概念的特點(diǎn).這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程.APOS理論認(rèn)為，針對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)際上是學(xué)生的自我心理建構(gòu).在這一過(guò)程中，需要學(xué)生積極調(diào)整現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，或者將其與外部認(rèn)知結(jié)構(gòu)相融合，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，所以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，需要教師及時(shí)恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，使學(xué)生可以親歷思維過(guò)程，這樣才能夠在不斷建構(gòu)不斷反思的基礎(chǔ)上，對(duì)概念組成圖示，或者同化，或者順應(yīng).一方面是為了解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，而另一方面也是對(duì)當(dāng)前認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步完善.APOS理論在教學(xué)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中具有科學(xué)性和實(shí)用性.下面結(jié)合“一元二次方程”概念的教學(xué)來(lái)論述APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的具體應(yīng)用.

一、基于APOS理論的“一元二次方程”四階段教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）第一階段：活動(dòng)階段

活動(dòng)1：一塊長(zhǎng)方形鐵皮面積為5 000平方厘米，其中長(zhǎng)為100厘米，列式求出其寬.（學(xué)生列出算式①）

活動(dòng)2：在這塊鐵皮上的四角，各自切掉一個(gè)正方形，然后將凸出部分折起，由此形成一個(gè)無(wú)蓋方形鐵皮盒，假如所形成的鐵皮盒的底面積為3 600平方厘米，求所截去的正方形的邊長(zhǎng).

針對(duì)這一環(huán)節(jié)可以借助視頻演示的方式帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)整體和打開(kāi)的過(guò)程，引導(dǎo)列式.（學(xué)生列出算式②）

活動(dòng)3：一座高2米的人體雕像，如果上下部分的高度比等于下部和全部之間的高度比，下部應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少米？

借助多媒體將題目轉(zhuǎn)化為圖形，引導(dǎo)學(xué)生列出算式③.

（二）第二階段：過(guò)程階段

針對(duì)上述三個(gè)算式展開(kāi)仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)其中的異同.此時(shí)教師引導(dǎo)：判斷算式①是否屬于之前所學(xué)過(guò)的方程，由此喚醒學(xué)生的已知概念以及已有經(jīng)驗(yàn).在探尋異同點(diǎn)時(shí)，類(lèi)比一元一次方程的概念，就此探討其中包含幾個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是多少.

組織學(xué)生討論，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)在算式①中包含1個(gè)未知數(shù)，最高次數(shù)為1，有等號(hào)，由此可做出準(zhǔn)確判定.在算式②和③中，雖然都包含有一個(gè)未知數(shù)，但是最高次數(shù)為2，有等號(hào)，是方程.通過(guò)類(lèi)比概念的方式，可以初步感知這是兩個(gè)一元二次方程，能夠就此掌握其所具有的三個(gè)基本屬性.

（三）第三階段：對(duì)象階段

如何使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行描述？顯然對(duì)于學(xué)生而言，這一問(wèn)題相對(duì)抽象，也是教學(xué)實(shí)踐中的難點(diǎn).可以結(jié)合小組探討的方式，再將其與一元一次方程的描述進(jìn)行類(lèi)比，完成對(duì)一元二次方程的概念界定.

1.分組討論，理解概念

小組1：根據(jù)算式②與③，將其中的數(shù)字替換成字母，由此得到[（a-bx）（c-dx）=m]或者[a-bx=cx?].很顯然，通過(guò)學(xué)生的這一回答，可以發(fā)現(xiàn)他們并沒(méi)有真正掌握一元二次方程的本質(zhì)，因此不能借助本質(zhì)屬性完成對(duì)概念的數(shù)學(xué)描述.

小組2：類(lèi)比一元一次方程[ax+b=0]，得出[ax2+bx=0]，在這一過(guò)程中.有學(xué)生提出算式②與③與這一形式并不吻合，除了包含[ax2+bx]后面還增加了一個(gè)常數(shù)，因此很多學(xué)生認(rèn)為不能不算是正確的一般式.

小組3：在經(jīng)歷了之前兩組學(xué)生的展示之后，一部分思維能力較高的學(xué)生認(rèn)為，一元二次方程的一般形式應(yīng)當(dāng)為[ax2+bx+c=0].此時(shí)可以要求學(xué)生將算式②與③轉(zhuǎn)化為這一形式，然后說(shuō)一說(shuō)在這個(gè)一般式中包含了幾個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)又是多少，是不是方程.在充分考慮這些問(wèn)題之后，很多學(xué)生都認(rèn)為這一表達(dá)是正確的，但是并未涉及其中是否存在限定條件.

2.深入反思，深化概念

問(wèn)題1：a是否可以為0？

如果a為0，這個(gè)方程就沒(méi)有了二次的項(xiàng).要牢記[a≠0]這一限制條件.

問(wèn)題2：b、c是否可以為0？

再次強(qiáng)調(diào)一元二次方程的三個(gè)本質(zhì)屬性，此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，b或者c可以為0，由此得到[ax2+bx=0]，[ax2+c=0]，這是其特殊式.

問(wèn)題3：等號(hào)可以換成大于號(hào)、小于號(hào)或者不等于號(hào)嗎？

學(xué)生根據(jù)方程的定義能夠了解，只有等式才能稱(chēng)為方程，所以“=”不能替代為其他符號(hào).此時(shí)，教師可以對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展，如果轉(zhuǎn)換為其他符號(hào)，所得到的式子稱(chēng)為一元二次不等式.

3.歸納總結(jié)，內(nèi)化概念

基于上述探究活動(dòng)，促使學(xué)生進(jìn)行自主歸納.

（1）只包含1個(gè)未知數(shù)，其中未知數(shù)最高次數(shù)為2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，

（2）一般情況下，對(duì)于任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，在經(jīng)過(guò)整理之后，能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為[ax2+bx+c=0（a≠0）]，因此稱(chēng)為一元二次方程的一般式.

（四）第四階段“圖式階段”

基于一元二次方程的概念組織學(xué)生進(jìn)行練習(xí).

（1）將方程[5x（x-1）=4（x+2）]轉(zhuǎn)化為一般式.

（2）方程[（2a-4）x2-2x+a=0]，在怎樣的條件下為一元二次方程？在怎樣的條件下為一元一次方程？

（3）一扇長(zhǎng)方形的門(mén)，高比寬長(zhǎng)六尺八寸.對(duì)角線為一丈，求高和寬各是多少？

（4）根據(jù)方程[（16-2x）（10-2x）=112]，聯(lián)系實(shí)際自主編寫(xiě)一道應(yīng)用題.

二、基于APOS理論的“一元二次方程”四階段教學(xué)反思

在APOS理論的指導(dǎo)下，在教學(xué)“一元二次方程”這一概念的過(guò)程中，嚴(yán)格遵循四個(gè)階段組織概念教學(xué)，既實(shí)現(xiàn)了循序漸進(jìn)，也帶領(lǐng)學(xué)生親歷具體的概念形成過(guò)程，體驗(yàn)生動(dòng)多維的思維活動(dòng)，深化對(duì)概念的認(rèn)知和了解，順利實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的建構(gòu).

在數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中，抽象是其中一個(gè)最為關(guān)鍵的特點(diǎn)，形象化的表述方式更突顯了這一特質(zhì)，所以對(duì)于師生而言都需要經(jīng)受抽象的考驗(yàn)，如果不能有效解決這一問(wèn)題，很顯然不能完全理解數(shù)學(xué)知識(shí)，但是如果以此為由，抹去原本的現(xiàn)實(shí)背景，實(shí)際上這也是片面認(rèn)知.因此，不僅要為學(xué)生搭建良好的平臺(tái)，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)生以及發(fā)展過(guò)程，也應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)合理真實(shí)的情境，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才不會(huì)僅停留于活動(dòng)層面，才不會(huì)放棄對(duì)抽象數(shù)學(xué)的追求，體會(huì)其獨(dú)有的美感.

1.基于問(wèn)題情境，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)

針對(duì)學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì)，需要配以相應(yīng)的問(wèn)題情境，而這一情境，既要能夠揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，也要能夠展現(xiàn)具體的形成過(guò)程，更要能夠與學(xué)生現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)水平以及心理建構(gòu)能力相吻合，只有學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中擁有充足的體驗(yàn)，才能夠激發(fā)其主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣.

2.關(guān)注概念形成，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

在數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中，數(shù)學(xué)思維方法是揭示知識(shí)產(chǎn)生的關(guān)鍵所在，同時(shí)也是促進(jìn)思維架構(gòu)概念的關(guān)鍵主線，需要教師基于學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程給予相應(yīng)的提示和建議，引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)中完成歸納，通過(guò)巧妙靈活的設(shè)計(jì)能夠就此激發(fā)學(xué)生的反思，使學(xué)生可以順利完成，由活動(dòng)、過(guò)程向?qū)ο筮@一階段的過(guò)渡.

3.堅(jiān)持循序漸進(jìn)，提升創(chuàng)新能力

對(duì)于任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念而言，從過(guò)程發(fā)展到對(duì)象，其間需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)，需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的循序漸進(jìn)的過(guò)程.在建立對(duì)象時(shí)，必須要保障簡(jiǎn)練的語(yǔ)言形式以及符號(hào)表達(dá)，這樣才有助于學(xué)生架構(gòu)直觀的結(jié)構(gòu)形象.當(dāng)然對(duì)于這一理論而言，也不需要在一堂概念教學(xué)中展現(xiàn)所有的階段，也并非需要經(jīng)歷所有階段.

APOS理論是依托于數(shù)學(xué)概念而建構(gòu)的教學(xué)理論，基于教學(xué)實(shí)踐，讓我深刻地體會(huì)到自身角色以及任務(wù)的轉(zhuǎn)變.在這一過(guò)程中，教師不是獨(dú)奏者，也不是知識(shí)的傳授者，而是為學(xué)生搭建平臺(tái)，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，主動(dòng)學(xué)習(xí)，師生共建伙伴關(guān)系，能夠營(yíng)造輕松愉悅的學(xué)習(xí)氛圍，能夠表達(dá)個(gè)性、放飛自我，從而促進(jìn)創(chuàng)新能力的進(jìn)一步提升.

總之，基于教學(xué)本課的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，我深刻地體會(huì)到了教師這一身份的轉(zhuǎn)變，同時(shí)轉(zhuǎn)變的還有教學(xué)任務(wù)，我們教師是學(xué)生學(xué)習(xí)平臺(tái)的搭建者，是學(xué)生思維的引領(lǐng)者，是學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳伙伴.希望在教師的引領(lǐng)下，能夠營(yíng)造愉悅的氛圍，能夠促使學(xué)生展現(xiàn)自我、發(fā)展個(gè)性，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力進(jìn)一步提升.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 佟亮亮.APOS理論視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的探究[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2013.

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[3]? 王學(xué)沛，李尚瑩.數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中實(shí)施素質(zhì)教育的問(wèn)題及其解決[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（4）：59-62.

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）