分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用分析

朱曉芬

摘要：分類討論思想指的是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，由于問(wèn)題的特殊性和數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在規(guī)律，答案不具有唯一性，這時(shí)就應(yīng)該采用分類討論思想，對(duì)于每一種符合題目要求的情況逐一分析，通過(guò)分類討論，可以有效地將數(shù)學(xué)問(wèn)題“化繁為簡(jiǎn)”，利用分類思想將困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為各個(gè)簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還能鍛煉學(xué)生舉一反三的思維能力。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué);運(yùn)用分析

中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2021）-34-477

引言

數(shù)學(xué)學(xué)科的解題方式比較靈活，同一道題可能有多種解題思路，不同題目的解題思路也有可能相同，所以要想采取最合適的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就要在平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，注重?cái)?shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用。分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在生活和學(xué)習(xí)中的應(yīng)用非常廣泛，能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的體系，對(duì)提高學(xué)生思維能力和邏輯能力具有重要意義。分類討論思想可以輔助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的整理，并能夠探索其內(nèi)在規(guī)律，簡(jiǎn)化難題，真正做到舉一反三。

一、利用分類討論思想解決三角幾何問(wèn)題

三角形問(wèn)題也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常遇到題型，因?yàn)閹缀沃R(shí)的抽象性和邏輯性，學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)存在一定的難度。而且因?yàn)閷W(xué)生的空間想象力不足，難以準(zhǔn)確理解此類問(wèn)題的具體意思，解題思路自然存在偏差。因此，教師在教學(xué)時(shí)，需要有意識(shí)、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的空間想象力。將分類討論思想方法運(yùn)用到幾何問(wèn)題解決中，有效幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能，確保學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心。

例2如圖所示，已知兩條直線l1和l2，以及一條線段AB，兩條直線相交，假設(shè)兩條線段上存在一點(diǎn)P，在什么情況下，能夠滿足△PAB為等腰三角形？解析學(xué)生在求解上述數(shù)幾何問(wèn)題時(shí)，因?yàn)槿狈^強(qiáng)的想象力，在解決問(wèn)題上存在一定的難度，如果學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用傳統(tǒng)的解題方法，可能會(huì)導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。因此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生正確解決上述問(wèn)題，首先，教師需要幫助學(xué)生回憶有關(guān)等腰三角形的定義和相關(guān)知識(shí)，然后指導(dǎo)學(xué)生利用課堂所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，正確運(yùn)用分類討論思想方法，已知AB為等腰三角形的一條邊，現(xiàn)在需要進(jìn)行分類。首先，假設(shè)AB為等腰三角形的底邊，在此條件下，作線段AB的中垂線，分別與直線l1和l2相交于點(diǎn)P2和P1，此時(shí)滿足要求，即△PAB為等腰三角形。繼續(xù)假設(shè)，當(dāng)線段AB為等腰三角形的腰時(shí)，又需要進(jìn)行分類。首先假設(shè)當(dāng)∠A為頂角時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用課堂中與等腰三角形的定義知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生作圖.以點(diǎn)A為圓心，線段AB為半徑畫(huà)一個(gè)圓，和直線l1和l2相交于點(diǎn)P3、P4、P5和P6，即滿足上述題目的要求。當(dāng)∠B為頂角時(shí)，同理，以點(diǎn)B為圓心，線段AB為半徑作圓，可得到和直線l1和l2的交點(diǎn)P7、P8、P9和P10，滿足數(shù)學(xué)題目要求，△PAB為等腰三角形。由此可見(jiàn)，學(xué)生在解決初中數(shù)學(xué)三角問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)正確指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，確保初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

二、分類討論與圓

根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系將其劃分為：直線與圓相離、相切、相交這三種位置關(guān)系。這就是使用分類討論思想進(jìn)行幾何知識(shí)教學(xué)最常見(jiàn)的例子，通過(guò)分類討論，可以較容易的解答與圓相關(guān)的數(shù)學(xué)題。

例如，在直角坐標(biāo)系中，直線y=（槡3/3）x上有一個(gè)圓，半徑為1，圓心P的坐標(biāo)為（2槡3，m），然后，讓圓P沿著直線向斜下方移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少秒后圓P與x軸相切。我們已經(jīng)知道什么是相切了，即直線與圓有且僅有唯一的一個(gè)公共點(diǎn).題目說(shuō)到讓圓P向斜下方移動(dòng)，那么圓P經(jīng)過(guò)移動(dòng)后，會(huì)同x軸相切，此時(shí)圓P在第一象限，這是第一種情況，大多數(shù)學(xué)生都能考慮到，但是還有第二種情況，即圓P同x軸相交后，還可以接著向斜下方移動(dòng)，移動(dòng)到第三象限時(shí)同樣會(huì)同x軸相切，以上是教師通過(guò)運(yùn)用分類討論思維對(duì)題目進(jìn)行的一個(gè)綜合分析，接下來(lái)就可以給學(xué)生講解具體的解題步驟。題干已經(jīng)給了我們坐標(biāo)和解析式，下一步應(yīng)該將坐標(biāo)代入到解析式中，這樣就得到了m的數(shù)值為2，接下來(lái)過(guò)點(diǎn)P做一條垂直于x軸的線段，設(shè)這條線段與x軸的焦點(diǎn)為D，那么線段PD的數(shù)值就是m的數(shù)值，為2。將原點(diǎn)O，圓心P以及垂足D相連，我們得到的是一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理，可以得出線段OP的數(shù)值，角POD為30度，根據(jù)這些信息，可以依次算出兩種情況下的答案，即2秒或者6秒。由于本文并非為習(xí)題參考答案且篇幅有限，具體解題步驟就不再一一贅述。

在解決初中數(shù)學(xué)中的幾何問(wèn)題時(shí)，教師還可以在分類討論的基礎(chǔ)上，疊加數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式來(lái)進(jìn)行教學(xué)，這樣就可以將抽象的數(shù)學(xué)理論具象化，增加學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

三、在函數(shù)解題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)問(wèn)題占據(jù)著很大一個(gè)比例，也是考試難點(diǎn)之一.但學(xué)生在分類討論時(shí)，經(jīng)常會(huì)考慮不周。例如求解有關(guān)x的函數(shù)問(wèn)題：y=ax2+2x+3，若a為常數(shù)，則保證函數(shù)圖像和x軸存在一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值是多少.其實(shí)這道題的本質(zhì)考察的就是分類討論思想，由于對(duì)二次函數(shù)概念理解的不準(zhǔn)確，很多學(xué)生看到這種題就會(huì)走入一個(gè)誤區(qū)，直接將該函數(shù)看做二次函數(shù)，但二次函數(shù)的定義必須保證a不為0，所以這道題目的難點(diǎn)就在于a是否為零。

作為比較經(jīng)典的題目，可以在初步講授分類思想時(shí)，當(dāng)作例題講給學(xué)生聽(tīng)，首先要讓學(xué)生準(zhǔn)確的對(duì)課本概念進(jìn)行記憶，明白一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別，其次就是觀察參數(shù)所在的位置，當(dāng)參數(shù)處在比較特殊的位置時(shí)，一定要特別注意，最后通過(guò)分類討論的思想，對(duì)題目進(jìn)行分類討論，主要需要考慮的有兩類，參數(shù)a為0和不為0的情況，通過(guò)詳細(xì)的分析就能快速準(zhǔn)確的將題目解答出來(lái)。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，分類討論思想作為重要的解題思路，不是通過(guò)幾節(jié)課的講述就掌握的，這需要教師在日常教學(xué)過(guò)程中，不斷進(jìn)行指導(dǎo)，使這種思想逐漸滲透到學(xué)生的解題過(guò)程。所以，初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須加強(qiáng)分類討論思想的灌輸，并不斷培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解題的周密性，為討論過(guò)程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率。

參考文獻(xiàn)

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