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    GeoGebra與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的思考與探索

    2021-10-16 13:21:14陳麗萍
    基礎(chǔ)教育參考 2021年10期
    關(guān)鍵詞:直觀想象審美價(jià)值邏輯推理

    陳麗萍

    [摘 ? 要]GeoGebra軟件具有強(qiáng)大的幾何和代數(shù)功能。以高中數(shù)學(xué)“為什么截口曲線是橢圓”問題鏈驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,將GeoGebra的運(yùn)用與教材深度融合,對(duì)于有效增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理學(xué)科核心素養(yǎng)、深化數(shù)學(xué)審美價(jià)值的認(rèn)識(shí)具有積極的意義。

    [關(guān)鍵詞]GeoGebra;高中;直觀想象;邏輯推理;審美價(jià)值

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出,數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)是形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是達(dá)成這一目標(biāo)的重要載體[2]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,融合信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境和教學(xué)活動(dòng),可以使學(xué)生經(jīng)歷鮮活的學(xué)習(xí)過程,更加直觀地感悟數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的過程和數(shù)學(xué)的本質(zhì),自主探究和解決相關(guān)問題。GeoGebra(以下簡稱GGB)是一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件,由“Geo”加“Gebra”組成,從字面上看,具有幾何與代數(shù)兩大功能,實(shí)際上,它是一個(gè)多功能的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3]。GGB與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合,將對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)產(chǎn)生強(qiáng)大的輔助功能。以下將結(jié)合“為什么截口曲線是橢圓”課例,討論如何將GGB深度融合于教學(xué)設(shè)計(jì),旨在探索和拓寬在課堂上進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

    一、教材與學(xué)情分析

    “為什么截口曲線是橢圓”是人教A版數(shù)學(xué)教材(選修2-1)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”之后的一個(gè)專題,設(shè)置在“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目,是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的延伸與拓展。由于不是必考內(nèi)容,所以教師往往不太重視這一欄目的教學(xué)。實(shí)際上,將信息技術(shù)深度融合于“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目,可以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的價(jià)值。

    從知識(shí)水平上看,學(xué)生通過對(duì)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí),對(duì)橢圓的性質(zhì)有了一定的了解和掌握;通過對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)和理解了基本圖形的位置關(guān)系及性質(zhì)。從思想方法上看,學(xué)生已經(jīng)歷了用坐標(biāo)法解決一些與橢圓有關(guān)的簡單幾何問題的完整過程,再次感悟了“數(shù)形結(jié)合”的基本思想。從探究能力上看,學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力在逐步提高。

    二、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn)

    這一專題的教學(xué)目標(biāo)如下:一是結(jié)合GGB動(dòng)態(tài)圖形,運(yùn)用數(shù)學(xué)家丹德林(G·P·Dandelin)的方法,理解截口曲線是橢圓的證明過程;二是結(jié)合橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,了解橢圓與其方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的基本思想;三是增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提升直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng),深化對(duì)數(shù)學(xué)審美價(jià)值的認(rèn)識(shí)。其中,教學(xué)的重難點(diǎn)是:結(jié)合GGB動(dòng)態(tài)圖形,運(yùn)用數(shù)學(xué)家丹德林的方法,利用定義證明截口曲線是橢圓。

    三、教學(xué)過程

    用一個(gè)平面去截圓錐,當(dāng)截面與圓錐軸線夾角不同時(shí),可以得到不同的截口曲線。教師依次提出問題,逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考。

    【問題1】請觀察下圖中平面截圓錐得到的截口曲線,你能猜想出截口曲線的類型嗎?(見圖1)

    教師操作:在GGB文件中先后勾選復(fù)選框“圓錐”和“平面”,出現(xiàn)平面截圓錐的圖形。然后勾選復(fù)選框“截口曲線”,則平面截圓錐后得到的截口曲線可呈現(xiàn)。平面e視圖(見圖4)中的圖形也同時(shí)出現(xiàn)。學(xué)生通過GGB直觀感知圖形,猜想截口曲線的類型。

    問題1的設(shè)計(jì)意圖是:通過GGB圖形幫助學(xué)生將文字語言問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形語言問題,以增強(qiáng)學(xué)生探究截口曲線的興趣,提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

    【問題2】能否先通過GGB動(dòng)態(tài)圖形驗(yàn)證截口曲線上的任意一點(diǎn)都滿足橢圓的定義呢?(見圖2)

    教師介紹及操作:在歷史的長河中,很多人對(duì)截口曲線的類型問題從純幾何角度進(jìn)行了深入研究。其中,數(shù)學(xué)家丹德林采用一個(gè)非常巧妙的方法證明了截口曲線是橢圓。教師在GGB文件中勾選復(fù)選框“球O1”和“球O2”,將兩個(gè)大小不同的球先后嵌入圓錐內(nèi)截面的兩側(cè),上、下球分別為O1和O2,并且使它們與截面和圓錐的側(cè)面均相切,其中與截面的切點(diǎn)分別為F1和F2。 然后勾選復(fù)選框“M”,在截口曲線上任取一點(diǎn)M,平面e視圖(見圖4)中的點(diǎn)M也同時(shí)出現(xiàn)。 接著勾選復(fù)選框“MF1”和“MF2”,連接MF1和MF2,平面e視圖中也做了相應(yīng)連接。教師拖動(dòng)點(diǎn)M,使其在截口曲線上運(yùn)動(dòng),通過觀察繪圖區(qū)2中的數(shù)據(jù)變化,發(fā)現(xiàn)此時(shí)截口曲線上的任意一點(diǎn)M都有|MF1|+ |MF2|=1.86,且有|F1F2|=0.72,|MF1|+|MF2| >|F1F2|,即截口曲線上的任意一點(diǎn)都滿足橢圓的定義,這說明“截口曲線是橢圓”的猜想是合理的。 教師還可以改變參數(shù)的滑動(dòng)條,在截口曲線仍是橢圓的情形下,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形和數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。如果時(shí)間允許,也可請學(xué)生上臺(tái)親自操作GGB進(jìn)行演示。學(xué)生們觀察圖形和數(shù)據(jù),完成驗(yàn)證問題。

    問題2的設(shè)計(jì)意圖是:通過數(shù)形結(jié)合肯定猜想的合理性,提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng),為進(jìn)一步的嚴(yán)謹(jǐn)證明做好鋪墊。

    【問題3】為什么截口曲線是橢圓呢?你能根據(jù)橢圓的定義和相關(guān)幾何知識(shí)證明嗎?(見圖3)

    教師操作及說明:接下來我們通過定義證明截口曲線是橢圓。勾選復(fù)選框“AB”,即過點(diǎn)M做圓錐的母線,分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn)A、B。這樣可容易知道,直線MF1和MA都是球O1的切線,根據(jù)“同點(diǎn)發(fā)出的球的切線段長度相等”,因此有|MF1|=|MA|。同理,對(duì)球O2,有|MF2|=|MB|。于是|MF1|+|MF2|=|MA|+|MB|=|AB|。依據(jù)在整個(gè)作圖過程中切點(diǎn)A、B的產(chǎn)生方法,可以得到兩切點(diǎn)之間的距離|AB|是一個(gè)定值的結(jié)論。這樣,截口曲線上的任意一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離之和為常數(shù)。由橢圓的定義可以知道,此時(shí)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷以上證明過程。

    問題3的設(shè)計(jì)意圖是:借助GGB圖形,使學(xué)生從理論層面認(rèn)識(shí)截口曲線是橢圓,提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

    【問題4】你能根據(jù)繪圖區(qū)2中的數(shù)據(jù),求出在這種情形下平面e視圖中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?(見圖4)

    教師引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,使焦點(diǎn)F1、F2落在x軸上。共同觀察并分析繪圖區(qū)2中的相關(guān)數(shù)據(jù)可知,|MF1| +|MF2| =2a=1.86,|F1F2|=2c=0.72。最后根據(jù)橢圓的定義求出此時(shí)平面e視圖中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下求出焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

    問題4的設(shè)計(jì)意圖是:充分利用GGB提供的“附加視圖”功能,多元關(guān)聯(lián),幫助學(xué)生重溫橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

    【問題5】將圓錐換成圓柱,用平面斜截圓柱,得到一條截口曲線。你能類比這種極具創(chuàng)造性的方法,經(jīng)過猜想和驗(yàn)證,最終證明截口曲線也是橢圓嗎?你能根據(jù)繪圖區(qū)中的相關(guān)數(shù)據(jù),求出平面p視圖中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?(見圖5)

    教師讓學(xué)生先自行畫圖,然后演示GGB動(dòng)態(tài)圖,再引導(dǎo)學(xué)生完成證明,求出標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)生通過小組討論完成證明,求出標(biāo)準(zhǔn)方程,匯報(bào)展示成果。

    問題5的設(shè)計(jì)意圖是:引導(dǎo)學(xué)生自主探究和解決平面斜截圓柱生成截口曲線是橢圓的問題,從而提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

    四、教學(xué)反思與感悟

    1. GGB可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

    在必修階段學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ)上,學(xué)生將在人教版A版(選修2-1)第二章中學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程,用坐標(biāo)法探究的第一類圓錐曲線即是橢圓。通過橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí),有些學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒,對(duì)于課后探究與發(fā)現(xiàn)“為什么截口曲線是橢圓”更沒有什么興趣。本課例摒棄了傳統(tǒng)的靜態(tài)教學(xué),設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)、邏輯連貫的五個(gè)問題,并將GGB的動(dòng)態(tài)演示巧妙融入每一個(gè)問題,使學(xué)生經(jīng)歷了豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng),產(chǎn)生了情感和視覺的充分體驗(yàn)。這樣,不僅可以引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地思考“為什么截口曲線是橢圓”,還可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣。

    2.GGB有助于提升直觀想象素養(yǎng)

    充分利用GGB強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)幾何功能,借助圖形描述問題,使平面斜截圓錐和圓柱生成截口曲線為橢圓這一問題變得直觀可視。學(xué)生看到橢圓的動(dòng)態(tài)生成,發(fā)展了幾何直觀和空間想象能力。教師引導(dǎo)學(xué)生緊跟數(shù)學(xué)家丹德林的腳步,利用對(duì)圖形的理解,在變化中證明了不變的本質(zhì),完美解決截口曲線是橢圓的問題,增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí)。另外,繪圖區(qū)和視圖區(qū)多元關(guān)聯(lián),通過讓學(xué)生用代數(shù)語言描述截口曲線的特征,即建立特定位置時(shí)平面視圖區(qū)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由此感悟數(shù)形相融動(dòng)態(tài)變化中的聯(lián)系和本質(zhì),從而提升了直觀想象學(xué)科核心素養(yǎng)。

    3.GGB有助于提升邏輯推理素養(yǎng)

    學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,證明“截口曲線是橢圓”是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)理性的邏輯推理過程。通過在GGB動(dòng)態(tài)課件中設(shè)置復(fù)選框,使3D圖形動(dòng)態(tài)演示與猜想、驗(yàn)證和證明過程相匹配,可以引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)和提出問題,探索和表述合乎邏輯的論證過程。如在平面斜截圓柱得到截口曲線是橢圓的問題中,結(jié)合GGB動(dòng)態(tài)圖形,引導(dǎo)學(xué)生采用類比推理的方法參與探究活動(dòng)。GGB輔助學(xué)生有邏輯地思考問題,在復(fù)雜空間圖形中把握橢圓的本質(zhì),進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理,助力學(xué)生進(jìn)一步提升邏輯推理學(xué)科核心素養(yǎng)。

    4.GGB可以深化對(duì)審美價(jià)值的認(rèn)識(shí)

    普洛克拉斯(Proclus)曾說過,哪里有數(shù)學(xué),哪里就有美!GGB的融入有助于培養(yǎng)學(xué)生的審美能力。 在這一課例中,GGB呈現(xiàn)了三維立體平面截圓錐和圓柱的圖形,可以通過拖動(dòng)滑條、勾選復(fù)選框、360°旋轉(zhuǎn)圖形,使圓錐和圓柱、平面和丹德林球動(dòng)起來,成為一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形,便于學(xué)生從中體驗(yàn)動(dòng)靜之美。在圖形色彩方面,圓錐、平面和丹德林球各具鮮明的不同顏色,呈現(xiàn)出色彩之美。此外,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式也非常簡潔漂亮。雖然本課主要是探究和證明截口曲線是橢圓,但是基于GGB強(qiáng)大的幾何和代數(shù)功能,在教學(xué)設(shè)計(jì)中追加了一個(gè)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的問題,讓學(xué)生進(jìn)一步使用坐標(biāo)法,將“數(shù)”與“形”完美地結(jié)合起來,使學(xué)生感受到了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)形式的美。事實(shí)上,GGB帶來的美,不僅能夠提升學(xué)生的審美情趣和審美能力,還使學(xué)生在形象思維的基礎(chǔ)上增強(qiáng)理性思維能力。

    五、結(jié)語

    與教材的章節(jié)引言一樣,“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目也是經(jīng)過教材編寫者精心設(shè)計(jì)的。編者挑選了一些有益的拓展性材料置于章節(jié)之后,發(fā)揮著承前啟后的重要作用,它們既是對(duì)教材資源在內(nèi)容上的補(bǔ)充和拓展,也是對(duì)學(xué)生能力層面上的更高要求,為廣大教師的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)提供了較強(qiáng)的靈活性和廣闊的探究空間?;贕GB強(qiáng)大的幾何和代數(shù)功能,將其同“探究與發(fā)現(xiàn)”深度融合,在教學(xué)活動(dòng)的開展與推進(jìn)過程中,適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)和探究,可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué),為數(shù)學(xué)課堂的教與學(xué)注入新的活力。實(shí)踐證明,該教學(xué)軟件對(duì)于有效增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理學(xué)科核心素養(yǎng)、深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)審美價(jià)值的認(rèn)識(shí)具有積極意義。

    參考文獻(xiàn)

    [1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

    [2]史寧中,王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀[M].北京:高等教育出版社,2018.

    [3]郭衍,曹一鳴.動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra使用指南[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2012(1):129-131.

    (責(zé)任編輯 郭向和 ? 校對(duì) 姚力寧)

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