如何在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生“悟”的能力

鐘宇莉

摘要：本篇文章從一道中考壓軸題談起，簡要分析其解決問題知道策略，盡最大努力讓學(xué)生們培養(yǎng)“悟”的能力，進一步提高其數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：解決問題;初中數(shù)學(xué);參悟

引言

初中傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式在實際教學(xué)的過程中，大部分的數(shù)學(xué)課堂教師雖然都會比較注意培養(yǎng)學(xué)生們的“悟”的能力，但是在實踐中進行解決問題的教學(xué)過程中，只是會通過教導(dǎo)學(xué)生們?nèi)绾螝w納出一個題型的特點、模型以及方法等，并在此基礎(chǔ)上對其進行解題，但是卻嚴(yán)重地忽略了如何培養(yǎng)學(xué)生出研究出題者的最終目標(biāo)和意圖的能力，從而導(dǎo)致了學(xué)生們只是記得掌握了題目的類型和方法以及其解決辦法，缺少對題目本身的內(nèi)涵與核心的了解，無法將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識有效應(yīng)用于數(shù)學(xué)題中。

一、試題呈現(xiàn)

例題：在Rt△AEF以及Rt△ACB中，已知∠AEF=∠ACB。如果邊BF的中點長度是P，并且將PE與PC分別進行連接，點E與點F分別位于邊AB與邊AC上，已知PC=PE，然后將△AEF旋轉(zhuǎn)于點A：

（1）若點E在邊CA的延長線上的時候，那么上述的結(jié)論還是否成立？如果成立的話請在下方進行求證，如果不成立的話請充分論證出結(jié)果。

（2）若點F在邊AB的延長線上的時候，那么上述的結(jié)論還是否成立？如果成立的話請在下方進行求證，如果不成立的話請充分論證出結(jié)果。

這道題看似一般，但是卻考察了學(xué)生們的各個知識點，都在幫助并引導(dǎo)學(xué)生們提高各方面綜合知識的應(yīng)用能力。作為一名合格的初中學(xué)生，其數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)都必須要非常扎實、豐富，大部分學(xué)生還通過課外興趣小組，對自身的綜合知識運用能力的加強以及擴展展開了訓(xùn)練，并且還有小部分學(xué)生已經(jīng)開始涉獵高中數(shù)學(xué)知識，本題一經(jīng)拋出，就引起了學(xué)生們火熱的思考。

二、解決辦法探究

如本道數(shù)學(xué)題是“直角三角形的斜邊上中線是斜邊的一半”這個數(shù)學(xué)定理的實際應(yīng)用，而且在以及其中的數(shù)學(xué)定理是把△AEF旋轉(zhuǎn)之后進行計算得到的一種情形，學(xué)生們在經(jīng)過一系列的反復(fù)思考后，在腦海中也就產(chǎn)生了很多種對于本道數(shù)學(xué)題目的不同解決辦法。針對（1）題來說，學(xué)生們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了以下幾種不同的解題方式：

解法1：通過點P可以作PE與CE相互作用于點M，并進一步地證明PM是垂直且均勻地平分CE，從而對PC=PE的方程式進行了求證。

解法2：延長CP，并與EF于點M相交，對△MPF≌△CPB進行求證，并得出結(jié)果，然后利用點P平分Rt△CEM中的CM后，由此可知EP=CP。

解法3：過點F，做一條與BC垂直的BC，然后將GP進行連接，求證△CGP≌△EFP后可知PC=PE。

針對于（2）題來說，學(xué)生們產(chǎn)生了以下幾種不同的解題辦法：

解法1：過F點，作FH和AC在點H垂直，作FG和BC在點G垂直，將GP進行連接后，證明△CGP≌△EFP后，可以得到PC=PE的結(jié)果。

解法2：延長CP，使PM=PC，然后分別將FM、EM、CE連接，證明△CPB≌△MPF，證明△CAE∽△MFE，可知∠AEC=∠FEM，故∠CEM=90°，因此，在Rt△CEM中，PC=PE。

解法3：過點P做AC、PM與點M垂直，連接PD、DF，證明△AFD≌于△AEF、△AEF≌△EFP，故PD=PE。再證明在直角梯形DFBC中，PM是其中線，故PC=PD，因此，PC=PE。

三、問題聚焦

出題者對于學(xué)生們的考察主要體現(xiàn)在兩個方面，但是大多數(shù)學(xué)生卻被這兩個方面蒙蔽了本道題的真實意圖，因此，筆者對此題做出以下的改編：△AEF在圍繞著A點進行旋轉(zhuǎn)的過程中，PE與PF相等的結(jié)論是否依然成立？請求證。要想快速解出此題的答案，就要借助于畫圖的方式進行求證，也是求證這道題的突破點。

可以將旋轉(zhuǎn)角假設(shè)為α，如果若0<α<∠BAC的時候，是否可以利用構(gòu)造直角三角形的手段求證？所以此題的關(guān)鍵點就變成了怎樣構(gòu)造直角三角形。

將CP進行延長使CP=PM，然后將EM、CE、FM進行連接。由于BF的中點是P，由此可知BP=PF。其次，CP=PM、∠CPB=∠MPF，所以可以得到△CPB≌△MPF、MF=BC，MF∥BC的結(jié)果。又因為BC與AC是垂直的關(guān)系，所以MF和AC也是垂直的關(guān)系。在Rt△FGH和Rt△AEH中，△AEF∽△ACB，可以得到∠HFG=∠HAE，EF/BC=AE/AC的結(jié)果。因為MF與BC是相等的關(guān)系，所以AE/AC=EF/MF，又因為∠HFG與∠HAE是相等的關(guān)系，所以可以得到△EFC∽△EAC的結(jié)果，進一步可以得知∠AEC=∠FEM。最后一步把上述結(jié)果相加，可以得到∠CEM=∠FEA=90°的結(jié)果，又因為在Rt△CEM中，P點是線CM的中心點，由此可以得到EP=1/2CM=PC。

解答完此題后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考;在旋轉(zhuǎn)過程中，哪些量不變？是否可以依照上述思路去證明△CEM為直角三角形？

通過將圖形不斷的變化，能夠看出不管△AEF怎樣旋轉(zhuǎn)，解題的方法仍然是要證明△CEM為直角三角形，并且它的解題思路與上述第二部分解題思路中的解法1一樣，同樣也是通過構(gòu)建直角三角形，并且利用“直角三角形的斜邊上中線是斜邊的一半”的原理對其進行了求證，從而由此可以看出，上述第二部分解題思路中的解法1，是所有解題的核心點以及關(guān)鍵點。

四、教學(xué)反思

在出題者的眼中，所有的數(shù)學(xué)元素都不是死板的，學(xué)生需要在不斷思考以及參悟的過程中形成一定的動態(tài)思維。筆者通過對本道題的分析、思考以及變形認(rèn)為，學(xué)生需要通過“悟”來打開學(xué)習(xí)的窗戶。但是由于大多數(shù)初中生沒有豐富的解題經(jīng)驗，不能夠靈活運用所學(xué)的數(shù)學(xué)解題方法，面對比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題不知如何下手，從而大面積的丟分。因此，初中數(shù)學(xué)課堂上的老師們需要在分析和解決問題中注重培養(yǎng)小學(xué)生們“悟”的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生們對每一個問題進行思考、拓展，促進學(xué)生們的思維增長。

參考文獻：

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