基于平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)第一宇宙速度的近似推導(dǎo)

湯燁錦 李守謙

（長沙市南雅中學(xué)，湖南 長沙 410029）

1 引言

第一宇宙速度，又稱為環(huán)繞速度是指在地球上發(fā)射的物體（例如航天器或衛(wèi)星）在離地面不遠(yuǎn)處繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的最小初始速度.可見，第一宇宙速度是人類實(shí)現(xiàn)太空探索的一個(gè)重要概念.［1］第一宇宙速度一般是利用萬有引力推導(dǎo)出來的，［2］也可利用重力近似導(dǎo)出.但是，牛頓在其《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出一個(gè)設(shè)想，如果從高山上拋出物體，拋出速度很大，物體就不會(huì)落回地面.［3］這就引出了以下疑問：（1）能不能從拋體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出第一宇宙速度呢？（2）為什么拋出速度較小時(shí)，物體會(huì)落到地面，而拋出速度足夠大時(shí)就不會(huì)落回到地面呢？（3）如果拋出速度很大，拋出物體不落回地面，那么，這時(shí)的物體會(huì)如何運(yùn)動(dòng)呢？為此，本文利用平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)第一宇宙速度進(jìn)行推導(dǎo)，通過分析對(duì)上述疑問進(jìn)行了回答.

2 第一宇宙速度的常規(guī)推導(dǎo)方法

設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星（運(yùn)動(dòng)物體）質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律，二者之間的引力為

其中G為萬有引力常數(shù)，r為地球與衛(wèi)星之間的距離或稱為衛(wèi)星的軌道半徑.

當(dāng)衛(wèi)星以速率v1繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須受到向心力的作用，這個(gè)向心力就是地球?qū)πl(wèi)星的引力，因此有

這就是第一宇宙速度的常用計(jì)算公式.［2］

另一方面，在地球附近，衛(wèi)星受到地球的引力就是衛(wèi)星的重力，利用重力等于衛(wèi)星圍繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有

上面就是導(dǎo)出第一宇宙速度的兩種常用方法，v1和v2則是計(jì)算第一宇宙速度的兩個(gè)常用公式.取G＝6.67×10－11N·m2·kg－2，M＝6×1024kg，g＝9.8 m/s2，將衛(wèi)星的軌道半徑r近似取為地球平均半徑6.4×106m，代入（3）和（5）式得到第一宇宙速度為v1＝7892 m/s，v2＝7920 m/s，兩者非常接近，所以第一宇宙速度的常用值為7.9 km/s.

3 基于平拋運(yùn)動(dòng)的推導(dǎo)方法

假設(shè)在一座山頂上水平發(fā)射一顆炮彈，發(fā)射炮彈的位置記為A，地心位置記為O，如果炮彈沒有受到地球引力作用，炮彈將垂直于直線OA運(yùn)動(dòng)，并于1 s后到達(dá)B點(diǎn)，如圖1所示.事實(shí)上，炮彈必須受到地球的引力作用，所以炮彈的實(shí)際位置為C點(diǎn).由于重力的作用，C點(diǎn)在B點(diǎn)下方4.9 m處.顯然，如果C點(diǎn)位置與地面之間的距離小于A點(diǎn)與地面之間的距離，炮彈將落到地面上，否則就不會(huì)落到地面上.如果C點(diǎn)位置與地面之間的距離與A點(diǎn)與地面之間的距離相同，炮彈將沿地球表面作圓周運(yùn)動(dòng)，這實(shí)際上就是衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)，因此，滿足此條件的炮彈速度就是第一宇宙速度.根據(jù)上述分析，圖1中三角形OAB是一個(gè)直角三角形，直角邊OA近似為地球半徑r，斜邊OB比OA長4.9 m，所以求得直角邊AB為

圖1 平射炮彈運(yùn)動(dòng)示意圖

由于直角邊AB是炮彈在1 s所飛行的距離，所以等于炮彈的速度，記為v3，于是有

這就是我們導(dǎo)出的第一宇宙速度的近似計(jì)算公式.取r＝6.4×106m，代入公式（6），得到v3＝7920 m/s，這個(gè)計(jì)算結(jié)果與公式（5）的計(jì)算結(jié)果完全相同，與公式（3）的計(jì)算結(jié)果十分接近.為了檢驗(yàn)公式（6）的可靠性，我們對(duì)地球半徑的不同取值進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)比情況如表1所示.可以看出，公式（6）與公式（5）的計(jì)算結(jié)果確實(shí)完全相同，并與公式（3）的計(jì)算結(jié)果非常接近.

表1 地球半徑取不同值時(shí)第一宇宙速度計(jì)算結(jié)果

從以上推導(dǎo)過程和結(jié)果可知，基于平射炮彈的運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)第一宇宙速度，方法簡明直觀，且結(jié)果有足夠的精度.這就回答了基于牛頓設(shè)想所帶來的第一問題，即可以從拋體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出第一宇宙速度.

4 分析與討論

如果炮彈速度小于7.9 km/s，它在1 s后的位置記為B1，但它仍然要沿“豎直方向”下降4.9 m，所以炮彈實(shí)際位置C1必然要落在表示等高線的虛線下方，因此，隨著時(shí)間的增大，炮彈離地面越來越近，最終必然要落到地面上.反之，如果炮彈速度大于7.9 km/s，它在1 s后的位置記為B2，但它也只沿“豎直方向”下降4.9 m，所以炮彈實(shí)際位置C2必然要落在表示等高線的虛線上方，顯然，隨著時(shí)間的增大，炮彈必然離地面越來越遠(yuǎn)，最終脫離地球，因此只有滿足（6）式的速度才能保證炮彈繞地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)，這就是第一宇宙速度的含義所在，而且上述分析同時(shí)也回答了基于牛頓設(shè)想所帶來的另外兩個(gè)問題.

5 主要結(jié)論

最后歸納一下，本文從牛頓的“拋體設(shè)想”出發(fā)提出了3個(gè)問題，然后從平拋運(yùn)動(dòng)出發(fā)進(jìn)行分析，回答了這3個(gè)問題.本文主要結(jié)論如下.

第一，從拋體運(yùn)動(dòng)出發(fā)，導(dǎo)出了計(jì)算第一宇宙速度的一個(gè)近似公式，計(jì)算結(jié)果與兩種常用算法完全一致.

第二，從圖1所示幾何關(guān)系可直觀看出，當(dāng)拋體速度小于第一宇宙速度時(shí)，拋體將離地面越來越近，最終必然要落到地面上.

第三，如果拋體速度恰好等于第一宇宙速度，拋體將繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

第四，如果拋體速度大于第一宇宙速度，拋體將離地球越來越遠(yuǎn)，最終脫離地球的吸引.當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論僅僅是針對(duì)圓軌道運(yùn)動(dòng)推論出來的，因而與實(shí)際情況不符.事實(shí)上，當(dāng)拋體速度大于第一宇宙速度時(shí)，拋體將繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，直到拋體速度大于第二宇宙速度時(shí)，拋體才會(huì)脫離地球引力系統(tǒng).