高等數(shù)學(xué)解題反思與數(shù)學(xué)思維

鄭麗娜，李應(yīng)歧

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有的抽象性、自我意識的作用突出，需要學(xué)習(xí)活動與對活動的自我反省調(diào)節(jié)的協(xié)調(diào)統(tǒng)一。然而，很多學(xué)生并沒有意識到這一點，常常忽視基本的概念、定理的理解和掌握。高等數(shù)學(xué)[1]的學(xué)習(xí)過程中會遇到各種各樣的題目，有些題目既需要基礎(chǔ)知識又需要一定的技巧，而題目不是做得越多越好，關(guān)鍵是要進(jìn)行解題反思，將知識內(nèi)化，學(xué)會總結(jié)、提煉。本文以解題反思為切入點，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解題能力進(jìn)行研究。

1 數(shù)學(xué)解題反思的基本內(nèi)涵

“反思”是指對自身的思維過程、結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)知和檢驗的過程，是認(rèn)知過程中強(qiáng)化自我意識、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的主要形式。反思是重要的思維活動，它是思維活動的核心和動力，是思維的關(guān)鍵點和切入點，可以促使思維更加精確化和概括化[2]。反思性學(xué)習(xí)是一種高效的學(xué)習(xí)方式，而解題反思是對解題活動的深層次思考。反思什么？對題意理解的反思，題目涉及知識點的反思，解題思路形成的反思，解題規(guī)律的反思，解題結(jié)果表述的反思，以及解題失誤的反思等，例如，命題的意圖是什么？考查的是什么概念、知識和能力，驗證解題的結(jié)論是否合理？命題所提供條件的應(yīng)用是否完備？解題過程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？是否還有新的解法等。

解題反思具有重要的意義，數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“如果沒有反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面?！蓖ㄟ^回顧解題的整個過程，重新考慮和檢查所求結(jié)果以及得出該結(jié)果的途徑，可以深化對問題的理解、優(yōu)化思維過程、揭示問題本質(zhì)、探索一般規(guī)律、溝通新舊知識之間的聯(lián)系，深化對知識的理解，從而發(fā)展解題的能力，提高學(xué)習(xí)的效率以及提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

2 學(xué)生做題存在的問題

現(xiàn)今學(xué)生在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中很少有反思過程，更不用說解題反思。在做題時主要存在以下問題：

1)做題照葫蘆畫瓢。完全照搬老師上課講的例題或者課本上例題的解答，做類似的題目，當(dāng)題目有變形時，解答就出錯，缺乏真正意義上的解題回顧。

2)做題只注重數(shù)量。一味追求多做題，不重視做題過程和反思，沒有反思的意識和習(xí)慣。

3)做題只關(guān)心結(jié)果。做題只看結(jié)果，沒有系統(tǒng)地掌握知識，純粹靠死記硬背，沒有真正領(lǐng)會解題的思想和方法。

4)做題不注重擴(kuò)展。對于做過的題目不分析不拓展，面臨新題或者靈活性比較強(qiáng)的題目時，往往沒有思路，束手無策。

3 引導(dǎo)解題反思，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

3.1 對題目的反思

3.1.1 引導(dǎo)多解，多角度反思

高等數(shù)學(xué)各知識點之間緊密聯(lián)系，是一個完整的知識體系,解題的思路靈活多變，但最終殊途同歸，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注一題多解，一題多變和多題一解。要引導(dǎo)學(xué)生反思問題本身，在做完某道題后要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“頭腦風(fēng)暴”。根據(jù)題目的基本特征和關(guān)鍵因素，進(jìn)行多方位、多角度的觀察、聯(lián)想與反思。反思該問題是否有新的解法，如果有則應(yīng)分析比較，找出最佳解法，培養(yǎng)發(fā)散性的思維；還要反思能否對原題變式拓展，有些題目改變原題的結(jié)論或條件，可以把一道題變?yōu)槎嗟李}，從不同側(cè)面理解題目涉及的知識點，提高思維的靈活性；更要對問題分門別類，通過對多樣的或者不同問題的統(tǒng)一解法，有利于學(xué)生思維敏捷性的提高，在做題的過程中進(jìn)行多元化思維，自主構(gòu)建知識框架，全面把握各個知識點，從而培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知遷移、深刻理解、靈活應(yīng)用以及解決問題的能力[3]。

案例1學(xué)習(xí)一元函數(shù)微積分時解決過下列問題：

1)如何求密度分布不均勻的細(xì)棒的質(zhì)量？

2)如何求一根細(xì)棒對一個質(zhì)點的引力？

3)如何求平面圖形的面積？

學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分時解決過下列問題：

1)如何求密度分布不均勻的平面薄片的質(zhì)量？

2)如何求空間一物體對于物體外一點處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力？

3)如何求空間曲面的面積？

4)如何求平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量？

多元函數(shù)積分學(xué)是一元函數(shù)積分學(xué)在空間中的推廣，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)時，要聯(lián)系一元函數(shù)積分學(xué)處理問題的思路與解題經(jīng)驗，將某些問題聯(lián)系起來考慮，這樣容易發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)與聯(lián)系，找到一類問題的解決方法,而案例中的問題均需采用“微元法”分析求解。經(jīng)過這樣的反思，可以達(dá)到一題多解的效果，把書讀薄，凝練提升，吸取精華，提高效率。

3.1.2 挖掘內(nèi)涵，反思發(fā)現(xiàn)

一個好的數(shù)學(xué)問題往往有比較深刻的內(nèi)涵，而發(fā)現(xiàn)一個問題遠(yuǎn)比解決一個問題更重要。如果在問題求解以后對題目進(jìn)行反思，挖掘問題的內(nèi)涵，將問題拓展延伸，找出新的問題，深化認(rèn)識，這不僅有助于幫助學(xué)生舉一反三，觸類旁通，而且培養(yǎng)了思維的廣闊性。

3.2 對解題過程的反思

3.2.1 嘗試錯誤，反思糾正

有些題目采用正誤對比，設(shè)置陷阱的方法，暴露出學(xué)生平時解題時容易犯的錯誤，讓他們自己去探索錯誤的根源，反思問題的癥結(jié)，這樣對知識的理解更加深刻。

這是一道計算第二類曲線積分的常規(guī)題目，題目不難，但是很容易出錯。在上述3種解法中，第1種解法利用對稱性簡化計算，第2種解法將曲線積分化為對y的定積分，第3種解法將曲線積分化為對x的定積分。看似都沒有錯誤，但結(jié)果不一樣，其中一定有錯誤的解法。這勢必引起學(xué)生的好奇心，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，經(jīng)過分析討論學(xué)生認(rèn)識到3種解法均是錯誤的，從而讓學(xué)生意識到計算第二類曲線積分時應(yīng)注意的問題。這樣對題目求解過程中的易錯點進(jìn)行反思，可以加深學(xué)生對該知識的印象，避免重蹈覆轍，破除思維定式。

3.2.2 轉(zhuǎn)化思維，反思?xì)w納

3.2.3 雙向考慮，反思切入

從解題入手尋找解題途徑的基本方法，從問題入手，尋找要想獲得所求，必須要做什么，找到“需知”。將“需知”作為新問題，直到與“已知”所能獲得的“可知”相溝通，將問題解決，也就是利用逆向思維分析問題，解決問題。此外，還可將函數(shù)變形，一般變形的方向是化繁為簡，化抽象為具體，化未知為已知。題目中的已知條件和待求結(jié)論之間的橋梁建立是解決問題的關(guān)鍵。在分析已知條件和待求結(jié)論之間的差異的基礎(chǔ)上，化歸和消除這些差異，尋找差異是變形依賴的原則。

3.3 對“解”的反思

3.3.1 鼓勵質(zhì)疑，反思批判

案例6求曲線y=-x2+4x+3在其頂點處的曲率(答案為-2)。

這是學(xué)生在期末考試時的錯誤解答，雖然錯誤很明顯(曲率不可能是負(fù)值)，并且容易改正，但是學(xué)生因缺少反思的意識而未發(fā)現(xiàn)錯誤。當(dāng)一個問題解決后，并不代表對該問題的思維活動已經(jīng)結(jié)束，還要繼續(xù)研究。教師在教學(xué)的過程中要引導(dǎo)學(xué)生反思題解，從是否符合實際、符合題意、邏輯過程、隱含條件等方面進(jìn)行反思，鼓勵持懷疑的態(tài)度，反思解的合理性與正確性，提升思維的批判性,提高做題的正確率。

3.3.2 思考全面，反思邏輯

案例7設(shè)有一圓板占有平面閉區(qū)域{(x,y)|x2+y2≤1}。該圓板加熱，以致在點(x,y)的溫度是T=x2+2y2-x，求該圓板的最熱點與最冷點[1]。

這是一個最值問題，轉(zhuǎn)化成極值問題解決。很多學(xué)生在做該題時，往往只是利用無條件極值的求法在區(qū)域{(x,y)|x2+y2<1}內(nèi)求極值。反思錯誤的原因，主要是分類不全導(dǎo)致的,這實際上是無條件極值與條件極值的綜合性問題，在區(qū)域內(nèi)部屬于無條件極值，在邊界曲線上屬于條件極值問題，必須分類討論。

經(jīng)驗總結(jié):高等數(shù)學(xué)中有一類問題考查學(xué)生的思維邏輯是否嚴(yán)密與正確，考慮問題是否全面，比如分類討論就屬于其中的一方面。通過引導(dǎo)學(xué)生這樣反思，有助于加強(qiáng)學(xué)生思維的邏輯性，更加全面地考慮問題。

3.3.3 引導(dǎo)回顧，反思優(yōu)化

當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題解決后，要反思得到的結(jié)論，進(jìn)行思維過程的再驗證與再認(rèn)識，從“解”出發(fā)，將其作為條件，有時可以發(fā)現(xiàn)一些新的方法或者是更一般的求解方法，不僅可以將解題過程優(yōu)化，推廣解題的成果，還可以拓展學(xué)生思維的廣度。

4 對解題反思提升數(shù)學(xué)思維與解題能力的進(jìn)一步思考

4.1 學(xué)生數(shù)學(xué)思維障礙的表現(xiàn)

由于教師的教學(xué)脫離了學(xué)生的實際，且學(xué)生新舊知識不能順利“交接”，導(dǎo)致學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維障礙：思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存在差異，主要表現(xiàn)在以下方面。

1)數(shù)學(xué)思維的膚淺性。只注重由因到果的習(xí)慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問題的途徑和方法；缺乏足夠的抽象思維能力。

2)數(shù)學(xué)思維的差異性。在思維方法、速度以及思維的獨立性和靈活性等方面存在差異。

3)數(shù)學(xué)思維的消極性。容易墨守成規(guī)，陷入思維定式。

4.2 破除思維障礙

教師要引導(dǎo)學(xué)生突破數(shù)學(xué)思維障礙，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識與數(shù)學(xué)意識，引導(dǎo)他們認(rèn)識其原有的思維框架，消除思維定式。而數(shù)學(xué)思維形成的困難主要由于教師“心中無生”，按照自己的思路或邏輯進(jìn)行灌輸式教學(xué)；學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，沒有架起新舊知識聯(lián)系的橋梁，沒完成知識建構(gòu)。因此，要想突破數(shù)學(xué)思維形成的困難，教師要做到以下幾點。

1)遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點，照顧到學(xué)生認(rèn)知水平的個性差異，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主動精神。

2)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識，如“因果轉(zhuǎn)化”“類比轉(zhuǎn)化”等。

3)消除思維定式。思維具有反映同一律(等值變形、等價變換)，思維相似律(同中辨異、異中求同)等基本規(guī)律。思維的特性包括：概括性，概括性越高，知識的系統(tǒng)性越強(qiáng)，遷移越靈活；問題性，問題是數(shù)學(xué)的心臟，要注重問題的發(fā)現(xiàn)和解決過程；相似性,從已解決的問題中概括出思維模式，再去處理類似問題，進(jìn)而形成新的模式，構(gòu)成相似系列，即各種命題與方法的相似鏈。數(shù)學(xué)思維的模式主要包括以下幾類。

逼近模式：正向逼近—順推演繹法，逆向逼近—逆求分析法，雙向逼近—分析綜合法，反面逼近—反證法，模糊逼近—嘗試探索法，近似逼近—極限法。

疊加模式：化整為零，以分求和。把問題歸結(jié)為若干種并列情形的總和或者插入有關(guān)的環(huán)節(jié)構(gòu)成一組小問題；處理各種特殊情形形成各種小問題，將它們適當(dāng)組合、疊加而得到問題的一般解，如爬坡法、邏輯劃分法、中途點法、輔助定理法；容斥原理。

變換模式：利用代數(shù)變換、三角變換、幾何變換、相似變換等。

映射模式：幾何法、解析法、向量法、極坐標(biāo)法、參數(shù)法等。

4.3 策略

在運用解題反思提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高高等數(shù)學(xué)的解題能力的探究中，教師要采取合適的策略：注重題目的設(shè)計，起到促進(jìn)學(xué)生反思的作用；課堂上提供充足的反思時間與空間，合理留白，多讓學(xué)生思考“怎么做”“為什么這樣想”“還能怎么想”等，讓學(xué)生有表述想法和疑惑的機(jī)會，做到知其然，亦知其所以然，還知其何由所以然[6]；采取情境式教學(xué)，創(chuàng)設(shè)反思的情境，增強(qiáng)學(xué)生的解題體驗；充分利用小組合作、圍桌學(xué)習(xí)、項目學(xué)習(xí)、沉浸學(xué)習(xí)等學(xué)習(xí)方式；指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，鼓勵他們采用思維導(dǎo)圖的形式，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，將各個知識聯(lián)系起來；加強(qiáng)糾錯，讓學(xué)生相互之間進(jìn)行錯題展示與講解，強(qiáng)化其對易犯錯誤的印象;講授數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容以及方法等。