用綜合法構(gòu)造6m+3階完美幻方

徐向東

(烏蘭察布職業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000)

幻方是組合數(shù)學(xué)區(qū)組設(shè)計(jì)的一個(gè)新領(lǐng)域，與正交拉丁方存在天然聯(lián)系[1-7]。完美幻方，又稱全對(duì)稱幻方，性質(zhì)不平凡，約束條件諸多，獲取不易。1985年，李立曾經(jīng)將全對(duì)稱幻方分為五類(lèi)：4m階、4m+2階、6m-1階、6m+1階和6m+3階全對(duì)稱幻方，探索其構(gòu)造方法[1]。對(duì)于6m±1階全對(duì)稱幻方，按連續(xù)擺數(shù)法，采用中國(guó)象棋馬步和士步排序法構(gòu)成，并通過(guò)幾種變換得到若干構(gòu)造方法[1]；對(duì)于4m階全對(duì)稱幻方，李立給出十種構(gòu)造方法[2]。

對(duì)于構(gòu)造6m+3階完美幻方，方法相對(duì)比較復(fù)雜。本文首先按自然數(shù)序列，構(gòu)成n=6m+3階方陣的行列編碼，接著實(shí)施同步變換，再將變換后的方陣按連續(xù)擺數(shù)法，采用中國(guó)象棋馬步和炮步走法[記作H(k+1,j+2)+G(k+2,j)步]并結(jié)合排序法，構(gòu)造出6m+3階完美幻方。此方法不同于王輝豐和詹森的構(gòu)造方法[3]。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè){n}表示集合{1,2,3，…n}，

(1)

(2)

(3)

(4)

其中n為{n}中的元素，<0>n=n，n=n，當(dāng)0

2 構(gòu)造6m+3階完美幻方

本文規(guī)定如下排列：

U=(1,2,3…n)=(1,2,3,4,5,6,…,6m+1,6m+2,6m+3)=(u1,u2,u3,…,u6m+1,u6m+2,u6m+3)，

(m,n為正整數(shù)，n=6m+3)，

U2=(<1>n,<3>n,<5>n,…,<2n-1>n)=

引進(jìn)變換：

C’U:u4→c6,u5→c4,u6→c5,u7→c8,u8→c9,u9→c7,ui→ci(i=1,2,3,3m+7,3m+8,3m+9,…,6m+3),ui→c3m+16-i(10≤i≤3m+6)。

令C=(c1,c2,c3,…,c6m+1,c6m+2,c6m+3)為U的一個(gè)變換，滿足

(5)

定理1 按照連續(xù)擺數(shù)法，采用中國(guó)象棋馬步和炮步走法[記作H(k+1,j+2)+G(k+2,j)步]并結(jié)合排序法，可以構(gòu)造出n=6m+3階完美幻方。

其過(guò)程如下：

首先將自然數(shù)數(shù)列{n2}按順序從上到下、從左到右排成n行n列方陣Zn，

Zn=(z1,z2,…,zn)，其中zi=(i,i+1,i+2,…,i+n-1)T，(T表示轉(zhuǎn)置)，稱為自然數(shù)序列n階方陣。其次對(duì)Zn進(jìn)行行列編碼的同步變換：

令Qi=(0,0,0,…,ec3i-2,ec3i-1,ec3i,…,0,0,0)n,

(i={2m+1})，

其中ek為第k個(gè)分量為1、其余分量皆為0的單位向量。

(i={n})；

PU∶Pu1=n,Pui=n,

(i={2,3,…,n})，

PjU=PPj-1U,P0U=IU,(j={n})；

HjU2=H(Hj-1U2),H0U2=IU2,(j={n})。

設(shè)上述Fn=(fkj)n×n,又設(shè)Mn=(mkj)n×n，做變換：

以M9的構(gòu)造過(guò)程為例，首先將自然數(shù)序列方陣Z9進(jìn)行行列編碼的同步變換，Z9→F9，然后從m1,1開(kāi)始，按中國(guó)象棋馬步[H(k+1,j+2)步]排列F9的第一列“1,2,3,5,6”，此時(shí)“6”已在方陣M9的右邊上，可將方陣M9左右兩邊連成一圓筒，接著排列“4,9,7,8”，F(xiàn)9的第一列已排完；此時(shí)“8”已在M9的最下邊，可將方陣M9上下兩邊連成一圓筒，從“8”到“10”(F9第二列的第一個(gè)數(shù))按中國(guó)象棋炮步[G(k+2,j)步]排列(炮步稱為列與列之間的過(guò)渡步)；F9第二列從“10”到“17”均用馬步排列，馬步稱為內(nèi)連續(xù)步；一直排到F9的最后一個(gè)數(shù)“71”。這樣就得到一個(gè)9階完美幻方M9，如文末舉例所示。用同樣的方法可以構(gòu)造15階，21階，…，6m+3階完美幻方。

3 6m+3階完美幻方的證明

Mn=nAn+Bn+E，

其中E為所有元素全為“1”的n階方陣。

下面證明An和Bn是滿足條件(1)～(4)的完美拉丁方。

首先證明，An是滿足條件(1)～(4)的完美拉丁方。

可以驗(yàn)證，

(6)

(7)

(8)

(9)

(9)式左端各條對(duì)角線的起始元素和右端向量的起始元素并不是一一對(duì)應(yīng)的，但是總和是相等的。

其次證明Bn是滿足條件(1)～(4)的完美拉丁方?？梢则?yàn)證，

(10)

(11)

(12)

(13)

(12)、(13)式左端各條對(duì)角線的起始元素和右端向量的起始元素并不是一一對(duì)應(yīng)的，但是總和是相等的。

最后證明Mn=nAn+Bn+E是滿足條件(1)～(4)的完美幻方。可以驗(yàn)證，

(n+1)L+n=μ,

j={n}。

類(lèi)似可得Mn滿足條件(2)～(4)。故Mn是6m+3階完美幻方。

4 6m+3階完美幻方舉例

下面給出9階自然數(shù)序列方陣Z9和其對(duì)應(yīng)的同步編碼變換方陣F9，完美幻方M9及正交完美拉丁方A9，B9示例。