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    基于Hermite多項式函數(shù)鏈模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的PMLSM分數(shù)階反推控制

    2021-10-13 14:42:06趙希梅王天鶴
    電機與控制學報 2021年9期
    關鍵詞:反推伺服系統(tǒng)性能指標

    趙希梅, 王天鶴

    (沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院,遼寧 沈陽 110870)

    0 引 言

    與傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機相比,永磁直線同步電動機(permanent magnet linear synchronous motor,PMLSM)將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為直線運動,省去了中間機械傳動變換裝置,有效降低了機械損耗、齒側(cè)間隙等缺點,在實際應用中提高了系統(tǒng)的定位精度[1-2]。但由于PMLSM固有的機械結構,使系統(tǒng)中存在的參數(shù)變化和外部擾動等不確定性因素直接作用在電機動子上,影響了伺服系統(tǒng)的控制性能[3]。因此,為滿足高精度位置控制的要求,必須在控制系統(tǒng)設計中有效地解決這些問題。

    反推控制是一種強魯棒性的非線性控制方法,能夠利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對高階系統(tǒng)的每一階子系統(tǒng)設計虛擬控制律,從而實現(xiàn)全局調(diào)節(jié)和跟蹤[4]。但反推控制需要系統(tǒng)精確的動態(tài)模型,參數(shù)變化和外部擾動都可能導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此,為減小不確定性對系統(tǒng)造成的影響,可以將反推控制中加入自適應,使反推控制具有自適應規(guī)律,以獲得良好的自適應控制性能[5]。對于復雜的控制系統(tǒng)模型而言,傳統(tǒng)的反推控制采用的整數(shù)階運算不一定能使系統(tǒng)獲得最佳性能[6]。文獻[7]采用了分數(shù)階反推控制(fractional-order backstepping control,F(xiàn)OBC)方案,與整數(shù)階運算相比,分數(shù)階運算具有更高的自由度,能實現(xiàn)更好的性能。文獻[8]將FOBC用于非線性系統(tǒng)中,能夠減弱不確定性和外部擾動對系統(tǒng)的影響,無論初始狀態(tài)如何,系統(tǒng)都能借助FOBC在有限時間內(nèi)收斂,達到更好的控制目的。雖然FOBC能夠減小不確定性對系統(tǒng)造成的影響,但由于其使用了單一的自適應律,自適應效果較差。因此,可采用神經(jīng)網(wǎng)絡在線估計不確定性,由于將多個自適應律相結合,系統(tǒng)的收斂速度也隨之提高。函數(shù)鏈模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(functional link fuzzy neural network,F(xiàn)LFNN)將函數(shù)鏈神經(jīng)網(wǎng)絡與模糊規(guī)則相結合,與傳統(tǒng)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡相比,可以加快收斂速度并降低計算復雜度[9-10]。

    為了更加有效地控制PMLSM伺服系統(tǒng),本文采用了FLFNN與FOBC相結合的控制方案。FOBC在傳統(tǒng)反推控制的基礎上加入了分數(shù)階運算,減弱了不確定性對系統(tǒng)的影響;同時采用FLFNN對系統(tǒng)中存在的不確定性進行估計,且將易于計算、具有強大逼近能力的Hermite函數(shù)作為其擴展函數(shù),改善了FLFNN的建模性能和學習效率,提高了PMLSM控制系統(tǒng)的魯棒性。但由于估計誤差不可避免,因此采用指數(shù)補償器對估計誤差進行補償,該補償器的控制增益能夠隨跟蹤性能而改變。最后,通過實驗驗證了該方法的有效性。

    1 PMLSM數(shù)學模型

    PMLSM的電磁推力方程為

    (1)

    式中:Fe為電磁推力;τ為極距;λd、λq,id、iq,Ld、Lq分別為d、q軸的磁鏈、電流和電感;λPM為磁鏈。

    由式(1)可知,若id=0,則Fe僅與iq成正比,那么通過控制iq就可使推力達到最大,因此PMLSM的電磁推力可簡化為

    (2)

    式中:kf為電磁推力系數(shù)。

    PMLSM的運動方程為

    (3)

    將式(3)改寫為

    f+gu+d。

    (4)

    通常,系統(tǒng)的不確定性會使參數(shù)f和g發(fā)生變化,而外部擾動會對動子的位置x造成影響。因此,在存在參數(shù)變化和外部擾動時,式(4)改為

    fn+gnu+Ω。

    (5)

    式中:Δf和Δg為建模誤差和參數(shù)變化;Ω=Δf+Δgu+d為總的不確定性且|Ω|≤ρ,ρ為正常數(shù)。一般來說,由于老化、磨損和操作條件的變化,PMLSM的不確定性很難精確得到。因此,本文的目的是設計一個高性能的控制系統(tǒng),使動子在存在不確定性的情況下準確地跟蹤位置指令。

    2 PMLSM系統(tǒng)的設計

    PMLSM伺服系統(tǒng)框圖如圖1所示。通過直線光柵尺檢測動子位置,位置控制器采用基于HFLFNN的FOBC方法,其輸入為位置跟蹤誤差ec,輸出為q軸電流;通過電流傳感器檢測三相初級繞組電流ia、ib和ic,經(jīng)過Clarke變換和Park變換轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)坐標系中的直流分量id和iq作為電流環(huán)的負反饋量,電流控制器采用PI控制。

    圖1 PMLSM伺服系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of PMLSM servo system

    2.1 反推控制系統(tǒng)設計

    PMLSM伺服系統(tǒng)的控制目的是使動子的位置x漸近地跟蹤參考軌跡xd。步驟如下:

    第一步:定義跟蹤誤差ec=xd-x,然后定義虛擬穩(wěn)定函數(shù)為

    (6)

    式中kB1為正常數(shù)。定義虛擬跟蹤誤差為

    (7)

    (8)

    (9)

    (10)

    (11)

    式中:kB2為常數(shù);sgn(·)為符號函數(shù)。將式(11)代入式(10)得

    (12)

    2.2 分數(shù)階反推控制系統(tǒng)設計

    為提高基于反推控制的PMLSM伺服系統(tǒng)的跟蹤性能,提出了一種基于分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù)的FOBC方法,可以有效地提高系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應。首先,選擇分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù)為

    (13)

    式中:kFB1、c1和c2為正常數(shù);α和β為分數(shù)階的導數(shù)和積分的階數(shù)。然后,定義虛擬跟蹤誤差為

    c1Dαec+c2D-βec。

    (14)

    對式(14)求導得

    (15)

    c2ecD-βec)+ρsgn(eFB)]。

    (16)

    式中:當eFB>0,eFB=0和eFB<0時,sgn(·)的值分別為1,0和-1,則式(5)描述的控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

    為保證FOBC系統(tǒng)的穩(wěn)定性,將式(13)、式(14)代入式(9)得

    ec(φFB-kFB1ec-c1Dαec-

    c2ecD-βec。

    (17)

    fn-gnu-Ω)。

    (18)

    若FOBC采用式(16)中控制律,則

    ρ|eFB|-eFBΩ≤

    |eFB|ρ+|eFB||Ω|≤-

    |eFB|(ρ-|Ω|)≤0。

    (19)

    2.3 基于HFLFNN的不確定性估計器的設計

    由于Hermite多項式具有獨特的逼近能力,因此選擇式(20)所示的多項式作為輸入變量構成HFLFNN[11]。其結構如圖2所示。

    圖2 HFLFNN的結構框圖Fig.2 Structure diagram of HFLFNN

    (20)

    式中:ψk為正交Hermite多項式函數(shù);n為擴展函數(shù)的數(shù)量。此外,正交Hermite多項式由H1(xi)=1,H2(xi)=2xi,…,Hk(xi)=2tHk-1(xi)-2(k-1),Hk-2(xi),k≥3。因此對于輸入向量X=[x1,x2]T,輸入向量可以擴展到增強空間,如ψ=[ψ1,ψ2,…,ψn]T=[ψ1(x1),ψ2(x1),…,ψn/2(x1),ψ1(x2),ψ2(x2),…,ψn/2(x2)]。

    第2層(隸屬層)中的每個節(jié)點采用高斯函數(shù)充當隸屬函數(shù)

    (21)

    式中:cij和σij分別是高斯函數(shù)的均值和標準差;m表示該層中的節(jié)點數(shù)。

    第3層(規(guī)則層)中的節(jié)點將第2層的輸入信號相乘

    (22)

    式中γj是第j個模糊規(guī)則的激活函數(shù)及第3層的輸出。網(wǎng)絡的輸出由第j個節(jié)點的線性和來表示

    (23)

    式中:θkj為連接權重;ξi為函數(shù)擴展的輸出。

    第4層(推理層)中的節(jié)點將來自第3層的輸出γj和來自網(wǎng)絡的輸出ξi相乘,即

    (24)

    推理層中每個節(jié)點的模糊規(guī)則j為:若x1為A1j,x2為A2j,則

    (25)

    第5層(輸出層)中的每個節(jié)點對應于單個輸出量且充當解模糊器,即

    (26)

    式中:wj為第4層和第5層的連接權重;y為HFLFNN的輸出;參數(shù)w,c,σ和θ定義為w=[w1...wm]T∈Rm×1,Θ=[Θ1…Θm]T∈Rm×1,c=[c11…c1m,c21…c2m]T∈R2m×1,σ=[σ11…σ1m,σ21…σ2m]T∈R2m×1和θ=[θ11…θ1m,θ21…θ2m,θn1…θnm]T∈Rnm×1。

    由于通用函數(shù)逼近特性,存在理想HFLFNN不確定性估計器,其輸出可以均勻地近似不確定性為

    Ω=y*+Δ=W*TΘ(c*,σ*,θ*)+Δ=

    W*TΘ*+Δ。

    (27)

    式中:Δ表示由于HFLFNN的有限結構而導致的最小估計誤差;W*,Θ*,c*和θ*為W,Θ,c和θ的最優(yōu)參數(shù)向量。但確定最優(yōu)估計下的最優(yōu)向量幾乎不可能,因此采用了HFLFNN來實現(xiàn)估計,即

    (28)

    (29)

    (30)

    2.4 在線不確定性估計的補償和參數(shù)調(diào)整

    為了更加有效地估計不確定性,采用指數(shù)補償器平滑地補償HFLFNN的估計誤差。同時,為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,推導自適應估計律。將式(27)代入式(15)得

    (31)

    系統(tǒng)的雅克比矩陣可改寫為?V2/?uE=-e2。計算誤差項

    (32)

    基于HFLFNN的FOBC總控制律uIFB=u為

    uIFB=uFB+uEC,

    (33)

    (34)

    (35)

    式中:q滿足條件0

    (36)

    式中:ηw,ηc,ησ和ηθ為正的學習律,保證了PMLSM控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性?;贖FLFNN的FOBC結構框圖如圖3所示。

    圖3 基于HFLFNN的FOBC系統(tǒng)框圖Fig.3 Structure diagram of FOBC based on HFLFNN

    3 系統(tǒng)仿真與實驗分析

    為驗證所提方法的有效性,采用MATLAB/Simulink仿真軟件與DSP實驗平臺對基于HFLFNN的FOBC系統(tǒng)進行了仿真與實驗研究。選取PMLSM的主要參數(shù)為M=16.4 kg,B=8.0 N·s/m,τ=16 mm,kf=50 N/A,基于HFLFNN的FOBC系統(tǒng)的參數(shù)為:kB1=15.5,kB2=0.05,ρ=0.01,kFB1=15,kFB2=0.03,c1=0.03,c2=0.01,α=0.4,β=0.3,ηw=0.03,ηc=0.001,ησ=0.01,ηθ=0.01,q=0.4,E=0.1,r=0.05。所有控制器參數(shù)在選取時均經(jīng)過多次仿真與實驗試湊調(diào)整,以保證系統(tǒng)具有最佳的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。

    在圖4(a)所示的梯形位置輸入信號下,對系統(tǒng)施加如圖4(b)所示的變負載條件。反推控制、FOBC和基于HFLFNN的FOBC的PMLSM系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線分別如圖5(a)、5(b)、5(c)所示。為便于控制器性能的比較與分析,選取仿真和實驗結果的最大跟蹤誤差PM、平均跟蹤誤差PA和跟蹤誤差的標準差PS作為性能指標。表1為三種控制方法仿真結果的性能指標。

    圖4 位置輸入信號和負載曲線Fig.4 Position input signal and load curves

    圖5 梯形輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(仿真結果)Fig.5 Position tracking error curves of trapezoidal input signal (simulation results)

    表1 跟蹤性能指標

    在相同的位置輸入信號與變負載條件下,對PMLSM系統(tǒng)進行了實驗研究。實驗時采用DSP TMS320F2812A作為執(zhí)行單元,基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)結構圖如圖6所示,主要包括PWM逆變器,PMLSM、直線光柵尺、電流傳感器和DSP控制單元等。三種控制方法下的位置跟蹤誤差曲線分別如圖7(a)、7(b)、7(c)所示,對應的實驗結果性能指標如表2所示。

    圖6 基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)結構圖Fig.6 Structure diagram of PMLSM control system based on DSP

    圖7 梯形輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(實驗結果)Fig.7 Position tracking error curves of trapezoidal input signal (experimental results)

    表2 跟蹤性能指標

    對比圖5和圖7的位置跟蹤誤差曲線可以看出,不管是仿真結果還是實驗結果,三種方法在梯形信號的轉(zhuǎn)折處和負載突變處都存在誤差,但所提出的基于HFLFNN的FOBC方法控制下的位置跟蹤誤差曲線更為平滑,波動更小。對比表1和表2可以看出,相比于仿真結果,實驗結果效果稍差,但所提方法的跟蹤誤差的PM、PA和PS性能指標都明顯優(yōu)于反推控制和FOBC方法,取得了較高的位置跟蹤精度。因此,無論在轉(zhuǎn)折處還是負載變化時,基于HFLFNN的FOBC都具有更小的誤差和更好的穩(wěn)態(tài)性能。

    為實現(xiàn)PMLSM的變速運動,給定正弦輸入信號如圖8所示,反推控制、FOBC和基于HFLFNN的FOBC的PMLSM伺服系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線分別如圖9(a)、圖9(b)和圖9(c)所示,三種控制方案對應的性能指標如表3所示。從跟蹤誤差曲線波形圖可明顯看出,圖9(a)的誤差曲線波動幅度最大,圖9(c)的誤差曲線最平穩(wěn)。對比表3也可以看出,基于HFLFNN的FOBC控制方法在變速運動時仍能保證較好的位置跟蹤性能,最大跟蹤誤差及平均誤差明顯小于另外兩種方法,且跟蹤誤差的離散程度更小。因此,通過實驗可知,基于HFLFNN的FOBC方案顯著提高了系統(tǒng)的控制精度和魯棒性能。

    圖8 正弦位置輸入信號Fig.8 Sinusoidal position input signal

    圖9 正弦輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(實驗結果)Fig.9 Position tracking error curves of sinusoidal input signal (experimental results)

    表3 跟蹤性能指標

    4 結 論

    針對PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤精度問題,采用基于HFLFNN的PMLSM分數(shù)階反推控制方案。利用FOBC減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差;為進一步提高FOBC下的PMLSM系統(tǒng)的定位精度和魯棒性,設計了包含HFLFNN不確定性估計器和指數(shù)補償器在內(nèi)的FLFNN分數(shù)階反推控制,F(xiàn)LFNN通過在線學習估計系統(tǒng)中存在的不確定性,指數(shù)補償器通過平滑指數(shù)自調(diào)節(jié)機制來補償估計誤差;最后通過Lyapunov函數(shù)推導出基于HLFNN的FOBC的自適應估計律。實驗結果驗證了所提出的控制方法具有更好的控制性能。

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