簡潔新穎 解法開放
——2020年廣東省初中學業(yè)水平考試數(shù)學壓軸題賞析

廣東省廣州市海珠區(qū)黃埔中學(510330) 蔡映霞

2020年廣東省初中學業(yè)水平考試(以下簡稱為廣東省中考)數(shù)學命題面向全省19 個地市的初三學生,以初中學業(yè)水平檢測和高中入學選撥為雙重目標,著重考考查了數(shù)學課程標準[1]中提出的數(shù)感、符號意識、幾何直觀、數(shù)據分析概念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識等核心數(shù)學概念、思想和方法.內容方面,涵蓋了初中數(shù)學的主要知識點;難度方面,難易逐級遞進,層次清晰;試卷呈現(xiàn)方面,語言通俗易懂,表格簡潔,圖形優(yōu)美.另外,2020年廣東省中考數(shù)學卷答題時間為90 分鐘,比往年少了10 分鐘,因此,在保持總題量和題型不變的情況下,減少了一道解答題,增加了一道填空題;解答題的分值也有所調整,其中的壓軸題比往年增加了1 分.

1 壓軸題的整體特征

壓軸題是歷年廣東省中考數(shù)學卷最受關注的題目.受考試總時間比往年減少10 分鐘的影響,2020年廣東省中考數(shù)學的壓軸題愈發(fā)成為關注的焦點.該題主要考查拋物線、直線的解析式以及相似三角形的綜合知識.原題如下:

例(2020 廣東省初中學業(yè)水平考試數(shù)學卷第25 題).

如圖1,拋物線y=+bx+c與x軸交于A,B兩點,點A,B分別位于原點的左、右兩側,BO= 3AO= 3,過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C,D,

圖1

(1)求b,c的值;

(2)求直線BD的函數(shù)解析式;

(3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方,點Q在射線BA上.當ΔABD與ΔBPQ相似時,請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標.

相比廣東省歷年來大部分的中考數(shù)學壓軸題,該題具有如下幾個整體特征: 一是圖形簡單,只出現(xiàn)了一條含虛線對稱軸的拋物線和一條線段,簡介美和對稱美一覽無余;二是題目的文字表述十分簡介,考生可以輕松地捕獲基本信息;三是題目設計的難度遞進層次清晰: 第(1)小題只需把A和B點的坐標代入二次函數(shù)的表達式就可以算出b和c的值,或設y=(x+1)(x ?3)則通過比較系數(shù)更簡便地得到答案.該小題屬于明顯的送分題,增加了考生的信心;第(2)小題需要過D點向x軸做垂線(設垂足為E點),利用BC:CD=BO:OE=就能求出D的橫坐標,然后代入拋物線的解析式就可以得到出D的坐標.再用B,D兩點的坐標求出直線BD的解析式.該小題要求考生具有較好的觀察、聯(lián)想和推算能力,而通過這一長度比例關系來求D的橫坐標,更是考查了學生的數(shù)感.本小題的難度為中等;第(3)小題由于點P和Q均可變動,而ΔABD的邊長和角度信息均不明朗,難度陡增,是篩選優(yōu)秀學生的一個好題目.

2 壓軸題的多種解法及評析

2020年廣東省中考數(shù)學壓軸題的第(3)小題要求直接寫出滿足條件的點Q的坐標,不需要給出計算和推理過程.這意味著除了常規(guī)解法外,有些超前學習了高中甚至大學數(shù)學知識的考生將擁有更多的解決工具;而有些考生通過大膽猜測ΔABD的角度,有可能推算出一兩個點Q的坐標.因此,考生在解題時可以八仙過海,各顯神通.本文將給出第(3)小題的四種解法,并對其做簡要的評析.以下總設坐標P(0,v),Q(u,0),其中v <0,u<3.

解法一: 利用邊邊邊對應成比例來求點Q的坐標.在求出三個點的坐標之后,利用兩點間的距離公式容易求得AB= 4,AD=BD=這樣便可得到ΔBPQ三邊的長度為BP=

注意到∠PBQ始終為銳角,因此,ΔABD與ΔBPQ相似意味著可能且只可能發(fā)生以下四種情形.情形一:ΔBPQ∽ΔBDA,則∠BQP為鈍角,從而u >1.從邊邊邊對應成比例可以得到BP:BD=BQ:BA=PQ:DA,據此建立方程組就可以求出u和v的值.情形二、三、四分別是ΔBQP∽ ΔBDA,ΔBQP∽ ΔDAB和ΔBQP∽ΔDBA.由它們可以分別建立二元二次方程組,再解出u和v的值即可

這種解法屬于最直接最機械的方法,要求考生熟悉兩點的距離公式且具有較強的計算能力.采用這種方法可以避免對ΔABD進行細致的分析以獲得更詳細的角度信息,但解方程的過程耗時費力.

解法二: 利用邊角邊來求點Q的坐標.首先利用直線BD的方程y=?(x ?3)求出點C的坐標為在RtΔCOB中,由CO=,BO= 3 知BC=從而∠ABD= 30°.再考慮ΔABD與ΔBPQ相似所蘊含的全部可能條件.分三種情形.情形一: ∠QBP= 30°,此時令F為拋物線的對稱軸與x軸的交點,根據ΔBFP為具有30 度角的直角三角形知FB= 2,PF=從而直接得到點的坐標為.然后再分∠BPQ為鈍角和∠BQP為鈍角兩種情形,利用對應邊成比例來建立方程,就能算出Q點的坐標.情形二: ∠PQB= 30°,此時QF=由此得u=+ 1.此時利用PQ:BA=QB:DB建立方程就可以求出u.情形三: ∠PQB= 30°,則需從BP:BD=PQ:BA=BQ:AD來建立方程來求出Q點的坐標.

相比于第一種解法,解法二有三種情形在設坐標時少了一個未知量,解方程的難度和計算量均明顯降低.把這一長度比例關系和30 度角聯(lián)系起來,需要考生具有良好的數(shù)感和(三角形)模型意識.不過,第三種情形仍然需要解二元方程組.因此,解法二優(yōu)于解法一,但對計算能力要求依然較高.

解法三: 利用具有特殊角的直角三角形的邊長關系來求點Q的坐標.首先在解法二求出∠ABD= 30°的基礎上,再求出∠BDA的度數(shù).為此,過點A作BD的垂線,設垂足為G點.利用面積相等可求出AG= 2.在RtΔAGD中,因AD=AG= 2,故∠ADG= 45°.接下來,對ΔBPQ,分兩種情形: (1) ∠B= 30°,∠P= 45°或∠Q= 45°; (2)∠B= 45°,∠P= 30°或∠Q= 30°,利用具有特殊角的RtΔBFP和RtΔQFP的直角邊的關系,就能直接算出u和v的值,這里F為拋物線對稱軸與軸的交點.

解法三的優(yōu)點是在準確挖掘ΔABD的角度信息后,大大降低了計算量.由聯(lián)想到特殊角度,需要考生具備良好的數(shù)感;而通過構造直角三角形來求出兩個角度,需要考生具有良好的模型意識.這是一種省時省力的優(yōu)秀解法,體現(xiàn)了遇到問題時先觀察、動腦,再動手的重要性.

解法四: 用輔助線法求出求點Q的兩個坐標.如圖2,設點D關于x軸的對 稱 點 為1).連 接AD′,BD′,則ΔABD′∽= ΔABD.設BD′與拋物線的交點為P1,過P1作AD′的平行線交AB于點Q1(x1,0).顯然有ΔBP1Q1∽ΔBD′A.故有BQ1:BA=BP1:BD′,從而解得x1=?1+這就得到了滿足條件的一個點Q的坐標為

圖2

其次,在射線BA上取一點Q2(x2,0),使∠BQ2P1=∠D′.則ΔBP1Q2∽= ΔBAD′.所以有由此容易求出x2= 1?即Q2(1?亦為滿足條件的一個點Q的坐標.

上述解法解決了∠PBQ= ∠B的情形,而對于∠PBQ= ∠D時,仍需采用解法一、二、三中的方法.解法四中的輔助線法的優(yōu)點是不需要求出ΔABD的角度,計算量也較小.這種做法對考生的幾何和代數(shù)知識的綜合運用能力及發(fā)散思維要求高,是一種富有創(chuàng)造性的解法.

以上四種解法,計算量逐次降低,而對邏輯推理和綜合知識的應用能力的要求則逐次提高.因此,這道題可以很好地考查出學生不同層次的數(shù)學素養(yǎng).

3 結束語

2020年廣東省中考數(shù)學壓軸題圖形簡潔,內涵豐富,難度層次分明,解法靈活多樣,考查了學生的數(shù)感、計算和推理能力、數(shù)形結合和分類討論思想、模型意識、應用及創(chuàng)新意識,具有明顯的基礎性、綜合性和壓軸性等特征,是一道優(yōu)秀的中考數(shù)學題目.