習(xí)題變式巧遇中考試題 素養(yǎng)滲透妙轉(zhuǎn)通性解法*——基于三條切線幾何綜合題的解法及變式思考

廣東省中山市小欖鎮(zhèn)旭日初級中學(xué)(528415) 何 勇

1 習(xí)題變式

習(xí)題變式是指通過改變題目非本質(zhì)的特征,引導(dǎo)學(xué)生從變中發(fā)現(xiàn)不變,從不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)中探究變的規(guī)律.學(xué)生在習(xí)題變式中經(jīng)歷不同條件、不同結(jié)論、不同圖形、不同角度、不同思路卻同一數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程,感知分析問題、體驗解決問題的樂趣,從而使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更立體化.更能使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.主要形式包括:

一題多思變式.同一題目從不同角度思考問題,探究不同的解答方法,學(xué)生拓寬思路、發(fā)散思維,也就是常見的一題多解.

多題歸一變式.將解決一個問題的方法加以歸納總結(jié)、形成通性技巧,特殊結(jié)論一般化,并用于解決某一類題目,學(xué)生遷移知識、提煉運用,達到多題歸一的目的.

多題多變變式.從一個題目或多個題目出發(fā),變化條件、變化結(jié)論、變化圖形、變化符號、變化情境、變化形式、變化維度,學(xué)生探究新知、綜合分析、完善知識,達到循序漸進、舉一反三、觸類傍通的目的.

2 教材習(xí)題

例1如圖1,⊙O的直徑AB=12cm,AM和BN是它的兩條切線,DE與⊙O相切于點E,并與AM,BN分別相交于點D,C兩點.設(shè)AD=x,BC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并試著畫出它的圖像.(此題是2014年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第125 頁第15 題.篇幅有限,本文不研究圖像的畫法.)

圖1

這是一個關(guān)于三條切線的幾何綜合題,利用切線的性質(zhì),可知圖中AM和BN互相平行,且都垂直于直徑AB.

思路 1: 作輔助線DF⊥BN,利用勾股定理就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式.

解法如圖2,過點D作DF⊥BN,∵AM,BN是⊙O的切線,∴∠A= ∠B= ∠BFD= 90°,∴四邊形ABFD是矩形,∵AB= 12cm,AD=x,BC=y,∴DF=AB=12cm,BF=AD=x,∴CF=BC ?BF=y ?x,

圖2

∵AM,BN,CD是⊙O的切線,A,B,E是切點,∴由切線長定理,DE=DA=x,CE=CB=y,∴DC=DE+EC=x+y,∵在RtΔDFC中DC2=DF2+FC2,∴(x+y)2=122+(y ?x)2,整理得xy=36,∴y=

思路2作輔助線,連接OD,OE,OC,構(gòu)造全等三角形和相似三角形,利用熟悉的射影型相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式.

解法2如圖3,連接OD,OE,OC,∵AM,BN,CD是⊙O的 切 線,A,B,E是 切 點,∴ 由 切 線 長 定理DE=DA=x,CE=CB=y且OE⊥CD,∠A= ∠B= 90°,∴在RtΔDOA和RtΔDOE中

圖3

∴RtΔDOA∽= RtΔDOE(HL),∴∠1 =∠2 =同理得RtΔCOB∽= RtΔCOE,∴∠3 =∠4 =∴∠2 + ∠3 =(∠AOE+∠BOE)=90°,∵OE⊥CD,∴∠5+∠3=90°,∴∠2 = ∠5,又∵∠OED= ∠CEO= 90°,∴ΔOED∽ΔCEO,∴即DE · CE=OE2,∵直 徑AB= 12cm,∴半 徑OE= 6cm,∴xy= 62= 36,即y=

思路3作輔助線,連接OD,OE,OC,構(gòu)造全等三角形和相似三角形,利用熟悉的K 字型相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)就可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式.

解法3同解法2 得∠2+∠3=90°,∴∠1+∠4=90°,∵∠A= ∠B= 90°,∴∠6 + ∠4 = 90°,∴∠1 = ∠6,∴ΔOAD∽ΔCBO,∴即AD·CB=OA·BO,∵直徑AB= 12cm,∴半徑OA=OB= 6cm,∴xy=6×6=36,即y=

設(shè)計意圖與思考: 通過三種解題思路,學(xué)生經(jīng)歷從不同角度分析、解決問題的過程,體驗多維模式、拓寬思路、發(fā)散思維、積極創(chuàng)新,掌握分析解決問題的多樣基本思想方法.在研究圖形性質(zhì)、借助圖形思考問題的過程,初步建立幾何直觀,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

通過上述思路解法我們發(fā)現(xiàn),y關(guān)于x的函數(shù)解析式與⊙O的半徑有關(guān),并且此題只給出了直徑AB= 12cm 的數(shù)據(jù),不妨改變⊙O的直徑這一數(shù)據(jù),其他題干條件不變來探究三條切線交點的切線長AD,BC與半徑之間的函數(shù)解析式.

變式1如圖1,AM和BN是⊙O的兩條切線,DE與⊙O相切于點E,并與AM,BN分別相交于點D,C兩點.試探究AD,BC與⊙O半徑r之間的關(guān)系?

分析模仿例1,設(shè)AD=x,BC=y,半徑AB= 2r,則半徑OA=OB=OE=r.

根據(jù)例1 的思路1,在RtΔDFC中DC2=DF2+FC2,有(x+y)2= (2r)2+ (y ?x)2整理得xy=r2,即AD·BC=r2.

根據(jù)例1 的思路2,ΔOED∽ΔCEO,有即DE·CE=OE2,∵半徑OE=r,由切線長定理DE=DA=x,CE=CB=y,∴xy=r2即AD·BC=r2.

根據(jù)例1 的思路3,ΔOAD∽ΔCBO,有即AD ·CB=OA · BO,∵半徑OA=OB=r,AD=x,CB=y,∴xy=r2,即AD·BC=r2.

設(shè)計意圖與思考: 通過直徑特殊值到一般化,得到基于圓中三條切線交點的切線長AD,BC與半徑之間的通用函數(shù)解析式為:AD·BC=r2.把這一題目推廣到一類題目,學(xué)生體會通過推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論,培養(yǎng)知識方法的遷移視野,提升合情推理和演繹推理的能力,形成解題的通性解法,增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,初步形成總結(jié)歸納意識,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 試題呈現(xiàn)

例2如圖4,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直徑,(此題是2020年廣東省中考22 題.篇幅有限,本文只研究第2 問的解法.)

圖4

(1)求證: 直線CD與⊙O相切;

(2)如圖5,記(1)中的切點為∠BCD.求tan ∠APE的值.

圖5

分析此題是教材習(xí)題的變式運用,據(jù)例1 三種思路可知,本題求解方法多樣.由上述例1 變式的三種思路得結(jié)論AD ·BC=r2,都可先求出r2=AD ·BC= 1×2 = 2,得OA=r=如圖6,在⊙O中,由得,據(jù)RtΔDOA∽= RtΔDOE得∠1 = ∠2 =即∠APE= ∠1,又因為在RtΔAOD中,tan ∠1 =所以tan ∠APE=

圖6

4 核心素養(yǎng)視角的解讀

4.1 源于教材、習(xí)題鋪墊

例2 這一道中考試題是三條切線幾何綜合題的變式運用,來源于教材、習(xí)題作鋪墊.以幾何綜合知識為主,情境熟悉、題干簡潔、圖形直觀、知識豐富、選擇多樣、重點突出,通過變式探索不同問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,附帶考查學(xué)生的代數(shù)運算能力,覆蓋的知識點有切線的判定定理、切線的性質(zhì)定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理及推論、同角(等角)的余角相等、銳角三角函數(shù)、最簡二次根式等.

學(xué)生在熟悉的題干以及圖形變式過程中感知、分析、研究,將自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識按照數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和解題所需要的線索組成突破問題的結(jié)構(gòu)鏈,通過直觀想象演繹推理,培養(yǎng)化歸思想,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.2 幾何直觀、解法明朗

學(xué)生通過一題多解可以增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,知識結(jié)構(gòu)日趨完善,經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程,初步建立幾何直觀.

從三條切線的熟悉圖形中,綜合分析,提煉出半徑與三切線交點的切線長之間的關(guān)系.無論是從勾股定理,還是相似三角形入手都考查了學(xué)生的建模思想、幾何直觀想象、數(shù)據(jù)分析能力,借助幾何直觀來分析數(shù)量關(guān)系,把問題與常見的幾何圖形巧妙結(jié)合,充分感知教材習(xí)題到中考試題的變與不變.學(xué)生從題目的已知條件、從教材所學(xué)知識出發(fā)充分體驗、主動發(fā)現(xiàn)和建構(gòu),根據(jù)題目線索,逐漸形成解題思路,將解題策略進行歸納整理.

此題關(guān)注學(xué)生差異,搭建解題視角的多維性和解題方法的多樣性,充分發(fā)揮學(xué)生思維的獨立性、廣闊性、創(chuàng)新性,緊扣課標、拓展廣度、調(diào)節(jié)深度,充分體現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展這一課程理念.

提煉出簡化的熟悉圖形如下:

圖7

5 “8 字型”習(xí)題變式的思考

選擇一些典型的習(xí)題作為素材,進行變式訓(xùn)練,挖掘題目通性解法,提煉解題模型,有助于學(xué)生豐富數(shù)學(xué)知識、提高解題能力、領(lǐng)悟思想方法、強化直觀想象、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

5.1 基礎(chǔ)練習(xí): 以三角形全等的判定為例

例3 如圖8,AC和BD相交于點O,OA=OC,OB=OD,求證AB//DC.

圖8

變式1如圖9,點C,F,E,B在同一條直線上,∠1 =∠2,CE=BF,DF=AE,寫出AB與CD之間的關(guān)系,并證明.

圖9

變式2如圖10,點B,F,E,C在同一條直線上,CE=BF,AB//CD,AE//DF,求證AB=CD.

圖10

變式3如圖11,點B,F,E,C在同一條直線上,AE=DF,AB//CD,AE//DF,求證BF=CE.

圖11

變式4如圖12,點C,F,E,B在同一條直線上,AB=CD,AE=DF,CE=BF,求證AF//DE.

圖12

變式5如圖13,點C,F,E,B在同一條直線上,AB=CD,AE⊥BC,CE⊥BF,求AC與BD之間的關(guān)系,并證明.

圖13

設(shè)計意圖與思考: 從學(xué)生熟悉的8 字型圖形著手,分別演變圖形、改變形式、改變條件、改變問題對象等進行習(xí)題變式,內(nèi)容精簡、形式多樣,由淺入深演變,符合絕大多數(shù)學(xué)生的認知能力和認知水平.涉及三角形全等的五個判定,覆蓋全面、知識系統(tǒng),學(xué)生掌握基本的證明方法,從中感知習(xí)題變式、知識立體化,體驗分析、推理過程,在研究圖形變換、習(xí)題變式過程中,進一步發(fā)展幾何直觀,在運用數(shù)學(xué)表達和解決問題的過程中,學(xué)生能積極參與,對幾何有強烈的好奇心和求知欲,感受成功的快樂.

5.2 拓展探究: 以三角形內(nèi)角和的應(yīng)用為例

例4如圖14,直線AC和BD相交于點O,試探究∠A+∠B與∠C+∠D的數(shù)量關(guān)系.

圖14

變式如圖15,直線AC和BD相交于點O,∠DCO和∠ABO的平分線相交于點P,試探究∠P與∠A,∠D的數(shù)量關(guān)系.

圖15

8 字型基本圖形中除了一對對頂角相等外,我們?nèi)菀椎贸鲆粋€三角形中兩個角的和等于另一個三角形中兩個角的和,即圖14 中∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D.在例4 的變式中,在8 字型的基礎(chǔ)上引入兩條角平分線就形成變式,學(xué)生依照認知特點,循序漸進,需準確識別出與問題相關(guān)的8 字型.問∠P與∠A,∠D的關(guān)系,應(yīng)選取∠P與∠A在同一個8 字型中,∠P與∠D在同一個8 字型中,這是解決本題的關(guān)鍵點.在本題中,由CP,BP 是角平分線得∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,據(jù)圖16 提煉出來的兩個8 字型可知:∠D+∠1=∠P +∠3,∠A+∠4=∠P +∠2,兩個式子相加后,化簡即可得∠A+∠D =2∠P.

圖16

設(shè)計意圖與思考: 基本圖形及其變式為圖形識別的學(xué)習(xí),建立初步幾何直觀提供了合適的機會.通過基本圖形演變,合理鋪墊,搭建梯子,減緩解決問題的思維坡度.學(xué)生體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論,運用演繹推理加以證明的過程,鍛煉看圖分析能力,發(fā)展合情推理與演繹推理的能力,體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

6 教學(xué)反思

教無定法,貴在得法.題目永遠做不盡,所謂題海戰(zhàn)術(shù)容易使學(xué)生疲倦,“一題多思、多題歸一、多題多變”的變式訓(xùn)練,凸顯題干本質(zhì)及圖形特點,以學(xué)生為主體,開拓分析思路,擴展解題視角,活躍學(xué)習(xí)思維.

課堂教學(xué)上進行習(xí)題變式,要由淺入深、循序漸進,啟發(fā)學(xué)生主動探究、尋找關(guān)鍵信息、提取題干本質(zhì)、識別熟知圖形.鼓勵學(xué)生以原題出發(fā),通過變式優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),螺旋上升理解掌握一系列數(shù)學(xué)知識;以點帶面分析解決一連串數(shù)學(xué)問題;多題歸一提煉生成一籃子通性解法.鼓勵學(xué)生模仿表達創(chuàng)新變式,提升感官認識,嚴謹推理邏輯,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,延伸課程應(yīng)用,內(nèi)化滲透基本圖形中重要的思想方法,領(lǐng)悟萬變不離其宗的數(shù)學(xué)本質(zhì),發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).